高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算导数概念与运算基础知识总结素材新人教A版选修2-2教案
- 格式：doc
- 大小：255.50 KB
- 文档页数：8
导数概念与运算基础知识总结知识清单 1．导数的概念函数y =f (x ),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y =f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，x y ∆∆有极限，我们就说函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y ’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限，得导数f ’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y =f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y =f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y =f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;nn x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''vuv v u -（v ≠0）。
形如y =f [x (ϕ])的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤：分解——求导——回代。
法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X导数应用 知识清单1． 单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(<x ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值：一般地，在区间[a ，b ]上连续的函数f )(x 在[a ，b ]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ)(x 在(a ，b )内的极值；②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒ(a )、ƒ(b )；③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a )、ƒ(b )比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
4．定积分（1）概念：设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f 1＝(ξi)△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(＝∑=∞→ni n f 1lim (ξi )△x 。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。
基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m ＝111++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）； ⎰x 1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx ex＝x e ＋C ；⎰dx a x＝a a xln ＋C ；⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；⎰xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）。
（2）定积分的性质①⎰⎰=b abadx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；②⎰⎰⎰±=±ba babadx x g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=bacabcdx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。
（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）(f (x )≥0)围成的曲边梯的面积⎰=badx x f S )(。
如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a<b ）围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝⎰⎰-babadx x f dx x f )()(21。
典型例题一 导数的概念与运算EG ：如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为（ ） A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s 变式：定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：x D ∀∈，∃常数0M >， 都有|()|f x ≤M 成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界. 【文】（1）若已知质点的运动方程为at t t S ++=11)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M =1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【理】（2）若已知质点的运动方程为at t t S -+=12)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M =1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.EG ：已知xf x f x x f x ∆-∆+=→∆)2()2(lim ,1)(0则的值是（ ）A. 41- B. 2 C. 41 D. －2变式1：()()()为则设hf h f f h 233lim,430--='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1变式2：()()()00003,limx f x x f x x f x x x∆→+∆--∆∆设在可导则等于（ ）A ．()02x f 'B ．()0x f 'C ．()03x f 'D ．()04x f '根据所给的函数图像比较012(),,h t t t t 曲线在附近得变化情况。
变式：函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. )2()3()3()2(0//f f f f -<<<B. )2()2()3()3(0//f f f f <-<<C. )2()3()2()3(0//f f f f -<<<D. )3()2()2()3(0//f f f f <<-< O 1 2 3 4 x EG ：求所给函数的导数：()332991log ; ; sin ((1); 2; 2sin 25n xx x y x x y x e y xy x y e y x x --=+===+==+（文科）理科）。
变式：设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是A ．(－3,0)∪(3,+∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)EG ：已知函数ln y x x =.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x =处的切线的方程.变式1：已知函数xe y =.（1）求这个函数在点e x =处的切线的方程； （2）过原点作曲线y ＝e x的切线，求切线的方程.变式2：函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B. 41 C. 21D. 1 EG ：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：3232(1)()3; (2) ()23; (3) ()sin ,(0,);(4)()2324 1.f x x x f x x x f x x x x f x x x x π=+=--=-∈=+-+变式1：函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是 A.[]0,1- B. []8,2 C. []2,1 D. []2,0 变式2：已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则a 的是 . (2)若函数在),1[+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是 . 变式3： 设0≠t ，点P （t ，0）是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线.（Ⅰ）用t 表示a ，b ，c ；（Ⅱ）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围. EG ：求函数31()443f x x x =-+的极值. 求函数31()443f x x x =-+在[]0,3上的最大值与最小值.. 变式1： 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式2：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.变式3：若函数4)(3+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 极值34-， （1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围． 变式4：已知函数321()22f x x x x c =--+，对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围。
