新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5.2.3简单复合函数的导数课件新人教A版

5.2.3 简单复合函数的导数

学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．

知识点 复合函数的导数

1．复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．

思考 函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？

答案 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．

2．复合函数的求导法则

一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．

1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．( √ )

2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.( × )

3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.( √ )

一、求复合函数的导数

例1 求下列函数的导数：

(1)y＝11－3x4；

(2)y＝cos(x2)；

(3)y＝log2(2x＋1)；

(4)y＝e3x＋2.

解 (1)令u＝1－3x，则y＝1u4＝u－4，

所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.

所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝121－3x5.

(2)令u＝x2，则y＝cos u，

所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2).

(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，

则yx′＝yu′ux′＝2uln 2＝22x＋1ln 2.

(4)设y＝eu，u＝3x＋2，

则yx′＝(eu)′·(3x＋2)′

＝3eu＝3e3x＋2.

反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤

- 1 - 高中数学一元函数的导数及其应用

一元函数的导数是描述函数变化率的一个重要概念，它在高中数学中占有重要地位。本文将从以下几个方面来介绍一元函数的导数及其应用。

1. 导数的定义及其运算法则

首先，我们需要了解导数的定义及其运算法则。导数的定义是：函数$f(x)$在$x_0$处的导数为$f'(x_0)=limlimits_{Delta

xto0}dfrac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}$。而导数的运算法则包括：常数求导法则、和差求导法则、积法求导法则、商法求导法则、复合函数求导法则以及反函数求导法则等。

2. 导数的图像及其性质

导数的图像是很有特点的，对于一些数学问题，我们可以通过导数图像来解决。在本文中，我们将介绍导数图像的性质，如导数曲线的斜率、升降区间、极值和拐点等。

3. 极值与最值问题

极值与最值问题是高中数学中的一个重要问题，它跟导数密切相关。在本文中，我们将介绍如何通过导数来求得函数的极值与最值，并讲解极值与最值的应用。

4. 函数图像的绘制

函数图像的绘制是高中数学中的一个必修内容，它要求我们能够通过导数来判断函数的升降性、极值和拐点等，从而画出函数的图像。在本文中，我们将介绍如何通过导数来刻画函数图像的特点，并讲解 - 2 - 函数图像的绘制方法。

总之，本文的目的是让读者对一元函数的导数及其应用有一个全面的认识，从而更好地掌握高中数学的相关知识。

简单复合函数的导数公式

对于简单复合函数的导数，有以下公式：

1. 线性函数复合公式：如果 $f(x)=f[g(x)]$，那么 $f'(x) =f'[g(x)] \cdot

g'(x)$

2. 绝对值函数复合公式：如果$f(x)=|g(x)|$，那么$f'(x)=g'(x)\cdot

sgn(g(x))$，其中$sgn(g(x))$表示为$g(x)$的符号函数。

3. 幂函数复合公式：如果$f(x)=(g(x))^n$，那么$f'(x)=ng(x)^{n-1}\cdot

g'(x)$

4. 指数函数复合公式：如果$f(x)=e^{g(x)}$，那么$f'(x)=e^{g(x)}\cdot

g'(x)$

5. $\ln$函数复合公式：如果$f(x)=\ln{g(x)}$，那么$f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$

6. 三角函数复合公式：如果$f(x)=\sin{g(x)}$，那么$f'(x)=\cos(g(x))\cdot

g'(x)$

7. 双曲线函数复合公式：如果$f(x)=\sinh{g(x)}$，那么$f'(x)=\cosh(g(x))\cdot g'(x)$

5.1~5.3综合拔高练

五年高考练

考点1 导数的运算法则及其几何意义

1.(2019课标全国Ⅲ,6,5分,)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )

A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1

2.(2019课标全国Ⅰ,13,5分,)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为

.

3.(2019江苏,11,5分,)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .

4.(2020北京,15,5分,)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用- f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.

给出下列四个结论:

①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是 .深度解析

考点2 函数的导数与单调性

5.(2018课标全国Ⅲ,7,5分,)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( )

6.(2019北京,13,5分,)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=

;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是 .

7.(2020课标全国Ⅰ文,20,12分,)已知函数f(x)=ex-a(x+2).

(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.