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曲线轨迹方程的求法教案

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曲线的轨迹方程的求法
高二年级数学组 王莉
一、教学目标
（1）使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法。
（2）通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各
方面知识的能力。
（3）通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，
为学习物理等学科打下扎实的基础。
二、教学重难点
1、重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法。
2、难点：各种方法的灵活运用。
三、教学工具
（1）教师自制的多媒体课件 、三角板，圆规
（2）上课环境为多媒体大屏幕环境
四、教学方法
数形结合、合作探究
五、教学过程
1、高考导向。求的轨迹方程是解析几何的的基本问题，是高考中的一个热点
和重点，近几年高考试题中以综合问题出现较多。
2、诊测补偿
（1）解析几何要要解决的两个基本问题是什么?

（2）什么是动点的轨迹?
（3）求动点的轨迹方程的常用方法 有哪些?
3、求曲线方程的步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件p的点M的集合P={M︱p（M）}；
（3）用坐标表示条件p（M）,列出方程f（x,y）=0；
（4）化方程f（x,y）=0为最简形式；
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（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
4、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法（待定系数法、相关
点法、参数法。

题型一 直接法求曲线方程
1、如图已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，
垂足为Q，且 ，求动点P的轨迹方程。
解：设



学后反思 当动点所满足的条件本身就是一些几何量的等量关系或这些几何条
件简单明了易于表达时，只要将这种关系“翻译”成含x、y的等式就能得到曲
线的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称之为直接法。

题型二 利用定义或待定系数法求曲线方程
2、已知圆: 和圆：
动圆M同时与圆及圆相外切.求动圆圆心M的轨迹方程。
解: 设动圆M与圆及圆分别外切于点A和点B，
,半径为R，则
由两圆相切的定义知，

这表明动点M到两定点、的距离的差是常数2.

1
C

2
2
31xy

2

C


2
2
39xy

1
C
2
C

1
C
2
C

1
C
2
C
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根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到 的距离大，
到的距离小），

其中a=1,c=3,则

则其轨迹方程为 (x≤-1).
学后反思 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、
抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程: 首先要结合圆锥曲
线的定义，分析出曲线的类型，再按定义写出标准方程。

（例1）（例2）
题型三 相关点法求曲线方程
3、以原点为圆心，以r=2为半径的圆，过圆上任意一点p作x轴的垂线，求中
点M的轨迹方程。

解：过圆上任意一点p向x轴作垂线，垂足为Q

即

2
C
1
C

2
8b

2
2
18yx
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学后反思 对涉及较多点之间的关系问题，可先设出它们各自的坐标，并充分
利用题设建立它们之间的相关关系；再对它们进行转化和化简，最后求出所求
动点坐标所满足的方程.这种根据已知动点的轨迹方程，求另外一点的轨迹方程
的方法称为代入法或相关点法.

题型四 用参数法求轨迹方程
4、过抛物线的顶点O引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于A、
B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程.

解： 由题意知，两直线的斜率都存在.设直线OA的斜率为k，则OA:y=kx,OB:

由 得
同理由 得
设P(x,y),则
由②^2-2×①，得 即
故线段AB的中点P的轨迹方程为
学后反思 本题运用了参数法求轨迹.当动点P的坐标x、y之间的直接关系不
易建立时，可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y，从而得到动
点轨迹的参数方程

消去参数t，便可得到动点P的轨迹方程.其中应
注意方程的等价性和参数t与动点P(x,y)关系的密切性.

2
4yx

1
yxk

2
4ykxyx

2
1
4yxkyx

2
2

1212xkkykk
















2
y28x
2

28yx

2
28yx



xftygt





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（练习1）
（例4）
5、课堂练习
1、如图,正方体 中, 是侧面 内一动点,若P到直线
与直线 的距离相等,则动点 的轨迹所在的曲线是( )

A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线
2、等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4,2)、 B(－2,0)，A为顶
点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程。

3、已知一条直线 L和它上方的一点F ,点F到L的距离是2,一条曲线也在L
的上方,它上面的每一个点到 F的距离减去到L的距离的差都是2,建立适当地
坐标系,求这条曲线的方程。

6、小结
求曲线的方程常用的几种方法
（1）直接法 （2）定义法(待定系数法)
（3）相关点法 （4）参数法
六、作业
习题3-4 A 1、2、4 B、2

1111ABCDABCD11
BBCC
BC

11
CD

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《轨迹方程的求法》课件

《轨迹方程的求法》课件

结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对 轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动 规律和模式。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
轨迹方程的求法

轨迹方程的求法


M(x,y)
所求曲线 （方程）
5
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法:
1、直接法（五步法） 2、定义法：
3、代入法：
4、交轨法： 当动点是两条动直线（或动曲线）的交点时，求动点的轨迹方程。
设 参 数
动直(曲)线1 方 程
消去参数
动直(曲)线2 方 程
动点轨迹 方 程
例题7
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法:
4( x 1) 2 y2 1 化简得M的轨迹方程为： 9
常用方法
4
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法:
1、直接法（五步法） 建系设点 写出集合 代入坐标 化简方程 给出证明
2、定义法：
根据曲线定义判断轨迹 求出系数 写出方程
3、代入法：
P(x1,y1) 代 入 已知曲线 (方程)
x1=f(x,y) y1=g(x,y)
单 位：天津市汉沽一中 学 科：数 学 授课人：何 韬 授课班：高二2班
1
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法: 直接法、定义法、代入法、交轨法、待定系数法、参数法等
1、直接法（五步法） 建系设点 写出集合 代入坐标 化简方程 给出证明
1：点M到边长为6的等边△ABC的三个顶点的距离的平方和等于90，求点 M的轨迹方程。 y A 解：如图建立坐标系，则B(-3,0)，C(3,0)，A(0,3 3 ) 设点M（x,y） 则点M的集合为｛M||MA|2+|MB|2+|MC|2=90｝ 代入坐标得： x2+(y-3
1、直接法（五步法） 2、定义法：
3、代入法：
4、交轨法：
二、小结: 1、掌握求轨迹方程常用的几种方法，并能正确地识别它们；
轨迹方程的求法 通用精品课件

轨迹方程的求法 通用精品课件


以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。
设椭圆方程为 x 2
y2 +
= 1 （a>b>0)
则
a2 b2
|AD| + |AC| = 2a，|BD| + |BC| = 2a
所以，|AD| + |BD| + |AC| + |BC| = 4a 即 8 + 4 2 = 4a
例8. 等腰直角三角形ABC中，斜边BC
在已知曲线上运动,代入已知曲线得出M的方 程.M和P是什么关系?回到图中仔细分析,连 接AQ会怎么样?点M与Δ AFQ是什么关系?


xP


yP
1 3x 2
3y 2
本题答案: y2 8 (x 1). 33
轨迹为以(-1/3,0)顶点,开口向右的抛物线(除去顶点).
18.已知直线L1⊥直线L2,垂足为M,点N ∈L2,(如图)以A,B为端点 的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等.若ΔAMN 为锐角三角形,且|AM|=√17,|AN|=3,|BN|=6.建立适当的坐标系,
(A)圆 (B)双曲线 (C)椭圆 (D)抛物线
6.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 1:2的点的轨迹,则此曲线的方程是__(x___1_)2___y_2 __4__.
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
平方化简得:(x 1)2 y2 4 (P78)
4.当所求动点的运动受一些几何量(距离、角度、 斜率、坐标等)制约时,可考虑用参数法求解.
5.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要 “多退少补”,多余的点要剔除,不足的点要补充.
轨迹方程的求法PPT课件11 通用

轨迹方程的求法PPT课件11 通用


y1 y2 1 x1 x2
所以直线ＡＢ的方程为 y1(x2)
· 轨迹方程的求法
即：y x3
将 y x3代入椭圆方程得: 3 x2 1 2 x 1 8 2 b 2 0 ∵直线与椭圆相交 ∴△﹥0，得b2﹥3
由 A B 2x 1 x 224 2 4 (1 8 3 2 b 2 ) 22 3 0
3
3
y2 6x
已知曲线类型，设相应的曲线方程，再由题设
条件确定其系数即可。
例4：已知圆C1的方程为(x2)2(y1)2
20 3
，椭圆C2的方程为ax
2 2
y2 b2
1
（a>b>c），C2离心率为 2 ，若C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰好 2
为圆C1的直径，求直径AB的方程和椭圆C2的方程。
出动点的轨迹方程。
例2：已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，以y轴为右准线，
且过点A（1，2），求此双曲线右焦点F的轨迹方程。
分析：由已知条件得a、b、c之间的关系，再加上隐含条件c2＝a2＋b2得
到双曲线的离心率，最后由双曲线的定义得到动点坐标之间的关系式，化
简得到动点轨迹方程。
解：设F（x，y），∵2a＝b＋c，c2＝a2＋b2
解：设Q点坐标为（1+cosθ，sinθ），
∵P（x，y）的坐标为
x 1 cos 2
消去θ得
y sin
2
(x1)2y21x
2
4
六、交轨法 是两条已知曲线f1(x，y) = 0，f2(x，y) = 0联立，
解出两曲线交点，然后寻找交点横、纵坐标之间的关系式。
例6：如图，F1，2是双曲线
x2 3
∵k≠0，∴动点P的轨迹方程为 x2 y2 1(x2)