求曲线轨迹方程的五种方法

轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =--- ，，(3)PB x y =-- ，，由2P AP B x =·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．5b ==∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta=+=--，． 两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD = ，1()2AE AB AD =+．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，1=，解得k =将y =(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x =1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①³②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |²|OB |²sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。

求曲线轨迹方程的五种方法The final edition was revised on December 14th, 2020.求曲线轨迹方程的五种方法一、直接法如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。

例1 长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。

解：设点P的坐标为（x，y），则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a得2)2x-2(y+-=2a20()0化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。

二、定义法如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。

例2 动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（）A、直线B、椭圆C、双曲线D、抛物线解法一：由题意，动点P到点M（2，0）的距离等于这点到直线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。

解法二：设P点坐标为（x，y），则|x+4|-22-=2x+(y)2当x ≥-4时，x+4-22)2(y x +-=2化简得当时，y 2=8x当x ＜-4时，-x-4-22)2(y x +-=2无解所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显，解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。

三、 代入法如果轨迹点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程，此法称为代入法。

例3 P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线191622=-y x 上运动，则△F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是 。

轨 迹 方 程求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。

1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5 ∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(412++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上．（1）求点1F 的坐标； （2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．【解析】（1）由1)1(412++-=x y 得)1(4)1(2--=+y x ，焦点1F （-1，0）． （2）因为A 、B 在双曲线上，所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-，|||22||||22|22BF AF -=-．①若||22||2222BF AF -=-，则||||22BF AF =，点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，且当y ＝0时，1F 与2F 重合；当y ＝4时，A 、B 均在双曲线的虚轴上． 故此时2F 的轨迹方程为x ＝-1（y ≠0，y ≠4）．②若22||||2222-=-BF AF ，则24||||22=+BF AF ，此时，2F 的轨迹是以A 、B 为焦点，22=a ，2=c ，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为14)2(8)1(22=-++y x ，（y ≠0，y ≠4） 故2F 的轨迹是直线x ＝-1或椭圆4)2(8)1(22-++y x 1=，除去两点（-1，0）、（-1，4） 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为221x y +=，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0λλ>，求动点M 的轨迹。

◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM . 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

例2、动圆过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程.◎◎ 已知圆C 的方程为 (x-2)2+y 2=100,点A 的坐标为（-2，0），M 为圆C 上任一点，AM 的垂直平分线交CM 于点P ，求点P 的方程。

◎◎已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.三、代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。

例3、P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 求PD 中点的轨迹方程.◎◎已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT 求点T 的轨迹C 的方程.练习:1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ）A 、双曲线B 、半圆C 、两条射线D 、抛物线2. 抛物线的准线l 的方程是y =1, 且抛物线恒过点P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一个端点Q 的轨迹方程是( ).A. (x -1)2=-8(y -1)B. (x -1)2=-8(y -1) (x ≠1)C. (y -1)2=8(x -1)D. (y -1)2=8(x -1) (x ≠1)3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+y 2=4B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1)C 、(x －1)2+y 2=4D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7 . P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 则PD 中点的轨迹方程为( ). A. 116922=+y x B. 196422=+y x C. 14922=+y x D. 19422=+y x 8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ）A 、抛物线B 、圆C 、双曲线的一支D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ）A 、y 2=12xB 、y 2=12x(x>0)C 、y 2=6xD 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、x 2+y 2=21B 、x 2+y 2=41C 、x 2+y 2=21(x<21)D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 222222222222A. 1 B. 1 C. 1 D.12575752525757525x y x y x y x y +=+=+=+= 13、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ）A 、x 2+y 2=2a 2B 、x 2+y 2=4a 2C 、x 2－y 2=4a 2D 、x 2－y 2=a 214、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。

动点轨迹方程的求法一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简整理,主要用于动点具有的几何条件比较明显时．例1已知直角坐标平面上点Q 2,0和圆C ：,动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数如图,求动点M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线．解析：设Mx ,y ,直线MN 切圆C 于N ,则有,,即,,．整理得,这就是动点M的轨迹方程．若,方程化为,它表示过点和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1,方程化为,它表示以为圆心,为半径的圆．二、代入法若动点Mx,y 依赖已知曲线上的动点N 而运动,则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件,从而求得动点M 的轨迹方程,此法称为代入法,一般用于两个或两个以上动点的情况．例2,已知抛物线,定点A 3,1,B 为抛物线上任意一点,点P 在线段AB 上,且有BP :PA =1:2,当点B 在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程,并指出这个轨迹为哪种曲线． 解析：设,,由题设,P 分线段AB 的比,,∴,,解得, 又点B 在抛物线上,其坐标适合抛物线方程,∴,,整理得点P 的轨迹方程为其轨迹为抛物线．三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程,在高考中常填空、选择题的形式出现． 例3,若动圆与圆外切且与直线x =2相切,则动圆圆心的轨迹方程是A ,,,,,,,,,,,,,,B122=+y x MQ ()0>λλλ=MQMN λ=-MQONMO 22λ=+--+2222)2(1y x y x 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x 1=λ45=x )0,45(2222222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（)0,12(22-λλ13122-+λλ12+=x y ),(),,(11y x B y x P 2==PBAPλ.2121,212311++=++=y y x x 2123,232311-=-=y y x x 12+=x y .1)2323()2123(2+-=-x y ),31(32)31(2-=-x y 4)2(22=++y x 012122=+-x y 012122=-+x yC ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D解析：如图,设动圆圆心为M ,由题意,动点M 到定圆圆心－2,0的距离等于它到定直线x =4的距离,故所求轨迹是以－2,0为焦点,直线x =4为准线的抛物线,并且p =6,顶点是1,0,开口向左,所以方程是．选B ．例4,一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心轨迹为 A 抛物线,,,,,,,,,B 圆,,,,,,,,C 双曲线的一支,,,,,D 椭圆解析：如图,设动圆圆心为M ,半径为r ,则有动点M 到两定点的距离之差为1,由双曲线定义知,其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支,选C ．四、参数法若动点Px ,y 的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到,而动点变化受到另一变量的制约,则可求出x 、y 关于另一变量的参数方程,再化为普通方程．例5设椭圆中心为原点O ,一个焦点为F 0,1,长轴和短轴的长度之比为t ．1求椭圆的方程；2设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ,点P 在该直线上,且,当t 变化时,求点P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形．解析：1设所求椭圆方程为由题意得解得,,,,,所以椭圆方程为． 2设点解方程组得,,,,,由和得其中t ＞1．消去t ,得点P 轨迹方程为和．其082=+x y 082=-x y )1(122--=x y 122=+y x 012822=+-+x y x .1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 12-=t t OQOP ).0(12222＞＞b a b x a y =+⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t ba b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 222222)1()1(t y t x t t =-+-),,(),,(11y x Q y x P ⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 12-=t t OQ OP 1x x OQ OP =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222ty t x t y t x 或)22(222>=x y x )22(222-<-=x y x轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分． 五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程．例6,已知两点以及一条直线：y =x ,设长为的线段AB 在直线上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．解析：PA 和QB 的交点Mx ,y 随A 、B 的移动而变化,故可设,则PA ：Q QB ：消去t ,得当t =－2,或t =－1时,PA 与QB 的交点坐标也满足上式,所以点M的轨迹方程是以上是求动点轨迹方程的主要方法,也是常用方法,如果动点的运动和角度有明显的关系,还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法,都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．y x 222=22=x y x 222-=22-=x )2,0(),2,2(Q P -ι2λ)1,1(),,(++t t B t t A ),2)(2(222-≠++-=-t x t t y ).1(112-≠+-=-t x t t y .082222=+-+-y x y x .0822222=+--+-y x x y x。

求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

轨迹（曲线）方程的求法求轨迹方程问题是高中数学的一个难点，求轨迹方程的常用方法有：1）直接法；2）待定系数法；3）定义法；4）代入法；5）参数法；6）交轨法. 下面分别介绍以上六种方法：（1）直接法 —— 直接利用条件通过建立x 、y 之间的关系式f (x ，y )＝0，是求轨迹的最基本的方法. 课标教材(人教版)²高中数学 选修2﹣1（以下所称教材都是指该教材）的《§2.1.2 求曲线的方程》中介绍了此法.直接法求轨迹（曲线）方程一般有五个步骤：① 建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M 的坐标为（x ，y ）； ② 写出点M 运动适合的条件P 的集合：P={M ｜P(M)}； ③ 用坐标表示条件P(M)，列出方程 f (x ，y )=0； ④ 化方程 f (x ，y )=0 为最简形式；⑤ 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 一般地，步骤(5)可省略，如有特殊情形，可以适当说明.教材推导圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程，都是使用直接法. 教材中还配有大量练习题（如：教材P.37练习/3，习题2.1/A 组/2、3，B 组/1、2；P.41例3，P.42练习/4，P.47例6，P.49习题2.2 / B 组/3；P.59例5，P.62习题2.3 / B 组/3；P.74习题2.4 / B 组/3；P.80复习参考题/ A 组/10，B 组/5）.例1. 如图所示，线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|=2a （a >0），|CD|=2b (b>0)，动点P 满足|PA|²|PB|=|PC|²|PD|. 求动点P 的轨迹方程.解：以O 为坐标原点，直线AB 、CD 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A （－a ，0），B （a ，0），C （0，－b ），D （0，b ）， 设P （x ，y ），由题意知 |PA|²|PB|=|PC|²|PD|，∴22)(y a x ++²22)(y a x +-=22)(b y x ++²22)(b y x -+，化简得 x 2－y 2=222b a -.故动点P 的轨迹方程为 x 2－y 2=222b a -.【练习1】 1、已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN |²|MP |＋MN ²NP =0，求动点P （x ，y ）的轨迹方程.2、如图所示，过点P （2，4）作互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程.（2）待定系数法 —— 当已知所求曲线的类型（如：直线，圆锥曲线等）求曲线方程，可先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定方程中的系数(待定系数)，代回所设方程即可.要注意设出所求曲线的方程的技巧.（如：教材P.40例1，P.42练习/2，P.46例5，P.48练习/3、4，P.49习题2.2/A 组/2、5、9；P.54例1，P.55练习/1，P.58例4，P.61练习/2、3，P.61习题2.3 / A 组/2、4、6，B 组/1；P.67练习/1，P.68例3，P.72练习/1，P.73习题2.4 / A 组/4、7；P.80复习参考题/ A 组/1）.例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线41622y x -=1有公共焦点，且过点（32，2）. （2）与双曲线16922y x -=1有共同的渐近线，且过点（－3，23）； 解： (1)设双曲线方程为2222by a x -=1. 由题意易求c=25.∵双曲线过点（32，2）， ∴()2223a －24b=1. 又 ∵a 2＋b 2=(25)2， ∴解得 a 2=12，b 2=8.故 所求双曲线的方程为 81222y x -=1. （2）设所求双曲线方程为16922y x -=λ(λ≠0)， 将点（－3，23）代入得λ=41，∴ 所求双曲线方程为16922y x -=41， 即49422y x -=1. 【练习2】 已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），但|AF|＋|BF|=8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程.（3）定义法 —— 如果根据已知能够确定动点运动的条件符合某已知曲线的定义，则可由该曲线的定义直接写出动点轨迹方程.（如：教材P.49习题2.2/A 组/1、7，B 组/2；P.54例2，P.62习题2.3/A 组/5，B 组/2）例3. 已知动圆过()1,0，且与直线1x =-相切. (1) 求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设动圆圆心为M ，定点()1,0为F ，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知： MF MN =即动点M 到定点F 与到定直线1x =-的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线， 其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线，∴动圆圆心的轨迹方程为 x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+= △216160k k =->，01k k ∴<>或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=， 即()()21212110ky y y y --+=，整理得 2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，∴ 2224(1)40k k k k k +-⋅+=， 解得4k =-或0k =（舍去）， 又 40k =-<，∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=【练习3】 1、已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2=1和圆C 2：(x －3)2＋y 2=9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.2、在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B （－2a ，0），C （2a，0）且满足条件x =sinC －sinB=21sinA ，则动点A 的轨迹方程是 （ ） A. 2216a x －221516a y =1（y ≠0)B. 2216a y －22316a x =1（x ≠0)C. 2216a x －221516a y =1（y ≠0)的左支 D. 2216a x －22316ay =1（y ≠0)的右支（4）代入法（也叫相关点法或转移法） ——若动点P(x ，y )随另一动点Q(x 1，y 1)的运动而运动，并且Q(x 1，y 1)又在某已知曲线上运动，则求点P 的轨迹方程问题常用此法.代入法求轨迹（曲线）方程一般有以下几个步骤：① 设所求点P 的坐标为 (x ，y ) (称之为从动点)，动点Q 的坐标为(x 1，y 1) (称之为主动点) ② 找出点P 与点Q 的坐标关系；③ 用从动点的坐标x 、y 的代数式表示主动点的坐标x 1、y 1； ④ 再将x 1、y 1代入已知曲线方程，即得要求的动点轨迹方程.(如：教材P.41例2，P.50习题2.2 / B 组/1；P.74习题2.4 / B 组/1)例4. 设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN =2MP ，PM ⊥PF ，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程. 解设N （x ，y ），M （x 1，0），P （0，y 0），由MN =2MP 得（x －x 1，y ）=2（－x 1，y 0），∴11022x x x y y -=-⎧⎨=⎩，即1012x x y y =-⎧⎪⎨=⎪⎩.∵PM ⊥PF ，PM =(x 1，－y 0)，PF =(1，－y 0)， ∴(x 1，－y 0)·（1，－y 0）=0，∴x 1＋y 2=0. ∴－x ＋42y =0，即y 2 = 4x .故所求的点N 的轨迹方程是 y 2 = 4x .【练习4】 如图所示，已知P （4，0）是圆 x 2＋y 2=36 内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.（5）参数法 ——当动点P （x ，y ）的横坐标x 、纵坐标y 之间的关系不易直接找到时，可以考虑将x 、y 都用一个中间变量（参数）来表示，即得参数方程，再消去参数就可得到普通方程.例5. 如图所示，已知点C 的坐标是（2，2），过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B. 设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.解 方法一（参数法）：设M 的坐标为（x ，y ）.若直线CA 与x 轴垂直，则可得到M 的坐标为（1，1）. 若直线CA 不与x 轴垂直，设直线CA 的斜率为k ，则直线CB 的斜率为－k1， 故直线CA 方程为：y =k(x －2)＋2，令y =0得x =2－k2，则A 点坐标为(2－k2，0).CB 的方程为：y =－k1(x －2)＋2，令x =0，得y =2＋k2， 则B 点坐标为（0，2＋k 2），由中点坐标公式得M 点的坐标为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=-=+-=k k k k 112022112022y x ①， 消去参数k 得到x ＋y －2=0 (x ≠1)， 又∵ 点M （1，1）在直线x ＋y －2=0上， 综上所述，所求轨迹方程为x ＋y －2=0.方法二（直接法）设M （x ，y ），依题意A 点坐标为（2x ，0），B 点坐标为（0，2y ）.∵|MA|=|MC|， ∴22)2(y x x +-=22)2()2(-+-y x ， 化简得x ＋y －2=0.方法三（定义法）依题意 |MA|=|MC|=|MO|，即：|MC|=|MO|，所以动点M 是线段OC 的中垂线，故由点斜式方程得到：x ＋y －2=0.（6）交轨法 —— 当所求轨迹上的动点是两动曲线的交点时，只要把两动曲线（族）的方程分别求出：0),,(=t y x f 与0),,(=t y x g（t 为参数），然后消去参数t ，即得所求轨迹方程.例6. 如图，过圆224x y +=与x 轴的两个交点A 、B 作圆的切线AC 、BD ，再过圆上任意一点H 作圆的切线，交AC 、BD 于C 、D 两点，设AD 、BC 的交点为R ，求动点R 的轨迹E 的方程.解：设点H 的坐标为（0x ，0y ），则20x ＋20y ＝4 由题意可知0y ≠0，且以H 为切点的圆的切线的斜率为0x y -， ∴切线CD 方程为 y －0y ＝0x y -(x －0x )，展开得 0x x ＋0y y ＝20x ＋20y ＝4， 即 以H 为切点的圆的切线方程为 0x x ＋0y y ＝4，∵A （－2，0），B （2，0），将x ＝±2代人0x x ＋0y y ＝4 可得 点C 、D 的坐标分别为C （－2，0042x y +），D （2，042x y -）， 则直线AD 、BC 的方程分别为AD l ：002424y x x y +=- …… ①， BC l ：002424y x x y -=+- …… ②将两式相乘并化简可得动点R 的轨迹E 的方程为 2244x y +=，即2214x y += 解法二：设点R 的坐标为（0x ，0y ）；直线AR 的方程分别为y ＝002y x +(x ＋0x )，与直线BD 的方程x ＝2联立，解得D （2，0042y x +），同法可得C （－2，0042y x --），则直线CD 斜率为002024x y x -， ∴直线CD 的方程为y －0042y x --＝002024x yx -(x ＋2)∵直线CD 与⊙O 相切， ∴圆心O 到直线CD 的距离等于圆半径2，000244x y y -＝2，化简得 (20x －4)2＋420x 20y ＝(420y )2整理得 (20x －4)2＋420y (20x －4)＝0， ∴20x －4＝0 （舍去）或20x －4＋420y ＝0即 动点R 的轨迹E 的方程为2244x y +=，即2214x y +=总结：求轨迹方程的方法：（1）求单个动点的轨迹问题，用直接法 或待定系数法 或定义法； （2）求两个动点的轨迹问题，用代入法；（3）求多个动点的轨迹问题，用参数法 或交轨法。