人教版七年级数学下册9.综合滚动练习：不等式的解法及其应用

《不等式及其解集》典型例题例1用不等式表示：（1）是正数；（2）与5的和是负数；（3）的一半不大于10；（4）的与1的差是非负数．分析：列不等式的关键是把数量关系中的“大于”、“是负数”、“不大于”、“是非负数”等文字语言正确地用数学符号表示出来，其中“非负数”是正数与零的统称．解：（1）；（2）（3）；（4）例2用“”或“”号填空若且则：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．解：（1）因为，根据不等式的性质1，有；（2）因为，根据不等式的性质1，有；（3）因为，根据不等式的性质2，有；（4）因为，根据不等式的性质3，有，再由不等式性质1，有；（5）因为，由不等式的性质1，；（6）因为，由不等式的性质1，；（7）因为且，由不等式性质2知；（8）因为且，由不等式性质3，有说明：解这类题应先观察不等号左右两边是由原来的不等式进行了什么样的变形得来的，弄清楚了，再对照不等式的性质，决定是否要改变不等号的方向．例3 判断下列各题的结论是否正确，并说明理由．（1）如果，，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么；（4）如果，且，那么．解：（1）不正确．因为当或时，不成立；（2）正确．因为成立，必有且，根据不等式基本性质2，得；（3）正确．根据不等式基本性质1，由，两边都加上，得；（4）不正确．因为，那么有可能大于0，也有可能小于0，当时，根据不等式基本性质3，两边同除以得．说明：①注意成立则隐含着这个条件且；②要注意（4）小题中的条件“”的讨论，因为代表有理数，所以可能取正，也可能取负数．例4根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．（1）；（2）；（3）；（4）解：（l）根据不等式基本性质1，不等式两边都加上5，不等号的方向不改变，所以，即（2）根据不等式基本性质1，不等式的两边都减去，不等式不改变方向，所以，即（3）根据不等式基本性质2，不等式两边同除以（或乘以），不等号不改变方向，所以，即（4）根据不等式基本性质3，不等式两边同乘以－2（或除以－）；不等号改变方向，所以，即说明：在运用不等式基本性质3时，一定不要忘记改变不等号的方向．例5用不等式表示：（1）x与1的和是正数；（2）的与的的差是负数；（3）的2倍与1的和大于3；（4）的一半与4的差小于．分析：列不等式时要注意抓住关键词的意义，如（1）中“正数”，（4）中“小于”等．解：说明：不等式表示代数式之间的不相等的关系，与方程表示相等关系相对应．研究不等关系列不等式的重点是抓关键词，弄清不等关系．9.1.1《不等式及其解集》同步练习题知识点：1、不等式：含有符号“＜、＞、≥、≤、≠”的式子2、不等式的解：使含有未知数的不等式成立的值 3．不等式解集及其数轴表示法⑴ 不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8．(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．如：同步练习：1.用 连接的式子叫做不等式；2.当x = 3时，下列不等式成立的是 （ ）A 、x ＋3＞5B 、x ＋3＞6C 、x ＋3＞7D 、x ＋3＞8 3.下列说法中，正确的有 （ ）①4是不等式x ＋3＞6的解，②x ＋3＜6的解是x ＜2③3是不等式x ＋3≤6的解，④x ＞4是不等式x ＋3≥6的解的一部分 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ） A 、x ≥－2 B 、x ＜C 、x ≠、x ＜05.下列说法中，正确的是 （ ）A 、x=3是不等式2x>5的一个解B 、x=3是不等式2x>5的解集C 、x=3是不等式2x>5的唯一解D 、x=2是不等式2x>5的解6.x 与3的差的2倍小于x 的2倍与3倍的差，用不等式表示为 （ ） A 、2（x-3）<(x-3) B 、2x-3<2(x-3) C 、2（x-3）<2x-3 D 、2x-3<1/2(x-3)7.已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）A 、13cmB 、6cmC 、5cmD 、4cm 9.1.1《不等式及其解集》同步练习题（1）答案： 1.符号“＜、＞、≥、≤、≠” 2-7 ABDACB0-1-2。

七下数学第九章不等式与不等式组一、选择题1.在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足( )A．−8<x<8B．x<−8或x>8C．x<8D．x>82.下列式子一定成立的是( )A．若ac2=bc2，则a=b B．若ac>bc ,则a>bC．若a>b，则ac2>bc2D．若a<b，a(c2+1)<b(c2+1) 3.由x<y能得到mx>my，则( )A．m>0B．m≥0C．m<0D．m≤04.若0<m<1，m，m2，1m的大小关系是( )A．m<m2<1m B．m2<m<1mC．1m<m<m2D．1m<m2<m5.下列四个命题：①若a>b，则a−3>b−3；②若a>b，则a+c>b+c；③若a>b，则−3a<−3b；④若a>b，则ac>bc．其中，真命题的个数有( )A．3B．2C．1D．06.若不等式组{x+8<4x−1,x>m的解集是x>3，则m的取值范围是( )A．m≤3B．m>3C．m<3D．m=37.运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是( )A．x≥11B．11≤x<23C．11<x≤23D．x≤238.我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]=2，[3]=3，[−2.5]=−3，已知x，y满足方程组{3[x]+2[y]=9,3[x]−[y]=0.则[x+y]可能的值有( )A．1个B．2个C．3个D．4个9.某品牌电脑的成本为2400元，售价为2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于5%，如果将这种品牌的电脑打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是( )A．2800x≥2400×5%B．2800x−2400≥2400×5%C．2800×x10≥2400×5%D．2800×x10−2400≥2400×5%10. 今年学校举行足球联赛，共赛 17 轮（即每队均需参赛 17 场），记分办法是胜 1 场得 3 分，平 1 场得 1 分，负 1 场得 0 分．在这次足球比赛中，小虎足球队得 16 分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有A ．2 种B ．3 种C ．4 种D ．5 种11. 若关于 x 的不等式组 {x−12≥2k,x −k ≤4k +6有解，且关于 x 的方程 kx =2(x −2)−(3x +2) 有非负整数解，则符合条件的所有整数 k 的和为 ( )A ． −5B ． −9C ． −12D ． −1612. 若关于 x ，y 的方程组 {2x +y =4,x +2y =−3m +2 的解满足 x −y >−32，则 m 的最小整数解为 ( )A ． −3B ． −2C ． −1D ． 0二、填空题13. 已知 x ≥2 的最小值是 a ，x ≤−6 的最大值是 b ，则 a +b = ． 14. 用“>”或“<”填空：① 若 m +2<n +2，则 −4m +5 −4n +5； ② 若 2m <2n ，则 −3(1−3m )2−3(1−3n )2．15. 若不等式 (a −2)x <1，两边除以 a −2 后变成 x <1a−2，则 a 的取值范围是 ． 16. 若不等式组 {2x −a <1,x −2b >3的解集为 −3<x <1，则 (a +1)(b −1) 的值为 ．17. 关于 x 的不等式 (2a −b )x +a −2b >0 的解集为 x <107，则不等式 ax >b 的解集为 ．18. 已知 x −y =3，且 x >2，y <1，则 x +y 的取值范围是 ． 三、解答题19. 一种药品的说明书上写着：“每日用量 120∼180 mg ，分 3∼4 次服完．”一次服用这种药的剂量在什么范围？20. 解不等式 3x −2≥2(2+3x )，并把它的解集在数轴上表示出来．21.已知方程组{x−y=1+3a,x+y=−7−a中x为非正数，y为负数．(1) 求a的取值范围；(2) 在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x>2a+1的解集为x<1？22.延安市2018年举行迎新春首届灯展，承办方计划在现场安装小彩灯和大彩灯，已知：安装5个小彩灯和4个大彩灯共需155元；安装7个小彩灯和6个大彩灯共需225元．(1) 求安装1个小彩灯和1个大彩灯各需多少元；(2) 若承办方安装小彩灯和大彩灯的数量共300个，费用不超过5000元，则最多安装大彩灯多少个？23.若不等式5(x−2)+8≤6(x−1)+7的最小整数解是方程3x−ax=−3的解，求−∣10−a2∣的值．24.李大爷一年前买入了相同数量的A，B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍然相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔的数量比买入时的2倍少10只．(1) 求一年前李大爷共买了多少只种兔；(2) 李大爷目前准备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元/只，卖B种种兔可获利6元/只．如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔，且总共获利不低于280元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获利．25.某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元．已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．(1) 求A，B型号衣服进价各是多少元；(2) 若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，求商店在这次进货中可有几种方案，并简述购货方案．答案一、选择题 1. 【答案】A 2. 【答案】D 3. 【答案】C 4. 【答案】B 5. 【答案】A 6. 【答案】A 7. 【答案】C【解析】由题意得，{2x +1≤95, ⋯⋯①2(2x +1)+1≤95, ⋯⋯②2[2(2x +1)+1]+1>95. ⋯⋯③解不等式 ① 得，x ≤47， 解不等式 ② 得，x ≤23， 解不等式 ③ 得，x >11，∴x 的取值范围是 11<x ≤23． 8. 【答案】B【解析】解方程组 {3[x ]+2[y ]=9,3[x ]−[y ]=0.可得 {[x ]=1,[y ]=3.又 ∵[a ] 表示不大于 a 的最大整数， ∴1≤x <2，3≤y <4， ∴4≤x +y <6，∴[x +y ] 可能的值有 4 和 5 . 9. 【答案】D 10. 【答案】B【解析】设小虎足球队胜了 x 场，平了 y 场，负了 z 场 k 为整数．依题意得：{x +y +z =17,3x +y =16,y =kz.解得z =352k+3. ∵ z 为正整数， ∴ 2k +3=1，5，7，35， 可得 k =−1，1，2，16，舍去不合题意得 k 的值，可得 k =1，2，16． 综上所述，小虎足球队所负场数的情况有 3 种． 11. 【答案】B【解析】 {x−12≥2k, ⋯⋯①x −k ≤4k +6. ⋯⋯②解 ① 得：x ≥1+4k ， 解 ② 得：x ≤6+5k ，∴ 不等式组的解集为 1+4k ≤x ≤6+5k ， 1+4k ≤6+5k ， k ≥−5，解关于 x 的方程 kx =2(x −2)−(3x +2) 得 x =−6k+1， ∵ 关于 x 的方程 kx =2(x −2)−(3x +2) 有非负整数解， 当 k =−4 时，x =2， 当 k =−3 时，x =3， 当 k =−2 时，x =6， ∴−4−3−2=−9． 12. 【答案】C【解析】 {2x +y =4, ⋯⋯①x +2y =−3m +2. ⋯⋯②①−② 得：x −y =3m +2， ∵ 关于 x ，y 的方程组 {2x +y =4,x +2y =−3m +2的解满足 x −y >−32，∴3m +2>−32， 解得：m >−76，∴m 的最小整数解为 −1． 二、填空题13. 【答案】 −414. 【答案】 > ； < 15. 【答案】 a >2 16. 【答案】 −8【解析】{2x −a <1, ⋯⋯①x −2b >3. ⋯⋯②∵ 解不等式 ① 得：x <a+12,解不等式 ② 得：x >3+2b,∴ 不等式组的解集为3+2b <x <a+12,∵ 不等式组的解集为 −3<x <1，∴3+2b=−3，且a+12=1，解得：a=1，b=−3，∴(a+1)(b−1)=(1+1)×(−3−1)=−8．17. 【答案】x<98【解析】由关于x的不等式(2a−b)x+a−2b>0，解得x<2b−a2a−b 或x>2b−a2a−b，∵x<107，∴2a−b<0，即2a<b，∴2b−a2a−b =107，20a−10b=14b−7a，∴27a=24b，即b=98a，∵2a<b，即2a<98a，∴a<0，∵ax>b，且a<0，解得：x<98．18. 【答案】1<x+y<5【解析】∵x−y=3，∴x=y+3，又∵x>2，∴y+3>2，∴y>−1，又∵y<1，∴−1<y<1, ⋯⋯①同理得：2<x<4, ⋯⋯②由①+②得：−1+2<y+x<1+4，∴x+y的取值范围是1<x+y<5．三、解答题19. 【答案】∵120÷3=40，120÷4=30，180÷3=60，180÷4=45，∴若每天服用3次，则所需剂量为40∼60mg之间，若每天服用4次，则所需剂量为30∼45mg之间，∴ 一次服用这种药的剂量为 30∼60 mg 之间．20. 【答案】去括号，得3x −2≥4+6x.移项，得3x −6x ≥4+2.合并同类项，得−3x ≥6.化系数为 1，得x ≤−2.表示在数轴上为：21. 【答案】(1) 解方程组 {x −y =1+3a,x +y =−7−a,得 {x =−3+a,y =−4−2a.∵ 方程组 {x −y =1+3a,x +y =−7−a中 x 为非正数，y 为负数，∴{−3+a ≤0,−4−2a <0,解得：−2<a ≤3．(2) 2ax +x >2a +1， (2a +1)x >2a +1，∵ 要使不等式 2ax +x >2a +1 的解集为 x <1，必须 2a +1<0，解得：a <−0.5，∵−2<a ≤3，a 为整数， ∴a =−1，∴ 当 a 为 −1 时，不等式 2ax +x >2a +1 的解集为 x <1．22. 【答案】(1) 设安装 1 个小彩灯需要 x 元，安装 1 个大彩灯需要 y 元，根据题意得 {5x +4y =155,7x +6y =225,解得：{x =15,y =20.即：安装 1 个小彩灯需要 15 元，安装 1 个大彩灯需要 20 元． (2) 设安装大彩灯 z 个，则安装小彩灯 (300−z ) 个， 根据题意得：20z +15(300−z )≤5000， 解得：z ≤100．即：最多安装大彩灯 100 个．23. 【答案】去括号，得：5x −10+8≤6x −6+7，移项，得：5x −6x ≤−6+7+10−8， 合并同类项，得：−x ≤3， 系数化为 1，得：x ≥−3，则该不等式的最小整数解为 x =−3，根据题意，将 x =−3 代入方程 3x −ax =−3，得：−9+3a =−3，解得：a =2，则 原式=−∣10−4∣=−6．24. 【答案】(1) 设李大爷一年前买A ，B 两种种兔各 x 只， 则由题意得 x +20=2x −10， 解得 x =30，即一年前李大爷共买了 60 只种兔．(2) 设李大爷卖A 种种兔 y 只，则卖B 种种兔 (30−y ) 只，则由题意得 {y <30−y, ⋯⋯①15y +(30−y )×6≥280, ⋯⋯②解 ① 得 y <15， 解 ② 得 y ≥1009，即1009≤y <15．∵y 是整数， ∴y =12,13,14，即李大爷有三种卖兔方案，方案一：卖A 种种兔 12 只，B 种种兔 18 只；可获利 12×15+18×6=288（元）； 方案二：卖A 种种兔 13 只，B 种种兔 17 只；可获利 13×15+17×6=297（元）； 方案三：卖A 种种兔 14 只，B 种种兔 16 只；可获利 14×15+16×6=306（元）． 显然，方案三获利最大，最大利润为 306 元．25. 【答案】(1) 设A 种型号的衣服进价为 x 元，B 种型号的衣服进价为 y 元，则 {9x +10y =1810,12x +8y =1880,解得 {x =90,y =100.即：A 种型号的衣服进价为 90 元，B 种型号的衣服进价为 100 元． (2) 设B 型号衣服购进 m 件，则A 型号衣服购进 (2m +4) 件，可得：{18(2m +4)+30m ≥699,2m +4≤28,解之得 192≤m ≤12，∵m 为正整数，∴m =10,11,12，则 2m +4=24,26,28， 即：有三种进货方案：方案一：B 型号衣服购进 10 件，A 型号衣服购进 24 件；方案二：B型号衣服购进11件，A型号衣服购进26件；方案三：B型号衣服购进12件，A型号衣服购进28件．。

试卷第1页，总15页 人教版七年级数学下册单元测试题：第9章 不等式与不等式组 一、填空题 1. “x的4倍与2的和是负数”用不等式表示为 . 2.若23xm-1-2>19是关于x的一元一次不等式,则 . 3.不等式4+3x≥x-1的所有负整数解的和为 .

4．若不等式无解,则实数a的取值范围是 .

5．已知关于x，y的方程组的解满足不等式x＋y＞3，则a的取值范围是 . 6．已知关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是 . 二、选择题 7．下列说法不一定成立的是（ ） A. 若a>b，则a＋c>b＋c B. 若a＋c>b＋c，则a>b C. 若a>b，则ac2>bc2 D. 若ac2>bc2，则a>b 8．如图是关于x的不等式2x－a≤－1的解集，则a的取值是（ ）

A. a≤－1 B. a≤－2 C. a＝－1 D. a＝－2 9．下列解不等式2＋x3＞2x－15的过程中，出现错误的一步是（ ） ①去分母，得5(x＋2)＞3(2x－1)； ②去括号，得5x＋10＞6x－3； ③移项，得5x－6x＞－10－3； ④合并同类项、系数化为1，得x＞13. A. ① B. ② C. ③ D. ④

10．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）

11.对于实数x,我们规定:[x]表示不小于x的最小整数,例如:[1.4]=2,[4]=4,[-3.2]=-3,若=6,则x的取值可以是( ) A.41 B.47 C.50 D.58 12.张老师带领全班学生到植物园参观,门票每张10元,购票时才发现所带的钱不够,售票员告诉他:如果参观人数50人以上( 含50人 )可以按团体票八折优惠,于是张老师购买了50张票,结果发现所带的钱还有剩余.那么张老师和他的学生至少有( ) A.40人 B.41人 C.42人 D.43人 试卷第2页，总15页

13.已知4A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.把一些图书分给几名同学,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每名同学分5本,那么最后一人就分不到3本.这些图书有( ) A.23本 B.24本 C.25本 D.26本 15．“一方有难，八方支援”，雅安芦山4•20地震后，某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅.规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅(一桌一椅为一套)的套数为（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 16．某市出租车的收费标准是：起步价8元(即行驶距离不超过3千米都需付8元车费)，超过3千米以后，每增加1千米，加收2.6元(不足1千米按1千米计).某人打车从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为21元，那么x的最大值是（ ） A. 11 B. 8 C. 7 D. 5 三、解答题 17．解下列不等式和不等式组：

人教版七年级下册数学第九章含参不等式以及含参不等式组的解法含参不等式以及含参不等式组的解法在中考中经常出现，它们往往掺杂参数来增加难度。

但只要我们读清楚题目并找到解题思路，就能迎刃而解。

本节课将重点讲解如何读题去寻找解题思路。

对于含参不等式，我们需要分类讨论情况。

当不等式为ax0、a0时，解集为任意数；当b≤0时，这个不等式无解。

当不等式为ax≥b时，解集情况也需要分类讨论。

当b≥0时，解集为任意数；当b<0时，这个不等式无解。

在这些需要讨论的情况下，等号最后讨论才方便，不会讨论重合。

例如，对于不等式kx+2>2x-3，我们可以移项、合并同类项，并进一步讨论取值。

对于含参不等式组，我们需要观察解集，并根据解集分类讨论情况。

例如，对于不等式组{x>1.x>3}，解集为x>3；对于不等式组{x1.x3}，无解。

练题：1、求不等式kx+2>3的解集。

2、（1）求不等式mx-2<-7-nx的解集；（2）求不等式m2x+1<-x+5的解集。

3、关于x的方程5x-2m=-4-x的解满足2<x<10，求m的取值范围。

4、（1）求不等式(x-a)(x-b)>0的解集；（2）求不等式x-20x-18x-16x-14x-12>5的解集。

5、（1）已知关于x的不等式组{x-a≥5-2x。

x>a+2}，只有四个整数解，求实数a的取值范围；（2）已知关于x的不等式组{x<3a-2.x<1.x<1-k}无解，则a的取值范围是？已知关于x的不等式组为：begin{cases}x-a>0\\x-a<5\\x-a>3\\x-a<8\\x-a>6\\x-a<11end{cases}求a的取值范围。

首先，我们可以将每个不等式都变形为$x>a$的形式，得到：begin{cases}x>a\\x<a+5\\x>a+3\\x<a+8\\x>a+6\\x<a+11end{cases}接下来，我们可以将这些不等式表示在数轴上，如下图所示：image.png](/upload/image_hosting/ed4z3l4y.png)根据图中的表示，我们可以发现，对于任意一个整数解x，它都必须同时满足这6个不等式，也就是说，它必须在数轴上被标记为黑色的点。