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浅谈微分方程模型在经济学中的应用

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浅谈微分方程模型在经济学中的应用 摘要：从实际问题出发，研究如何应用数学工具来分析具体的经济问题，并进而影响决策。 关键字：经济问题；处理决策；数学模型

前言：当今社会，随着经济的全球化和世界金融市场的不断发展，各国越来越意识到在经

济的腾飞中产生的问题的严重性。前不久的英国石油公司在墨西哥湾的原油泄漏，导致附近海域的生态直线下降。最近美国出台的第二轮量化宽松的货币政策引来各国的一直声讨。再比如最近中国股市的疯狂和十一月十二日股市的跳水。各种经济问题的处理，或者决策的产生，都越来越离不开一种工具——数学经济模型。 一、数学经济模型及其重要性 数学经济模型可以按变量的性质分成两类,即概率型和确定型。概率型的模型处理具有随机性情况的模型,确定型的模型则能基于一定的假设和法则,精确地对一种特定情况的结果做出判断。由于数学分支很多,加之相互交叉渗透,又派生出许多分支,所以一个给定的经济问题有时能用一种以上的数学方法去对它进行描述和解释。具体建立什么类型的模型,既要视问题而定,又要因人而异。要看自己比较熟悉精通哪门学科,充分发挥自己的特长。 数学并不能直接处理经济领域的客观情况。为了能用数学解决经济领域中的问题,就必须建立数学模型。数学建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化的结构的数学刻划。或者说,数学经济建模就是为了经济目的,用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系。数学经济建模促进经济学的发展;带来了现实的生产效率。在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统与客户进行商业谈判。

二、构建经济数学模型的一般步骤 1.了解熟悉实际问题,以及与问题有关的背景知识。2.通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象,明确模型中诸多的影响因素,用数量和参数来表示这些因素。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之问的关系。一般情况下用数学表达式来表示,构架出一个初步的数学模型。然后,再通过不断地调整假设使建立的模型尽可能地接近实际,从而得到比较满意的结论。3.使用已知数据,观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。4.运行所得到的模型。把模型的结果与实际观测进行分析比较。如果模型结果与实际情况基本一致,表明模型是符合实际问题的。我们可以将它用于对实际问题进一步的分析或者预测;如果模型的结果与实际观测不一致,不能将所得的模型应用于所研究的实际问题。此时需要回头检查模型的组建是否有问题。问题的假使是否恰当,是否忽略了不应该忽略的因素或者还保留着不应该保留的因素。并对模型进行必要的调整修正。重复前面的建模过程,直到建立出一个经检验符合实际问题的模型为止。一个较好的数学模型是从实际中得来,又能够应用到实际问题中去的。

三、应用实例 如果研究的问题具有动态演化特点，即任一个时刻的状态与前一个时刻的状态有关，则可通过前后状态关系建立数学模型。如果模型是研究状态本身演化特性，称为动态分析模型． 这类模型通常含有未知函数(状态演化函数)的导数或不同 “时点”关系或其累积效果关系． 含未知函数导数的方程称为微分方程；含未知函数两期以上关系的方程称为差分方程；含未知函数累计效应的方程为积分方程． 微分、差分方程模型的建立通常采用微元分析法或前提假设法． 微元分析法是在微小的时间间隔内, 考查函数改变量的关系, 再让时间间隔无限小(微分)或取时间间隔为一个单位(差分)得到方程；最后给出考查初期所处状态, 得到含初始条件的微分 (差分) 方程模型。 微元分析必须建立在正确的科学定律或经济原理之上，才能正确反映问题变化的本质。 如果问题的定律或原理不十分清楚，仅知道某些增减关系，这时只能通过对问题作出一定的假设，根据假设建立方程就是前提假设法．结果要进行检验． 湖水污染问题 某湖湖水容量为 V=1012 m3，上游下游各有一年流量为 Q=1011m3 的河水流进流出该湖。20年前, 上游建了某工厂,生产中使用某有害物质。近来发现湖水中这种有害物质浓度已达0.03毫克/m3，河水污染浓度达到了0.05 毫克/m3. 环保部门提出该工厂整改， 并拟处罚款。该厂辩称: 过去排放废水从未使河水污染超过环保要求的0.001,只是最近疏忽, 才使河水污染, 请求从轻发落。试建立数学模型对湖水污染问题作出分析。 分 析 湖水的污染由河水的污染引起，并且，任意时刻湖水污染程度都与上一个时刻的污染程度及新引起污染有关，有动态特征，建立动态数学模型。 符号：V湖水容量；Q河水流量；t考察问题的时刻。 模型假设 1. 河水是湖水的唯一水源； 2. 湖水容量不变； 3. 河水进入湖中立刻与湖水充分混合； 4. 不考虑湖水河水的自净化作用； 5. 污染物全部溶解在河水、湖水中； 6. 不考虑雨水、蒸发等作用对湖水的影响； 7. 污染物在河水、湖水中分布均匀. 建立模型

模型求解

污水处理分析 某厂拟修建生物治污水池，已知该微生物是依赖于污水中的污 染物生存，同时消耗分解污染物，试建立数学模型分析如何设计 水池合适？(污水中污染物浓度10－3～10－2克/m3，流量10m3/h,环

t [()()()()]()()(1)utvttuttutVvtQtutMt设、为任一时刻湖水污染浓度和河水污染浓度，则在时间间隔内湖水污染变化规律为： 11(1/)()/(0)0,(20)0.03,(0)0.001,(20)0.05tttuQVuvtQVuuvv

取，得差分方程：初始条件：1) (0[()()](0)0ttduQvtutdtVu在式中两边同除以，并令得微分方程模型：

[()]()(0)0duQvutvtdtVu当保持不变时,即： ()(1)QtVutve解得：；

1. ()0.001,utv结果分析：根据模型的解，显然有，所以该工厂若一直以排放湖水不可能污染。

2. (11120.0510,10,()0.039.16vQVutt当时,代入可以解出

年)所以，该工厂所说只是最近疏忽造成污染也是不成立的。 3. t20.74 0.1()0.05/20()0.0025(1010)0.03tvttutteu若假设该工厂污染是逐年线性增长，即

代入方程求解得：

代入解得年，时间上吻合较好，因此假设情况的可能性最大。保要求5×10－4克/m3) 问题分析 1. 微生物靠污水生存，而分解污染物，微生物增加，污染物 减少，污染物减少，又降低微生物生存能力，因此，当水池 容积一定时，微生物、污染物含量经一段时间后必然达到稳 定，稳定后污染物、微生物含量决定了污水治理效果。 故，应从微生物、污染物含量出发讨论水池容积与治理效果 关系。 2. 任一时刻微生物、污染物含量显然与前一时刻含量有关，即任 一时刻状态与前一时刻状态有关，故问题是一个动态分析问题。 3. 污染浓度越高，微生物繁殖的就越快，分解掉的污染物速度也 就越快，即单位时间、单位微生物分解污染物的多少与污水浓度 正相关。微生物增加量也与污水浓度正相关。 模型假设：1. 进出水流量保持不变，且从进水到出水经过较长时 间；(即池内微生物和污染物可以达到平衡) 2. 单位时间内，每单位微生物分解掉单位浓度污染物数量为常数 (记为k1)； 3. 单位时间内，每单位微生物在单位浓度污染物中繁殖数量为常 数(记为k2)； 4.单位时间内，每单位微生物中死亡的数量为常数(记为k3)。 符号：V容积；Q流量；a 流进的污染物浓度。 建立模型

这是一个非线性方程, 不易求解析解. 利用数学软件可以求数值解。这时需要通过实验，先确定几个比例系数。求出数值解，通过作图得变化曲线。实测： k1=0.1,k2=1.26,k3=10－5

这个水池若按三米深建造，则需占地5000多m2。为了节约土地考虑能否建造多级生物降解池？

代入k1,k2,k3,a,Q，分别取u1=5×10－3，u2=5×10－4(环 保要求), 解得 V1=1590 m3，V2=1447 m3 如此以来大大节 约了占地面积。 经济增长分析 国民收入通常分为消费和储蓄两部分，储蓄用于投资，可以 增加生产，生产增加后消费、储蓄增加，又可以反过来促进生产, 试建立数学模型分析这种关系。 问题分析 产出转化储蓄，储蓄化为投资，投资增加产出，任一时刻

t [ 123(),()[()()]()()()()()]()()()()0()utvttuttutVaQtutQtkutvtVtvttvtVkvtVuttkvtVtvtQtVttduQaukdtV设为时刻池中污染物浓度和微生物浓度，则经过时间池中污染物、微生物变化关系：

两式都除以，并令得微分方程： 123()dvQuvkukvdtV； ()微分差分方程有许多无法求解析解。这时就需要对解的性态进行讨论，其中最主要的就是解的稳定性。 ()()()解的稳定性是指当初始条件有微小变化解也发生变化时

经过一定时间后，系统解是否会稳定在某个确定的状态不随时间变化下。 000();ytyyy 讨论方法就是在未知函数不变时求得其解称平衡解，然后考查初始条件微小变化时解的变化。如果时解都趋向平衡解，称为稳定解；否则称为不稳定 000(),(),0,,;,,tdyfyyfydtetyy对于非线性方程在点将用微分线性化, 利用特

征根知：齐次通解是线性组合，特征根实部都为负，则随函数非齐次解解稳定若有特征根有正实部,齐次解非齐次解不趋向解不稳定。

B B12332123232()()0,0/(),0,010,1.26,duQdvQaukuvkukvdtVdtVdudvdtdtkQVauQAuavBuvkkuVAvuaQQVukkakkQk方程；

中令：可以解得两个平衡解：：；和：其中显然解不稳定；而解当即时稳定。即时，解稳定。代入 u* 5534310,10/(1.26*10)51016129kVuVm得要达到环保要求，需要

i i2 112310031111121112222223122()()1,2,,/()/,()/,()iiiiiiiiiiiiiiduQuukuvdtVdvQQkukvvdtVVuavbiuvkQVauQVuvkkuuuQVQvukukkuV模型二：，

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微分学在微观经济学中的几处应用

微分学在微观经济学中的几处应用

微分学在微观经济学中的几处应用摘要：随着社会的发展，微分学与经济学的联系越来越多，本文介绍了导数在边际分析和需求弹性分析中的应用及Logistic模型在微观经济理论中的应用。

关键词：导数；边际分析；需求弹性；Logistic模型随着科技与经济的发展，社会的不断进步，数学这门学科与各行各业的联系越来越密切。

作为高等数学基础内容之一的微分学，它在经济领域中的应用日益广泛，也是经济工作者和决策者进行实践和研究的重要工具之一。

在这里从导数的概念出发介绍了边际分析和需求弹性分析，然后介绍了Logistic模型在微观经济应用。

1导数的概念在微观经济学中的应用导数的概念反映了因变量随自变量变化的快慢，把导数这一概念放到经济学中，就是边际函数的概念，在经济学中涉及到边际成本，边际效益，边际利润等。

y=f（x）在x=x0处可导，该点的导数定义为，当△x=1时，即x0改变了一个单位，且△x=1相对与x0是一个很小的量时，近似得到f（x0+1）≈f（x0）+f …（x0），可以看到边际函数反映了一个经济变量变化一个单位后会引起另一个经济变量变化f …（x0）个单位。

例如，已知总收益函数为R（Q），Q表示销售量，边际收益MR=R‟（Q），在Q=Q0时，MR|Q=Q0=R‟（Q0）表示当销售量为Q0 时，再销售一个单位的商品总收益会改变R‟（Q0）个单位。

函数y=f（x）在x=x0处可导，函数值的相对该变量与自变量的相对该变量之比，称为f（x）从x0到x0+△x两点间的平均相对变化率，也称为两点间的弧弹性，当△x→0时，的极限称为f（x）在x=x0处的相对变化率，也称为x=x0的点弹性，记为。

因为y=f（x）在x=x0处可导，且f …（x0）≠0，有当自变量变化1%时，因变量近似地变化了，从中可以看到，弹性反映一个变量随另一个变量变化的灵敏程度，它是微观经济学中一个重要的概念。

作为生产者在进行生产时他会考虑商品价格对消费者需求量的影响程度来判断当价格上涨或下跌时，总收益会增加还是减少来安排下一步的生产。

微分方程在建模中的应用

微分方程在建模中的应用

微分方程在建模中的应用随着科学技术的不断发展，微分方程已经成为了数学中一项非常重要的研究领域。

微分方程不仅在数学中有着广泛的应用，而且在其他各个学科中，尤其是在自然科学、工程学、经济学等领域中，微分方程也有着广泛的应用。

在这些应用中，微分方程在建模中起着非常重要的作用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

一、微分方程在物理学中的应用物理学是微分方程在科学中最广泛应用的领域之一。

在物理学中，微分方程可以描述物理系统的运动和变化，例如牛顿运动定律、热传导定律、电磁场方程等等。

以下是几个具体的例子：（1）牛顿第二定律：物体的加速度与作用力成正比，反比于物体的质量。

可以用微分方程表示为：F = ma，其中F为物体所受的作用力，m为物体的质量，a为物体的加速度。

（2）热传导方程：描述物体内部温度分布的变化。

可以用微分方程表示为：u/t = α2u，其中u为温度分布，t为时间，α为热扩散系数。

（3）电磁场方程：描述电磁场的变化。

可以用微分方程表示为：·E = ρ/ε0，·B = 0，×E = -B/t，×B = μ0J + μ0ε0E/t，其中E 为电场，B为磁场，ρ为电荷密度，J为电流密度，ε0和μ0为真空中的电介质常数和磁导率。

二、微分方程在工程学中的应用微分方程在工程学中也有着广泛的应用。

在工程学中，微分方程可以描述物理系统的行为和特性，例如机械振动、电路分析、流体力学等等。

以下是几个具体的例子：（1）机械振动方程：描述机械系统的振动行为。

可以用微分方程表示为：mx'' + kx = F(t)，其中m为质量，k为弹性系数，x为位移，F(t)为外部作用力。

（2）电路方程：描述电路中电流和电压的变化。

可以用微分方程表示为：Ldi/dt + Ri = V(t)，其中L为电感，R为电阻，i为电流，V(t)为电压。

（3）流体力学方程：描述流体的运动和变化。

微积分在经济中的应用

微积分在经济中的应用

微积分在经济中的应用微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化率和函数的积分。

在经济领域中，微积分也有着广泛的应用。

本文将介绍微积分在经济中的应用。

一、边际分析和最优化边际分析是微积分在经济中的一个重要应用。

它研究的是在一定范围内的最优解。

通过计算边际成本和边际收益，可以找到最优的生产量或价格，从而获得最大利润。

例如，对于一个厂商来说，如果其生产成本为每单位100元，销售价格为每单位150元，那么如果生产100单位的产品，总利润为5000元。

但如果每单位生产成本下降到80元，销售价格不变，那么生产150单位的产品可以获得最大利润7500元。

因此，厂商应该选择生产150单位的产品。

二、弹性分析弹性分析是微积分在经济中的另一个重要应用。

它研究的是函数对于自变量的敏感程度。

在经济学中，弹性分析可以帮助我们理解价格的变动对于需求和供给的影响。

例如，需求弹性和供给弹性可以帮助我们理解市场均衡价格的变动。

如果需求缺乏弹性，那么价格的上升可能会导致销售量的下降幅度小于价格上升的幅度，从而厂商的利润会增加。

因此，厂商可能会选择提高价格。

相反，如果需求富有弹性，那么价格的上升可能会导致销售量的下降幅度大于价格上升的幅度，从而厂商的利润会减少。

因此，厂商可能会选择降低价格。

三、微分方程微分方程是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述变量之间的依赖关系。

在经济领域中，微分方程可以用来描述市场均衡价格的变动。

例如，在供求定理中，我们可以建立一个微分方程来描述价格和销售量之间的关系。

如果供给函数为s(p)，需求函数为d(p)，那么我们可以建立如下微分方程：dp/dt = s(p) - d(p)其中，t表示时间，p表示价格。

该方程表示的是在时间内价格的变动量等于供给量与需求量之差。

通过求解这个微分方程，我们可以预测市场均衡价格的变动。

总之，微积分在经济中有着广泛的应用，它可以帮助我们更好地理解经济现象和解决实际问题。

微分方程的经济应用模型举例

微分方程的经济应用模型举例

微分方程的经济应用模型举例微分方程在不仅在物理学、力学上有广泛的应用，在经济学和管理科学等实际问题中也比比皆是，本节我们将集中讨论微分方程的经济应用。

读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决经济管理实际问题的魅力.分布图示★公司资产函数 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题模型★差分方程在经济学中的应用内容要点一、公司资产函数 例。

某公司t 年净资产有)(t W (百万元), 并且资产本身以每年5%的速度连续增长, 同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资.(1) 给出描述净资产)(t W 的微分方程;(2) 求解方程, 这时假设初始净资产为;0W(3) 讨论在700,600,5000=W 三种情况下, )(t W 变化特点.解 (1) 利用平衡法，即由净资产增长速度＝资产本身增长速度－职工工资支付速度 得到所求微分方程 .3005.0-=W dtdW(2) 分离变量，得.05.0600dt W dW=-两边积分，得 11(ln 05.0|600|ln C C t W +=-为正常数），于是 ,|600|05.01teC W =- 或 ).(600105.0C C Ce W t±==-将0)0(W W =代入，得方程通解： .)600(60005.00teW W -+=上式推导过程中,600≠W 当600=W 时，0=dtdW知 ,)600(60005.00t e W W -+= ,6000W W ==通常称为平衡解，仍包含在通解表达式中.(3) 由通解表达式可知，当5000＝W 百万元时，净资产额单调递减，公司将在第36年破产；当6000＝W 百万元时，公司将收支平衡，将资产保持在600百万元不变；当7000＝W 百万元时，公司净资产将按指数不断增大.二、 逻辑斯谛方程:逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为h (t ), 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= (8.2) 其中0>k 是比例常数. 这个方程为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程.下面来求解方程(8.2). 分离变量得,)(kdt h H h dh=-两边积分,)(⎰⎰=-kdt h H h dh得 ,)]ln([ln 11C kt h H h H+=-- 或,21k H t H C k H t e C e hH h==-+ 故所求通解为,11)(22kHtkHt kHt CeH e C He C t h -+=+= 其中的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>==-0112H C e C C C 是正常数. 函数)(t h 的图象称为Logistic 曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic 曲线, 由于它的形状, 一般也称为S 曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得.)(lim H t h t =+∞→这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.注: Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用.人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家V erhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-= (8.3)其中b k ,的称为生命系数.我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k 的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得,2=b 从而估计得:(1)世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2)到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销售的增长率,dtdx与)(t x 成正比, 同时, 考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dtdx与尚未购买该产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比, 于是有)(x N kx dtdx-=(8.4)其中k 为比例系数. 分离变量积分, 可以解得kNtCe Nt x -+=1)((8.5)由,)1()1(,)1(2322222kNt kNt kNt kNt kNt Ce Ce e N Ck dt x d Ce ke CN dt dx -----+-=+= 当N t x <)(*时, 则有,0>dt dx 即销量)(t x 单调增加. 当2)(*N t x =时, ;022=dtx d 当2)(*N t x >时, ;022<dtxd 当2)(*N t x <时, 即当销量达到最大需求量N 的一半时, 产品最为畅销, 当销量不足N 一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少.国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式(8.5)的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益.三、价格调整模型例 如果设某商品在时刻t 的售价为P , 社会对该商品的需求量和供给量分别是P 的函数),(),(P S P D 则在时刻t 的价格)(t P 对于时间t 的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量)()(P S P D -成正比, 即有微分方程)0()]()([>-=k P S P D k dtdP(1.3) 在)(P D 和)(P S 确定情况下, 可解出价格与t 的函数关系，这就是商品的价格调整模型. 在本章第一节例3已经假设, 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系. 一般情况下,商品供给量S 是价格P 的单调递增函数, 商品需求量Q 是价格P 的单调递减函数, 为简单起见, 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为P P Q bP a P S βα-=+=)(,)( (8.6)其中βα,,,b a 均为常数, 且.0,0>>βb当供给量与需求量相等时, 由(8.6)可得供求平衡时的价格baP e +-=βα 并称e P 为均衡价格.一般地说, 当某种商品供不应求, 即Q S <时, 该商品价格要涨, 当供大于求, 即Q S >时, 该商品价格要落. 因此, 假设t 时刻的价格)(t P 的变化率与超额需求量S Q -成正比, 于是有方程)]()([P S P Q k dtdP-= 其中,0>k 用来反映价格的调整速度.将(8.6)代入方程, 可得)(P P dtdPe -=λ (8.7) 其中常数,0)(>+=k b βλ方程(8.7)的通解为t e Ce P t P λ-+=)(假设初始价格,)0(0P P =代入上式, 得,0e P P C -=于是上述价格调整模型的解为t e e e P P P t P λ--+=)()(0由于0>λ知, +∞→t 时, .)(e P t P →说明随着时间不断推延, 实际价格)(t P 将逐渐趋近均衡价格e P .四、人才分配问题模型每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍, 其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作. 设t 年教师人数为),(1t x 科学技术和管理人员数目为),(2t x 又设1外教员每年平均培养α个毕业生, 每年人教育、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员的比率为βδδ),10(<<表示每年大学生毕业生中从事教师职业所占比率),10(<<δ于是有方程111x x dt dx δαβ-= (8.8) 212)1(x x dtdx δβα--= (8.9) 方程(8.8)有通解t e C x )(11δαβ-=(8.10)若设,)0(101x x =则,101x C =于是得特解tex x )(101δαβ-= (8.11) 将(8.11)代入(8.9)方程变为te x x dtdx )(1022)1(δαββαδ--=+ (8.12) 求解方程(8.12)得通解t te x eC x )(122)1(δαβδββ---+= (8.13)若设,)0(202x x =则,110202x x C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=ββ于是得特解 tt ex e x x x )(101020211δαβδββββ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= (8.14) (8.11)式和(8.14)式分别表示在初始人数分别为)0(),0(21x x 情况, 对应于β的取值, 在t 年教师队伍的人数和科技经济管理人员人数. 从结果看出, 如果取,1=β即毕业生全部留在教育界, 则当∞→t 时, 由于,δα>必有+∞→)(1t x 而,0)(2→t x 说明教师队伍将迅速增加. 而科技和经济管理队伍不断萎缩, 势必要影响经济发展, 反过来也会影响教育的发展. 如果将β接近于零. 则,0)(1→t x 同时也导致,0)(2→t x 说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师选择好比率β, 将关系到两支队伍的建设, 以及整个国民经济建设的大局.五、追迹问题设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A 点沿垂直于OA 的直线以等速0v 向正北行走; 甲从乙的左侧O 点出发, 始终对准乙以)1(0>n mv 的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.解 设所求追迹曲线方程为).(x y y =经过时刻t , 甲在追迹曲线上的点为),,(y x P 乙在点).,1(0t v B 于是有,1tan 0xyt v y --='=θ (8.15) 由题设, 曲线的弧长OP 为,1002t nv dx y x='+⎰解出t v 0代入(8.15), 得.11)1(02⎰'+=+'-x dx y ny y x 两边对x 求导, 整理得.11)1(2y ny x '+=''- 这就是追迹问题的数学模型.这是一个不显含y 的可降阶的方程, 设p y x p y ''=''='),(, 代入方程得211)1(p np x +='- 或 ,)1(12x n dxp dp -=+两边积分, 得|,|ln |1|ln 1)1ln(12C x np p +--=++即 .1112nxC p p -=++ 将初始条件00||==='x x p y 代入上式, 得.11=C 于是,1112nxy y -='++' (8.16)两边同乘,12y y '+-'并化简得,112n x y y --='+-' (8.17)(8.16)与(8.17)式相加, 得,11121⎪⎭⎫ ⎝⎛---='n n x x y两边积分, 得.)1(1)1(121211C x n n x n ny nn nn +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---=+- 代入初始条件0|0==x y 得,122-=n nC 故所求追迹曲线方程为 ),1(11)1(1)1(2211>-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=-+n n n n x n x n y n n n n甲追到乙时, 即曲线上点P 的横坐标,1=x 此时.12-=n n y 即乙行走至离A 点12-n n个单位距离时被甲追到.五、差分方程在经济学中的应用采用与微分方程完全类似方法，我们可以建立在经济学中的差分方程模型，下面举例说明其应用.1.“筹措教育经费”模型某家庭从现在着手, 从每月工资中拿出一部分资金存入银行, 用于投资子女的教育, 并计算20年后开始从投资账户中每月支取1 000元, 直到10年后子女大学毕业并用完全部资金. 要实现这个投资目标, 20年内要总共筹措多少资金? 每月要在银行存入多少钱? 假设投资的月利率为0.5%, 为此, 设第t 个月, 投资账户资金为,t a 每月存资金为b 元, 于是20年后, 关于,t a 的差分方程模型为1000)005.1(1-=+t t a a (9.11)且.,00120x a a ==2. 价格与库存模型本模型考虑库存与价格之间的关系设)(t P 为第t 个时段某类产品的价格, )(t L 为第t 个时段的库存量. L 为该产品的合理库存量. 一般情况下, 如果库存量超过合理库存, 则该产品的售价要下跌, 如果库存量低于合理库存, 则该产品售价要上涨, 于是有方程)(1t t t L L k P P -=-+ (9.13)其中k 为比例常数.3. 国民收入的稳定分析模型本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间的关系问题.设第t 期内的国民收入t y 主要用于该期内的消费t G , 再生产投资t I 和政府用于公共设施的开支G (定为常数), 即有G I C y t t t ++= (9.17)又设第t 期的消费水平与前一期的国民收入水平有关, 即)10(1<<=-A Ay C t t (9.18)第t 期的生产投资应取决于消费水平的变化, 即有)(1--=t t t C C B I (9.19)由方程(9.17), (9.18), (9.19)合并整理得G BAy y B A y t t t =++---21)1( (9.20)于是, 对应A , B , G 以及,,0y y 可求解方程, 并讨论国民收入的变化趋势和稳定性.。