《平面向量概念》PPT课件.ppt

6.1平面向量的概念（课件）平面向量是用来描述平面上空间中的数量和方向的量。

它由有向线段（箭头表示方向）来表示，起点为向量的“原点”(通常用O表示)，终点为线段的另一个端点，长度为线段的长度。

平面向量的三要素：1.方向：表示向量的箭头指向的方向2.大小：向量的长度即线段的长度3.起点：向量的起点被视为原点设有平面向量 $\vec{a}$，它的长度为 $|\vec{a}|$，它的方向与平面内一条射线平行，这条射线的起点可以取为坐标系原点 $O$，则 $\vec{a}$ 用箭头表示为：$$ \vec{a} = \overrightarrow{OA} $$其中，$A$ 点坐标是 $(x,y)$，则上述二元数组 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 被称为向量的坐标，一个二元数组 $(x, y)$ 也可以表示相应的向量。

两个平面向量相等，当且仅当它们的大小相等，方向相同，起点相同。

平面向量的加法和减法：设有向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的起点都是 $O$，则向量 $\vec{a} +\vec{b}$ 表示从 $O$ 出发按 $\vec{a}$ 的方向行进长度为 $|\vec{a}|$，然后沿$\vec{b}$ 方向行进长度为 $|\vec{b}|$，到达终点 $C$，则表示为：平面向量的减法同理，即 $\vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow{OD}$，其中$\overrightarrow{BD}$ 为 $\vec{b}$ 的逆向向量。

由于 $-1 \leqslant cos\theta \leqslant 1$，因此可以通过向量的数量积来判断两个向量是否垂直，即 $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。

其中，$|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别为向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的长度，$sin\theta$ 为向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角的正弦，$\vec{n}$ 为法向量，其大小为 $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot sin\theta$，方向垂直于 $\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 所在平面，且满足右手定则，即 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角按逆时针方向，右手法则构成的角度为向量 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的方向。

01向量的定义向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。

02向量的表示方法向量可以用小写字母或大写字母加箭头表示，如$vec{a}$或$overset{longrightarrow}{AB}$。

03向量的模向量的大小称为向量的模，记作$|vec{a}|$，模长是一个非负实数。

向量定义及表示方法03向量的模长等于有向线段的长度，可以通过勾股定理或三角函数计算。

向量的模长向量与正方向（通常是x 轴正方向）的夹角称为向量的方向角，记作$theta$，取值范围是$[0, pi]$或$[0, 180^circ]$。

方向角向量与坐标轴正方向的夹角的余弦值称为向量的方向余弦，可以通过方向角计算得到。

方向余弦向量模长与方向角模长为0的向量称为零向量，记作$vec{0}$，零向量没有方向。

零向量单位向量相反向量模长为1的向量称为单位向量，单位向量具有确定的方向。

与给定向量大小相等、方向相反的向量称为相反向量，记作$-vec{a}$。

030201零向量、单位向量和相反向量向量共线与平行关系向量共线如果两个向量在同一直线上或者平行于同一直线，则称这两个向量共线。

共线向量满足$vec{a} = kvec{b}$（$k$为实数）。

向量平行如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。

平行向量满足$vec{a} parallel vec{b}$。

共线与平行的关系在平面内，共线的向量一定平行，但平行的向量不一定共线。

加法定义两个向量相加，即将它们的对应分量相加得到新的向量。

几何意义向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则，即两个向量相加的结果可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，或者可以表示为将其中一个向量的终点连接到另一个向量的起点的向量。

01减法定义02几何意义两个向量相减，即将被减数的各分量减去减数的对应分量得到新的向量。

向量的减法可以表示为将减数向量的终点连接到被减数向量的起点的向量，这个向量与减数向量方向相反，大小相等。