2019三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题22几何体的表面积与体积文含解析84

专题25 立体几何中综合问题考纲解读明方向考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度空间向量及其应用①理解直线的方向向量与平面的法向量;②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）;④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用掌握2017浙江，9;2017课标全国Ⅱ，19；2017天津,17;2017江苏，22;2017北京，16；2017浙江，19；2017山东,17；2016课标全国Ⅲ,19;2016山东，17;2016浙江，17；2015课标Ⅱ,19；2014陕西,17；2013课标全国Ⅱ，18解答题★★★分析解读1。

能运用共线向量、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行与垂直问题;会求线线角、线面角;会求点点距、点面距等距离问题,从而培养用向量法思考问题和解决问题的能力。

2。

会利用空间向量的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题,从而培养准确无误的运算能力.3。

本节内容在高考中延续解答题的形式,以多面体为载体，求空间角的命题趋势较强，分值约为12分，属中档题。

2018年高考全景展示1．【2018年理数天津卷】如图，且AD=2BC，,且EG=AD,且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.（I)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；（II）求二面角的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长。

【答案】(Ⅰ)证明见解析；（Ⅱ)；(Ⅲ）。

详解：依题意，可以建立以D为原点，分别以，,的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图）,可得D（0,0,0）,A(2,0，0），B（1,2，0)，C（0，2，0)，E(2，0,2),F（0，1，2）,G（0,0，2)，M（0，，1），N（1，0，2）．（Ⅰ）依题意=（0，2，0）,=（2,0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量,则即不妨令z=–1,可得n0=（1,0,–1)．又=（1,,1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（Ⅱ）依题意，可得=（–1,0，0）,,=（0,–1，2）．设n=（x，y，z）为平面BCE 的法向量，则即不妨令z=1,可得n=（0,1，1）．设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量,则即不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．因此有cos<m,n>=，于是sin〈m，n>=．所以,二面角E–BC–F的正弦值为．(Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2]），则点P的坐标为（0,0，h），可得．易知，=(0，2,0）为平面ADGE的一个法向量，故，由题意,可得=sin60°=，解得h=∈[0，2］．所以线段的长为.点睛:本题主要考查空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。

专题21 三视图的辨别与应用文考纲解读明方向分析解读 1.理解多面体、棱柱、棱锥、棱台的概念,牢记它们的几何特征.2.理解圆柱、圆锥、圆台、球等几何体的形成过程,正确把握轴截面、中截面的含义及掌握将圆柱、圆锥、圆台的空间问题转化为平面问题的方法.3.理解三视图的形成过程及掌握三视图及直观图的画法.4.注重空间想象能力的培养.5.高考对本节的考查以三视图的识别和应用为主,分值约为5分,属中档题.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位： cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.2．【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解. 3．【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. AB. BC. CD. D【答案】A点睛：本题主要考擦空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

2017年高考全景展示1.【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90πB.63πC.42πD.36π【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B.【考点】三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．2.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 【答案】D 【解析】试题分析：该几何体是三棱锥，如图：【考点】1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.2016年高考全景展示1.【2016高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）【答案】B【解析】考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．。

1.【 2017 课标 3，文 9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．π3πππB．C．D．4 2 4【答案】 B【分析】假如，画出圆柱的轴截面，1 3，那么圆柱的体积是 Vr 2h 3 23AC 1, AB 1，所以 r BC ，2 2 2 4 应选 B.【考点】圆柱体积【名师点睛】波及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特别点(一般为接、切点 )或线作截面，把空间问题转变为平面问题，再利用平面几何知识找寻几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确立球心的地点，弄清球的半径(直径) 与该几何体已知量的关系，列方程(组 )求解 .2.【 2015 高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()（A）（B）（）（）【答案】【考点定位】 1.旋转体的几何特点； 2.几何体的体积 .【名师点睛】此题考察了旋转体的几何特点及几何体的体积计算，解答此题的要点，是理解所得旋转体的几何特点，确立获得计算体积所需要的几何量.此题属于基础题，在考察旋转体的几何特点及几何体的体积计算方法的同时，考察了考生的空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题 .3.【 2016 高考新课标 1 文数】平面过正文体ABCD — A1B1C1D1的极点A,,,则 m,n 所成角的正弦值为（）（A ）（B）（C）（D）【答案】 A【分析】考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解此题的要点是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形 ,解形求角、得钝求补.4.【 2017 天津，文11】已知一个正方形的全部极点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为.9【答案】2【分析】试题剖析：设正方体边长为 a ，则6a2 18 a2 3 ，外接球直径为4 3 4 27 9 2R 3a 3,V πR ππ3 3 8 2【考点】球与几何体的组合体【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其余几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个极点的距离相等， 1.假如柱体，球心必定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.假如锥体，能够先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，结构平面几何关系求半径， 3.假如三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单.5.【 2015 新课标 2 文10】已知是球的球面上两点, , 为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】【分析】C【考点定位】此题主要考察球与几何体的切接问题及空间想象能力.【名师点睛】因为三棱锥底面AOB面积为定值,故高最大时体积最大,此题就是利用此结论求球的半径,而后再求出球的表面积,因为球与几何体的切接问题能很好的考察空间想象能力 ,使得这种问题向来是高考取的热门及难点,提示考生要增强此方面的训练. 6. [2016 高考新课标Ⅲ文数]在关闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（）（ A ） 4π（B ）（C） 6π（ D）【答案】 B【分析】试题剖析：要使球的体积最大，一定球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下B．底面都相切时，球的半径获得最大值，此时球的体积为，应选考点： 1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【思想拓展】立体几何是的最值问题往常有三种思虑方向：（ 1）依据几何体的结构特点，变动向为静态，直观判断在什么状况下获得最值；（ 2）将几何体平面化，如利用睁开图，在平面几何图中直观求解；（ 3）成立函数，经过求函数的最值来求解．7.【 2014 全国2，文7】正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为( )（A）（B）（C）（D）【答案】 C【考点定位】棱柱、棱锥、棱台的体积【名师点睛】此题考察几何体的体积的求法，属于中档题，求解几何体的底面面积与高是解题的要点，对于三棱锥的体积还可利用换底法与补形法进行办理．8.【 2015 高考新课标1，文 6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中犹如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为3，估量出堆放的米有（）（A）斛（B）斛（C）斛（D）斛【答案】 B【分析】设圆锥底面半径为r ，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷ ≈，22应选B.【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】此题以《九章算术》中的问题为资料，试题背景新奇，解答此题的要点应想到米堆是圆锥，底面周长是两个底面半径与圆的和，依据题中的条件列出对于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题.9.【 2017 课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的全部极点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA⊥平面 SCB， SA=AC， SB=BC，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球 O 的表面积为 ________．【答案】 36因为平面 SAC平面SBC所以 OA平面SBC设 OA rV A SBC 1 S SBC OA 1 1 2r r r 1 r3所以1 r33 3 2 39 r 3 ，所以球的表面积为 4 r 236 3【考点】三棱锥外接球【名师点睛】此题考察了球与几何体的问题，是高考取的要点问题，要有必定的空间想象能力，这样才能找准关系，获得结果，一般外接球需要求球心和半径，第一应确立球心的地点，借助于外接球的性质，球心到各极点距离相等，这样可先确立几何体中部分点构成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的极点的距离相等，而后相同的方法找到另一个多边形的各极点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再依据半径，极点究竟面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法获得半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，能够补成长方体，它们是同一个外接球．10.【 2017 课标 II ，文 15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1 ，其极点都在球O 的球面上，则球 O 的表面积为【答案】 14π.【分析】球的直径是长方体的体对角线，所以2R3222114, S4πR2 14π.【考点】球的表面积【名师点睛】波及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特别点(一般为接、切点 )或线作截面，把空间问题转变为平面问题，再利用平面几何知识找寻几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确立球心的地点，弄清球的半径(直径) 与该几何体已知量的关系，列方程(组 )求解 .11.【2017 江苏， 6】如图 ,在圆柱 O1, O2内有一个球O ,该球与圆柱的上、下边及母线均相切.记圆柱 O1 , O2的体积为 V1 ,球 O 的体积为 V2 ,则V1的值是▲.V2【答案】3 2【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常有种类及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不可以直接利用公式得出，则常用变换法、切割法、补形法等方法进行求解．12【 2015 高考四川，文14】在三棱住ABC－ A1B1C1中，∠ BAC ＝ 90°，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，设点 M，N，P 分别是 AB，BC， B1C1的中点，则三棱锥 P－ A1MN 的体积是 ______.【答案】C1P【分析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为 1 的B1A1等腰直角三角形，高为 1 的直三棱柱，底面积为 CN如图，因为 AA 1∥PN ，故 AA 1∥面 PMN ，A MB 故三棱锥 P－ A1MN 与三棱锥 P－ AMN 体积相等，三棱锥 P－ AMN 的底面积是三棱锥底面积的，高为 1故三棱锥 P－ A1MN 的体积为【考点定位】此题主要考察空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考察空间想象能力、图形切割与变换的能力，考察基本运算能力.【名师点睛】解决此题，第一要正确画出三棱柱的直观图，包含各个点的对应字母所在地点，联合条件，三棱锥 P－ A1MN 的体积能够直接计算，但变换为三棱锥P－ AMN 的体积，使得计算更加简易，基本上能够依据条件直接得出结论.属于中档偏难题 .13.【 2016 高考浙江文数】某几何体的三视图以下图（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm 2 ,体积是 ______cm 3 .【答案】 80； 40．考点：三视图 .【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先依据三视图确立该几何体的结构特点，再正确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．14.【 2017 课标 II ，文 18】如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD , AB BC1 AD, BAD ABC900.2（1）证明：直线BC / / 平面PAD;（2）若△PAD面积为27 ，求四棱锥 P ABCD 的体积.【答案】（Ⅰ ）看法析（Ⅱ ）【分析】试题分析：（ 1）在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90° ，所以BC∥AD. 又BC 平面 PAD ， AD平面PAD，故BC∥平面PAD.（2）取 AD 的中点 M ，连结 PM， CM ，由AB BC 1AD 及BC∥AD，∠ABC=90°得2四边形 ABCM 为正方形，则CM ⊥ AD.因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面 PAD∩平面 ABCD=AD ，所以 PM ⊥AD ， PM ⊥底面 ABCD ，因为CM 底面 ABCD ，所以PM⊥CM.设 BC=x ，则 CM=x ，CD= ，PM= ，PC=PD=2x. 取 CD 的中点 N，连结 PN，则 PN⊥CD，所以因为△PCD 的面积为，所以，解得 x=-2 （舍去）， x=2，于是 AB=BC=2 ， AD=4 ， PM= ，所以四棱锥 P-ABCD 的体积.【考点】线面平行判判定理，面面垂直性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转变与化归思想的常有种类.(1) 证明线面、面面平行，需转变为证明线线平行.(2) 证明线面垂直，需转变为证明线线垂直.(3) 证明线线垂直，需转变为证明线面垂直.15.【 2017 课标 3，文 19】如图，四周体ABCD 中，△ABC 是正三角形， AD =CD．（1）证明： AC⊥ BD ；BD 上与D 不重合的点，且AE⊥ EC，（2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD．若 E 为棱求四周体ABCE 与四周体ACDE 的体积比．【答案】（1）详看法析；（2） 1试题分析：（ 1）证明：取 AC 中点 O ，连 OD ,OB∵ ADCD ，O 为 AC 中点，∴ AC OD ，又∵ABC 是等边三角形，∴ AC OB ，又∵ OBOD O ，∴ AC 平面 OBD ， BD 平面 OBD ，∴ AC BD .（2）设 AD CD 2 ，∴ AC 2 2，AB CD2 2，又∵ ABBD ，∴BD 2 2，∴ ABD CBD ，∴AEEC ，又∵ AEEC ， AC 2 2，∴ AE EC 2，在ABD中 ， 设DE x ， 根据余弦定理cos ADBAD 2 BD 2 AB 2AD 2 DE 2AE 22AD BD2AD DE22 ( 2 2 )2(2 2)222 x 2 222 2 2 22 2 x解得 x2 ，∴点 E 是 BD 的中点，则 V D ACEV B ACE ，∴ V D ACE1 .VB ACE【考点】线面垂直判断及性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转变与化归思想的常有种类.(1) 证明线面、面面平行，需转变为证明线线平行.(2) 证明线面垂直，需转变为证明线线垂直 . (3) 证明线线垂直，需转变为证明线面垂直.16【. 2017 北京，文 18】如图，在三棱锥 P –ABC 中，PA ⊥ AB ，PA ⊥ BC ，AB ⊥ BC ，PA=AB=BC=2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点．（Ⅰ ）求证： PA⊥ BD；（Ⅱ ）求证：平面BDE ⊥平面 PAC；（Ⅲ ）当 PA ∥平面 BD E 时，求三棱锥E–BCD 的体积．【答案】详看法析【分析】试题分析：证明：（I）因为PA AB ， PA BC ，所以PA 平面ABC ，又因为BD 平面ABC ，所以PA BD .（II ）因为AB BC，D为AC 中点，所以BD AC ，由（ I）知，PA BD ，所以BD 平面PAC ，所以平面BDE 平面PAC .（III ）因为PA∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE DE ，所以PA∥DE.因为D 为AC 的中点，所以DE 1 PA1，BD DC 2 . 2由（ I）知，PA 平面PAC ，所以DE 平面PAC .所以三棱锥 E1 1 BCD 的体积 V BDDCDE.6 3【考点】 1.线面垂直的判断和性质；2,。

好教育云平台 1.【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B【解析】如果，画出圆柱的轴截面，11,2AC AB ==，所以32r BC ==，那么圆柱的体积是2233124V r h πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B.【考点】圆柱体积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.2.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A ）（B ）（C ）（D ）【答案】【考点定位】1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解所得旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量.本题属于基础题，在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题.3.【2016高考新课标1文数】平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,,,则m,n所成角的正弦值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.4.【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.【答案】92π 【解析】试题分析：设正方体边长为a ，则226183a a =⇒=，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=. 【考点】球与几何体的组合体【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单. 5.【2015新课标2文10】已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【考点定位】本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力. 【名师点睛】由于三棱锥底面AOB 面积为定值,故高最大时体积最大,本题就是利用此结论求球的半径,然后再求出球的表面积,由于球与几何体的切接问题能很好的考查空间想象能力,使得这类问题一直是高考中的热点及难点,提醒考生要加强此方面的训练. 6. [2016高考新课标Ⅲ文数]在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（）（A ）4π （B ）（C ）6π （D ）【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．7.【2014全国2，文7】正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为( )（A）（B）（C）（D）【答案】C【考点定位】棱柱、棱锥、棱台的体积【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，属于中档题，求解几何体的底面面积与高是解题的关键，对于三棱锥的体积还可利用换底法与补形法进行处理．8.【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A）斛（B）斛（C）斛（D）斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是圆锥，底面周长是两个底面半径与圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题.9.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 【答案】36π因为平面SAC ⊥平面SBC 所以OA ⊥平面SBC 设OA r =3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以31933r r =⇒=，所以球的表面积为2436r ππ=【考点】三棱锥外接球【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．10.【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 【答案】14π.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以224π14π.R S R ==== 【考点】球的表面积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.11.【2017江苏，6】如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【答案】32【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．12【2015高考四川，文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______. 【答案】【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的 等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为如图，因为AA 1∥PN ，故AA 1∥面PMN ， 故三棱锥P －A 1MN 与三棱锥P －AMN 体积相等， 三棱锥P －AMN 的底面积是三棱锥底面积的，高为1故三棱锥P －A 1MN 的体积为【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力. 【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥P －A 1MN 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P －AMN 的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.13.【2016高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.【答案】80；40．PC 1B 1A 1NCMBA考点：三视图.【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积． 14.【2017课标II ，文18】如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ;（2）若△PAD 面积为P ABCD -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅰ）4√3 【解析】试题解析：（1）在平面ABCD 内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC ∥AD.又BC PAD ⊄平面，AD PAD ⊂平面，故BC ∥平面PAD.（2）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ，由12AB BC AD ==及BC ∥AD ，∠ABC=90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM ⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为CM ABCD底面，所以PM⊥CM.设BC=x，则CM=x，CD=√2x，PM=√3x，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以PN=√142x因为△PCD的面积为2√7，所以1 2×√2x×√142x=2√7，解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=2√3，所以四棱锥P-ABCD的体积V=13×2(2+4)2×2√3=4√3.【考点】线面平行判定定理，面面垂直性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.15.【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【答案】（1）详见解析；（2）1试题解析：（1）证明：取AC 中点O ，连OB OD , ∵CD AD =，O 为AC 中点， ∴OD AC ⊥，又∵ABC ∆是等边三角形， ∴OB AC ⊥，又∵O OD OB = ，∴⊥AC 平面OBD ，⊂BD 平面OBD ， ∴BD AC ⊥.（2）设2==CD AD ，∴22=AC ，22==CD AB ， 又∵BD AB =，∴22=BD ， ∴≅∆ABD CBD ∆，∴EC AE =， 又∵EC AE ⊥，22=AC ， ∴2==EC AE ， 在ABD ∆中，设xDE =，根据余弦定理DEAD AE DE AD BD AD AB BD AD ADB ⋅-+=⋅-+=∠22cos 222222 x x ⨯⨯-+=⨯⨯-+=22222222)22()22(2222222解得2=x ，∴点E 是BD 的中点，则ACE B ACE D V V --=，∴1=--ACEB ACED VV . 【考点】线面垂直判定及性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16.【2017北京，文18】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 【答案】详见解析 【解析】试题解析：证明：（I ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥.（II ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（I ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ， 所以平面BDE ⊥平面PAC .（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE DE =，所以PA DE ∥.因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，BD DC ==. 由（I ）知，PA ⊥平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC .所以三棱锥E BCD -的体积1163V BD DC DE =⋅⋅=. 【考点】1.线面垂直的判断和性质；2,。