数学建模线性规划论文1
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红十字会善款投资优化设计
摘要
作为慈善机构，某省红十字会为救助四川灾区患病儿童，打算将救灾的剩余善款存入银行或购买国库券，为了充分利用这笔善款，必须要做出合理的分配方案来提高每年的救助金额，并且保证在n年末仍保留原有善款数额，才能最大限度使用剩余善款。
为了给红十字会提供一种最优方案，本文本着为红十字会设计一种能最大限度使用善款存款本息且n年末仍保留原有善款数额的原则，以n年内用于存款或购买国库券的利息额之和的最大值为目标函数，运用线性规划的相关知识，并通过LINGO软件对模型进行求解，递出了一种符合题目要求的最优分配方案。
关键词：线性规划，LINGO软件一、问题的重述
某省红十字会打算将四川特大地震后全国人民捐款救灾的剩余善款存入银行或购买国库券。
红十字会计划在n年内用此剩余善款的部分本息救助患病儿童，并使每年的救助金额大致相同，且在n年内仍保留原有善款数额。
通过设计最佳的使用方案，提高每年的救助金额，帮助红十字会在如下情况下，设计这笔剩余善款的使用方案，并对5000M万元，10n年给出具体结果。
（1） 只在银行存款而不购买国库券；
（2） 既可存款也可以购买国库券；
（3） 红十字会在剩余的善款到位后的第三年要举行成立30周年庆典，红十字会希望这一年的救助金额比其他年度多20%。
二、模型的假设
1、假设存款期间不出现紧急用钱的情况，只有在每年的最后一天，才从银行中取出钱用于捐款，且在整个存款周期中银行利率不变；
2、假设存款的银行采用单利的形式进行利息的结算；
3、假设每次使用于救助的金额都为投资所获得的利息，即用于各种投资类型的本金金额不变，然后再次将用于原投资类型的本金金额继续该种投资方式；
4、假设每年的救助金额大致相同；
5、红十字会在n年内的各种开支忽略不记；
6、假设投资不出现亏损状况。
三、符号的说明
符号 表示意义
M 原有的善款数额
n 剩余善款用于存款或购买国库券的数
Z 投资n年所获得的总利润
(1,2,3,4,5,6)jxj 用于j类型存款周期的本金金额数
(1,2,3,4,5,6)jIj 用于j类型存款周期的利息额
(7,8,9)vxv 购买v类型国库券的金额数
(1,2,3)vQv 购买v类型国库券的利息额
P 平均每年的救助金额数
P 存款到位后第三年的救助金额数
四、问题的分析
本题研究的是充分利用对四川遭遇特大地震灾区捐款的剩余善款进行投资（存入银行或够买国库券），从而利用所获本息救助灾区患病儿童的问题。题目中已知各种类型的投资方式的利率。
为了保证每年的救助金额大致相同，且在n年内仍保留原有善款数额，投资的方式至少要保证每年可取。由此必须对1年期的投资方式较5年期的投资方式多。
由于用于各种投资方式的本金金额是未知的，无法确定下一年可用的流动资金数额，所以采用单利的计算方法将用于各种投资的本金数额假设为一个固定的数额。从而保证在n年内仍保留原有善款数额。
五、模型的建立与求解
5.1模型一
5.1.1模型一的分析
根据数据分析，需要根据线性规划的知识建立利润最大的数学模型，使用于救助的金额实现最大化。
5.1.2建立线性规划模型（模型一）
5.1.2.1目标函数的建立
由上述分析，得到以投资所获利润最大化的规划模型，则有目标函数为：
123456maxIIIIII
根据银行的定期单利计算方法及所给数据，目标函数中的各项表示为：
1122334455660.79210(1.6640.5)20(1.8001)10(1.9442)5(2.1603)3(2.3045)2IxIxIxIxIxIx
5.1.2.2约束条件的建立
由题知，
要求每年的救助金额大致相同，且在n年内仍保留原有善款数额。则用于(1,2,3,4,5,6)jxj作为用于j类型存款周期的本金金额数，有：
1234565000xxxxxx
由假设知，投资不会出现亏损状况，故：
1234560ZIIIIII
则约束条件可表示为： 1234561234565000..0xxxxxxstZIIIIII
5.1.3模型的求解
根据分析比较，若每年存入的善款数额一定，为使每年的救助金额大致相同，则存款周期越短，相对存入的本金数额就多。为是利润最大化，不在活期和半年期中进行存款
则各种类型的存款方式及每年可取的利息如下表所示：
存款类型
年份 活期 半年期 1年期 2年期 3年期 5年期
第1年 √ √ √
第2年 √ √ √ √
第3年 √ √ √ √
第4年 √ √ √ √
第5年 √ √ √ √
第6年 √ √ √ √ √
第7年 √ √ √
第8年 √ √ √ √
第9年 √ √ √ √
第10年 √ √ √ √ √
注：“√”表示第i年该种类型的存款利息可用于捐赠。
用9.0LINGO求解,得到：
1152.000Z（万元）
5.2模型二
5.2.1模型的分析
根据已知数据分析，需要根据线性规划的知识建立利润最大的数学模型，使用于救助的金额实现最大化。
救助金额可存入银行和购买国库券，在模型一的基础之上，为实现利润最大化，故分别将模型一中用于存入银行2年，3年，5年期的存款数额用于购买2年，3年，5年的国库券。
5.2.2建立线性规划模型（模型二）
5.2.2.1目标函数的建立
由上述分析，得到以投资所获利润最大化的规划模型，则有目标函数为：
123123maxIIIQQQ
根据银行的定期单利计算方法及所给数据，目标函数中的各项表示为： 1122331728390.79210(1.6640.5)20(1.8001)10(2.552)5(2.893)3(3.145)2IxIxIxQxQxQx
5.2.2.2约束条件的建立
由题知，
要求每年的救助金额大致相同，且在n年内仍保留原有善款数额。则用于(1,2,3,4,5,6)jxj和(7,8,9)vxv作为用于各种投资的本金金额数，有：
1237895000xxxxxx
由假设知，投资不会出现亏损状况，故：
1231230ZIIIQQQ
则约束条件可表示为：
1237891231235000..0xxxxxxstZIIIQQQ
5.2.3模型的求解
与模型一同理，用9.0LINGO求解,得到：
1570.000Z（万元）
5.3模型三
5.3.1模型的分析
根据已知数据分析，需要根据线性规划的知识建立利润最大的数学模型，使用于救助的金额实现最大化。
救助金额可存入银行和购买国库券，在模型一和模型二的基础之上，为实现利润最大化，故分别将模型一中用于存入银行2年，3年，5年期的存款数额用于购买2年，3年，5年的国库券。且已知在存款到位后第三年救助金额比其他年度多20﹪。根据如下表格分析，应在买入三年期的国库券这一投资项目投入相对较多的钱。
存款类型
年份 活期 半年期 1年期 2年期 3年期 5年期
第1年 √ √ √
第2年 √ √ √ √
第3年 √ √ √ √
第4年 √ √ √ √
第5年 √ √ √ √
第6年 √ √ √ √ √
第7年 √ √ √
第8年 √ √ √ √ 第9年 √ √ √ √
第10年 √ √ √ √ √
5.3.2建立线性规划模型（模型三）
5.2.2.1目标函数的建立
由上述分析，得到以投资所获利润最大化的规划模型，则有目标函数为：
123123maxIIIQQQ
根据银行的定期单利计算方法及所给数据，目标函数中的各项表示为：
1122331728390.79210(1.6640.5)20(1.8001)10(2.552)5(2.893)3(3.145)2IxIxIxQxQxQx
5.2.2.2约束条件的建立
由题知，
要求每年的救助金额大致相同，且在n年内仍保留原有善款数额。则用于(1,2,3,4,5,6)jxj和(7,8,9)vxv作为用于各种投资的本金金额数，有：
1237895000xxxxxx
由假设知，投资不会出现亏损状况，故：
1231230ZIIIQQQ
且由于在存款到位后第三年救助金额比其他年度多20﹪，则有：
PP
123123()9IIIQQQPP
则约束条件可表示为：
12378912312312312350000..()9xxxxxxZIIIQQQstPPIIIQQQPP
5.3.3模型的求解
用9.0LINGO求解,得到：
1570.00Z（万元）
六、模型的改进与推广
6.1模型的缺点
由于题目数据有限，考虑情况受限制，无法精确预测各年捐款，n年内各种开支忽略不记；模型是在合理假设的前提下进行的，但是，实际情况千变万化，与实际还有一定的差距。
6.2模型的优点
论文通过运用线性规划，解决了数据处理这一问题，并且模型相对简单，利于操作；该方法不仅适用于本题，也适用于其他方面的数据预测，有实际背景，可运用于实践，具有广泛适用性。
七、参考文献
八、附录
Global optimal solution found.
Objective value: 1152.000
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 0.1512000
X2 0.000000 0.6400000E-01
X3 0.000000 0.5040000E-01
X4 0.000000 0.3600000E-01
X5 0.000000 0.3600000E-01
X6 5000.000 0.000000
Global optimal solution found.
