平面向量PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

故选 B.
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
→
→
→
→
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→
→
→
→
→

01
A
01
B
01
课后作业
练习：
3.（1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？
（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？
是
不是
2．如图，D,E,F分别是各边的中点，写出图中与 相等的向量.
（无数个）
问题6:零向量可用 表示那么单位向量能否用 表示?
（不能）
问题7:单位向量是否一定相等?它的大小是否一定相等?
（不一定，一定）
问题8:零向量小于单位向量吗?
（不，向量不能比较大小）
问题:一组向量它们的方向相同或相反,那么这组向量有什么关系?
01
问题:若两个向量相等,那么它们必须具备什么条件? （长度相等，方向相同）
A
F
C
E
B
D
位移是一个既有大小又有方向的量，这种量就是本章所要研究的向量。
如图中的小船，由A地向西北方向航行15n mile （海里）到达B地。在这里，如果仅指出“由A地航行15n mile”，而不指明“向西北方向”航行，那么小船就不一定到达B地了。
向量表示法：
定义：既有大小又有方向的量.
有向线段法——-有向线段的方向表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 其他表示法——-用字母a,b,c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示. 有关向量的概念： 向量长度：向量的大小，亦称模. 零向量：长度为零的向量. 单位向量：长度等于1个单位长度的向量. 相等向量：长度相等且方向相等的向量.
（11个）
（存在）
01
向量及其表示方法.
两个特殊向量:零向量,单位向量.

所以△ABC是直角三角形．
探索新知
例10 若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想．
所以△ABC是直角三角形．
探索新知
解：
例11 设 a＝(5，－7)，b＝(－6，－ 4) ，求a·b及a，b的夹角θ(精确到1°).
利用计算器可得θ≈92°.
探索新知
则＝
探索新知
于是cos(α－ β)＝cos αcos β+sin αsin β
另一方面，如图（1）可知， θ
如图（2）可知，θ
于是± θ ，∈Z
所以cos(α－ β)＝
（1）
（2）
02
题型突破
题型突破
题型一 平面向量数量积的坐标运算
题型突破
题型突破
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
(2)求模.利用计算两向量的模
(4)求角.由向量夹角的范围及求的值.
03
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
课
堂
小
结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
例12 用向量方法证明两角差的余弦公式 cos(α－ β)＝cos αcos β+sin αsin β
证明：角 α， β的终边与单位圆的交点分别为A，B.
则(cos α ， sin α)， (cos β ， sin β)
设与 的夹角为θ，