2019_2020高中数学第1章1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数导数公式及导数运算法则(一)新人教A版

1.2导数的计算（教学设计）（1）1．2．1几个常用函数的导数；1.2.2基本初等函数的导数公式教学目标：知识与技能目标：（1）能够用定义求五个常用函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤。

（2）使学生应用由定义求导数的三个步骤推导五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式；并能运用这四个公式正确求函数的导数． 过程与方法目标：通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法。

情感、态度与价值观目标：（1）通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识。

（2）通过本节的学习，培养学生对问题的分析能力与认识能力，进一步明白数学在研究整个自然科学中的重要位置。

教学重点： 五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =、y =的导数公式及应用教学难点： 五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式教学过程： 一、复习回顾：1．求f(x)在x 0年的导数的步骤为： 1）求增量：∆y=f(x+∆x)-f(x)2)算比值：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ 3）求极限：y ’=0lim x yx∆→∆∆2．导数的几何意义。

二．创设情景，新课引入我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 三．师生互动，新课讲解： 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y 0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x +∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 2y x '=表示函数y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim ()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆5．函数()y f x =因为()()y f x x f xx x ∆+∆-==∆∆==所以0lim lim x x y y x ∆→∆→∆'===∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'= 小结：基本初等函数的导数公式：例1（课本P14例1）假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．变式训练1：（课本P15思考）如果上式（例1）中某种商品的P 0=5，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例2 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2.解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝1434x -＝344x；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3；(6)y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 变式训练2：(1)下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ln 2；③1(ln x )′＝x ；④若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.A ．1B ．2C ．3D ．4(2) ①已知f (x )＝5x ，则f ′(2)＝________. ②已知f (x )＝ln x ，且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________.答案 (1)C (2)①25ln 5 ②1解析 (1)①中(3x )′＝3x ln 3，②③④均正确． (2)①f ′(x )＝5x ln 5，f ′(2)＝25ln 5. ②f ′(x )＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，解得x 0＝1.例3：求过曲线y=cosx 上点P 132π（，）且与在这点的切线垂直的直线方程。

1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)明目标、知重点 1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．几个常用函数的导数原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x2.原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0)f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a xf ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x[情境导学]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题． 探究点一 几个常用函数的导数思考1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？ 答 (1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx 趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导数． 思考2 利用定义求下列常用函数的导数： ①y ＝c ，②y ＝x ，③y ＝x 2， ④y ＝1x，⑤y ＝x .答 ①y ′＝0，②y ′＝1，③y ′＝2x ，④y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝ lim Δx →01x ＋Δx －1xΔx ＝lim Δx →0－1x x ＋Δx＝－1x2(其它类同)，⑤y ′＝12x.思考3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．(1)函数y ＝f (x )＝c (常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数y ＝f (x )＝x 的导数的物理意义呢？ 答 (1)若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．(2)若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 思考4 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数．(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？答 函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象如图所示，导数分别为y ′＝2，y ′＝3，y ′＝4.(1)从图象上看，函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的导数分别表示这三条直线的斜率．(2)在这三个函数中，y ＝4x 增加得最快，y ＝2x 增加得最慢． (3)函数y ＝kx (k >0)增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢．函数y ＝kx (k <0)减少的快慢与|k |有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k |越大，函数减少得越快，|k |越小，函数减少得越慢．思考5 画出函数y ＝1x的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程．答 函数y ＝1x 的图象如图所示，结合函数图象及其导数y ′＝－1x2发现，当x <0时，随着x 的增加，函数y ＝1x减少得越来越快；当x >0时，随着x 的增加，函数减少得越来越慢．点(1,1)处切线的斜率就是导数y ′|x ＝1＝－112＝－1，故斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y＝－x ＋2.思考6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度． 探究点二 基本初等函数的导数公式思考 你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？ 答 公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例． 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝(4x 3)′＝(x34)′＝34x －14＝344x ； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.反思与感悟 对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式2求导．跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 8；(2)y ＝(12)x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)x ln 2；(3)∵y ＝xx ＝x 32，∴y ′＝32x 12；(4)y ′＝1x ln13＝－1x ln 3. 例2 判断下列计算是否正确．求y ＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：y ′|x ＝π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3′＝－sin π3＝－32.解 错误．应为y ′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.反思与感悟 函数f (x )在点x 0处的导数等于f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x 0代入导函数求解，不能先代入后求导． 跟踪训练2 求函数f (x )＝ln x 在x ＝1处的导数． 解 f ′(x )＝(ln x )′＝1x，∴f ′(1)＝1，∴函数f(x)在x＝1处的导数为1.探究点三导数公式的综合应用按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题：(1)可求基本初等函数图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程．(2)知切线斜率可求切点坐标．例3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．解设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1.故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧AOB上的点，使△ABP的面积最大．反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(e x)′＝e x，∴e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为2 2 .1．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若y＝1x2，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析①y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；②y＝3x＝x13，则y′＝13·x－23≠133x；③y＝1x2＝x－2，则y′＝－2x－3；④由f(x)＝3x，知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴①③④正确． 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( )A.36B ．0 C.12xD.32答案 A 解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36.3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ， ∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴αl ∈[0，π4]∪[3π4，π)．4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.[呈重点、现规律]1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导． 如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ， 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4. 4．曲线y ＝1x在x ＝a 处的切线的倾斜角为3π4，则a ＝____.答案134解析 y ′＝(12x -)′＝－12·32x -，∴y ′|x ＝a ＝－12·32a -＝－1，∴a ＝134.5．若曲线y ＝12x -在点(a ，12a -)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8 答案 A解析 ∵y ＝12x -，∴y ′＝－1232x -，∴曲线在点(a ，12a -)处的切线斜率k ＝－1232a -，∴切线方程为y －12a -＝－1232a -(x －a )．令x ＝0得y ＝3212a -；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·3212a -＝9412a ＝18，∴a ＝64. 6．曲线y ＝9x在点M (3,3)处的切线方程是________． 答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x . 解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25 ＝355x 2. (2)y ′＝(1x 4)′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)＝2sin x 2(2cos 2x 4－1)＝2sin x 2cos x 2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 答案 D解析 y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝kx 0， ①y 0＝e x 0， ②k ＝e x 0， ③∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t∴f ′(t )＝1t＋1， ∴f ′(1)＝2.10．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝x 7；(3)y ＝－1x 5； (4)y ＝ln 3；(5)y ＝xx 3(x >0)． 解 (1)y ′＝(xx )′＝(32x )′＝32312x -＝32x .(2)y ′＝7x 6. (3)y ′＝(－x －5)′＝5x －6＝5x 6.(4)y ′＝(ln 3)′＝0.(5)因为y ＝xx 3，所以y ＝52x ， 所以y ′＝(52x )′＝52512x -＝5232x ＝5x x 2. 11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z . 12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解 根据题意可知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.三、探究与拓展 13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )． 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.。

1.2 导数的运算1．2.1 常数函数与幂函数的导数 1．2.2 导数公式表及数学软件的应用1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数．(难点) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1 几个常用函数的导数 阅读教材P 14～P 15，完成下列问题．【答案】 0 1 2x －1x2判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝x 3＋2，则y ′＝3x 2＋2.( ) (2)若y ＝1x ，则y ′＝1x2.( ) (3)若y ＝e ，则y ′＝0.( )【解析】(1)由y＝x3＋2，∴y′＝3x2.(2)由y＝1x，∴y′＝－1x2.(3)由y＝e，∴y′＝0.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2基本初等函数的导数公式阅读教材P17，完成下列问题．【答案】0 nx n－1μxμ－1a x ln a e x1xln a1xcos x－sin x1．给出下列命题：①y＝ln 2，则y′＝1 2；②y＝1x2，则y′＝－2x3；③y＝2x，则y′＝2x ln 2；④y＝log2x，则y′＝1 xln 2.其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.【答案】 C2．若函数f (x )＝10x ，则f ′(1)等于( ) A.110 B ．10 C ．10ln 10D.110ln 10【解析】 ∵f ′(x )＝10x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10. 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x3；(4)y ＝3x ；(5)y ＝log 5x .【精彩点拨】 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．【自主解答】 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x3)′＝(x 35)′＝35x －25. (4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝1xln 5.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x 与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．[再练一题]1．若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x, 则f ′(x )－g ′(x )＝__________.【导学号：05410008】【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝1xln 3， ∴f ′(x )－g ′(x )＝3x 2－1xln 3. 【答案】 3x 2－1xln 3(1)求质点在t ＝π3时的速度； (2)求质点运动的加速度．【精彩点拨】 (1)先求s ′(t )，再求s ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.(2)加速度是速度v (t )对t 的导数，故先求v (t )，再求导． 【自主解答】 (1)v (t )＝s ′(t )＝cos t ，∴v ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.即质点在t ＝π3时的速度为12. (2)∵v (t )＝cos t ，∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t .1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．[再练一题]2．(1)求函数f (x )＝13x在(1,1)处的导数；(2)求函数f (x )＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的导数．【解】 (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x4， ∴f ′(1)＝－1331＝－13.(2)∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－sin π4＝－22.[探究共研型]探究1 f (x )＝x ，f (x ) 【提示】 ∵(x )′＝1·x 1－1，(x 2)′＝2·x 2－1，(x)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12′＝12x 12－1，∴(x α)′＝α·x α－1.探究2 点P 是曲线y ＝e x 上的任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【提示】 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近，则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， ∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．【精彩点拨】 错误!→错误!→所求直线斜率k ＝－1f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3→利用点斜式写出直线方程【自主解答】 因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12的切线斜率为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－sin π3＝－32， 所以所求直线的斜率为23 3， 所求直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3， 即y ＝23 3x －239π＋12.求曲线方程或切线方程时应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点.[再练一题]3．若将上例中点P 的坐标改为(π，－1)，求相应的直线方程． 【解】 ∵f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P (π，－1)处的切线斜率为f ′(π)＝－sin π＝0， 所以所求直线的斜率不存在， 所以所求直线方程为x ＝π.[构建·体系]1．已知f (x )＝x α(α∈Q ＋)，若f ′(1)＝14，则α等于( ) 【导学号：05410009】 A.13 B.12 C.18D.14【解析】∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝1 4.【答案】 D 2．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．0【解析】对于①，y′＝错误!＝错误!＝错误!，正确；对于②，y′＝13x13－1＝13x－23，不正确；对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．【答案】 B3．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.【答案】 14．已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝__________.【解析】设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴k＝1x0，∴y＝1x0·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上，∴y0＝ln x0，∴ln x0＝x0x0，∴x0＝e，∴k＝1e.【答案】1 e5．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________. 【解析】设切点为(x0，y0)．因为y′＝3x ln 3，①所以k＝3x0ln 3，所以y＝3x0ln 3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln 3·x0＝3x0，②所以x0＝1 ln 3＝log3 e.所以k＝eln 3.【答案】eln 3我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1.主要问题及教学建议(1)根据导数定义求常用函数的导数.建议教师让学生明确导数的定义本身包含着可导与导数两层含义.可导是指有极限,反映函数在一点所具有的性质,导数是刻画这一性质的数量.因为教材不介绍极限,尽量淡化用定义法求导的严格性要求及涉及的相关技巧.(2)基本初等函数的导数公式.建议教师在教学中适量地增加练习去熟悉公式的运用,但要避免过量形式化的运算练习.同时,选配适量的求导问题,帮助学生熟悉导数公式.备选习题1.已知两条曲线y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.解:由于y=sin x,y=cos x,设两条曲线的一个公共点为P(x0,y0),则两条曲线在P(x0,y0)处的切线斜率分别为k1=y'=cos x0,k2=y'=-sin x0.若使两条切线互相垂直,必须cos x0·(-sin x0)=-1,即sin x0·cos x0=1,也就是sin 2x0=2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.2.已知函数f(x)=,g(x)=a ln x,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程.解:∵f(x)=,g(x)=a ln x,∴f'(x)=,g'(x)=.设两曲线的交点坐标为(x0,y0),又两曲线在交点处有相同的切线,∴解得∴两曲线的交点坐标为(e2,e),切线斜率为.∴切线方程为y-e=(x-e2),即x-2e y+e2=0.。