2019届湖南省衡阳县第四中学高三9月月考数学(理)试题(图片版)
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数学（理）参考答案
一、选择题 页 5第 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
答案 B D D A B B B B D D B
C
二、填空题
13. 3 14. 31 15. 1
16. )451(，
三、解答题
17、解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得
－2a＋b＝3，－a＋b＝2，
解得{ a＝－1，b＝1，所以f(x)＝ －x＋1，x＜0，2x，x≥0.
(2)函数f(x)的图象如图所示．
18、解:(1)由题意 · =8, 3·b=32,
解得a=2,b=4,
所以f(x)=4·2x=2x+2.
(2)设g(x)=()x+()x=(12)x+()x,
所以g(x)在R上是减函数,
所以当x≤1时,g(x)min=g(1)=.
若不等式(1 ) x+()x-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,即m≤.
所以,m的取值范围为(-∞,34].
19、解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，
∴a＝2.
由 1＋x＞0，3－x＞0，得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)． 页 6第 (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在0，32上的最大值是f(1)＝log24＝2.
20、解：(1)因为f′(x)＝1x＋ax2，
所以由题意可知f′(1)＝1＋a＝－1，故a＝－2.
(2)f′(x)＝1x＋ax2＝x＋ax2(x>0)，
当a≥0时，因为x＞0，所以f′(x)＞0，
故f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
当a＜0时，由f′(x)＝x＋ax2＞0，得x＞－a；
由f′(x)＝x＋ax2＜0，得0＜x＜－a，
所以f(x)在(0，－a)上为减函数，在(－a，＋∞)上为增函数．
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
当a＜0时，f(x)在(0，－a)上为减函数，在(－a，＋∞)上为增函数．
21、解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋12x2＋3，定义域为(0，＋∞)，
则f′(x)＝－1x＋x.
由 f′x＜0，x＞0，得0＜x＜1.
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)．
(2)法一：因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 页 7第 所以f′(x)＝ax＋x＋a＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以x2＋(a＋1)x＋a≥0，即(x＋1)(x＋a)≥0在(0，＋∞)上恒成立．
因为x＋1＞0，所以x＋a≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，
所以a≥0，故实数a的取值范围是[0，＋∞)．
法二：因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝ax＋x＋a＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即x2＋(a＋1)x＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝x2＋(a＋1)x＋a，
因为Δ＝ (a＋1)2－4a≥0恒成立，
所以 －a＋12≤0，g0≥0，即a≥0，
所以实数a的取值范围是[0，＋∞)．
22、解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①
当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′23＝0，
可得4a＋3b＋4＝0，②
由①②，解得a＝2， b＝－4.
由于切点的横坐标为1，纵坐标为4，所以f(1)＝4.
所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4. 页 8第 令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝23.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示：
x －3 (－3，－2) －2 －2，23 23 23，1 1
f′(x) ＋ ＋ 0 － 0 ＋ ＋
f(x) 8 13 9527 4
所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.
