第11讲垂径定理知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。
本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。
希望同学们认真学习，为后面圆的其他内容理解奠定良好基础。
知识梳理讲解用时：15分钟垂径定理及其推论（1）垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
（2）相关推论①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧；①如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；①如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。
总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。
课堂精讲精练【例题1】下列判断中，正确的是（）。
A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等【答案】C【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误；任意两条直径互相平分，故B错误；同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。
讲解用时：3分钟解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。
第23课垂径定理课程标准1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．知识精讲知识点01垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径这条弦，并且平分弦所对的.2.推论平分弦(不是直径)的直径，并且平分弦所对的.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即⎫⎧→⎬⎨⎭⎩直径平分弦垂直于弦平分弦所对的弧(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点02垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意，就能推出其他结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）能力拓展考法01应用垂径定理进行计算与证明【典例1】如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【即学即练1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【即学即练2】如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【典例2】已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【即学即练3】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．考法02垂径定理的综合应用【典例3】如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【典例4】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．分层提分题组A基础过关练1．下列结论正确的是（）A．经过圆心的直线是圆的对称轴B．直径是圆的对称轴C．与圆相交的直线是圆的对称轴D．与直径相交的直线是圆的对称轴2．下列命题中正确的是（）A．经过三个点可以作一个圆B．长度相等的弧是等弧C．相等的圆心角所对的弧相等D．弦的垂直平分线一定经过圆心3．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（）A．CE=DE B．AE=OE C．BC BD D．△OCE≌△ODE=4．如图，在直径AB=12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则弦CD的长是（）A．3B．C．6D．5．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______．6．已知⊙O中，弦AB=24cm，圆心到AB的距离为5cm，则此圆的半径等于_______cm.7．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．8．如图，如AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，则BE=．9．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=_____．题组B能力提升练1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则 BD的度数为____________．2．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．3．如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若AB＝6cm，OD＝4cm，则⊙O的半径为_____cm．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为______cm．5．如图所示，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB ⊥CD 于M ，CD=10cm ，OM ：OC=3：5，求弦AB 的长．6．如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，BE=2，求弦CD 的长．题组C 培优拔尖练1．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC AB ⊥，交AB 于点D ，交⊙O 于点C ，2CD =．求弦AB 的长．2．如图，四边形ABCD 是矩形，以AD 为直径的⊙O 交BC 边于点E 、F ，AB=4，AD=12.求线段EF 的长.3．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB 为60m ，拱高PM 为18m ，当洪水泛滥到跨度只有30m 时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m ，即4m PN =时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.4．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．5．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．。
