数学北师大版八年级上册一次函数综合应用中的动点问题

《一次函数》题型解读8 一次函数与几何综合题型【题型与方法解读】2.解题技巧：（1）求关键点的坐标：①用“x=0或y=0”分别求与坐标轴交点；②用二元一次方程组求两线段的交点坐标；③代入法求点的坐标；④作x、y轴的垂线，求垂线段的长度求点的坐标；（2）求关键线的解析式①常用“等定系数法”求某条线段所在直线的解析式；②也可以通过以下两个技巧设或求解析式：若两直线平行，则它们的K值相同；若两直线垂直，则它们的K值为负倒数；（3）已知或求面积问题：解题思路-----先明确面积方法：①公式法；②外补法（面积差）或内割法（面积和）（4）注意几何图形中隐藏的数学典型模型或典型图形①“一线三垂直或二垂或一垂模型”；②“双垂直模型”；③“一线三等角模型”；④“角平分线+平行线=等腰”模型；⑤“两圆一线”的解题方法；⑥“将军饮马问题”求线段和最小值；（5）常用的补充公式：①中点坐标公式：若，，则AB的中点O的坐标为②两点之间的距离公式：若，，则AB=③求面积的三种方法：公式法；补割法；等底等高面积相等；【典型例题】例1.如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为线段OB上一点，将沿着直线AC翻折，点B恰好落在x轴上的D处，则的面积为______．解：直线，当时，，当时，，点A的坐标为，点B的坐标为，，，，将沿着直线AC翻折，点B恰好落在x轴上的D 处，，，设，则，，，，，解得，，即，，的面积为：，例2.如图,直线22+=xy与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C是第二象限内一点,连接CB,若∠CBA=45°,则直线BC的解析式为_________.yC B解析：解题经验：出现45°角必构造等腰直角三角形，这是解题的突破口。

过点A 作AD ⊥AB 交BC 于点D ，作DE ⊥轴于点E ，出现数学典型模型：“一线三垂直模型”，则易证△OAB ≌△EDA ，则OB=AE=2，OA=DE=1，∴OE=3，∴D 点的坐标为（-3，1），∵D （3，2），B （0，2），用“待定系数法”可求得BC 的解析式：.例3.已知,如图点A(1,1),B(2,-3),点P 为x 轴上一点,当PBPA -最大时,点P 的坐标为（ ）A.()01，-B.⎪⎭⎫ ⎝⎛021， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛045，D.()01， 解析：“将军饮马问题”，选择压轴题。

专题09 一次函数中动点路程与面积之间的问题此类问题的两个难点：一、分类讨论思想，需要求出动点运动到不同位置时路程与所形成图形的面积之间的关系；二、用动点运动的路程来表示所需线段的长度．另外，需要注意自变量的取值范围． 【精典例题】1、如图1，边长为2的正方形AOCD 中，M 是AD 边的中点，点P 从O 出发，按O C D M →→→的顺序运动，设点P 经过的路程为x ，OPM △的面积为y ， ⑴ 写出y 与x 之间的函数关系式； ⑴ 当 1.5y =时，求P 点的坐标.【解析】⑴ 如图1，当02x <≤时，y x =；如图2，当24x <≤时，132y x =-；如图3，当45x <≤时，5y x =-⑴ 将 1.5y =代入⑴中的三个解析式中， 1.5x =或3.2、如图1，边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标为()02，，一次函数y x t =+的图象l 随着t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 与正方形的边围成的图形面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式（关系式不用化简）.【解析】如图1，当24t <≤时，()21442S t =-- 如图2，当2t =时，2S =如图3，当02t <≤时，212S t =3、如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么⑴ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）【答案】B4、如图，正方形ABCD 的边长是1，E 是CD 边上的中点，P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A →B →C →E 运动，到达点E ，若点P 经过的路程为x ，APE △的面积为y ，求y 与x 的关系式；并求当13y =时，x 的值等于多少？【解析】当P 在AB 上时，01x <≤，112y x =××，⑴12y x = ⑴当P 在BC 上时，12x <≤，()()111111121122222ECP ABP ABCE y S S S x x ⎛⎫=--=+---- ⎪⎝⎭△△××××××梯形化简得3144y x =- ⑴当P 在EC 上时，522x <≤，15122y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭××，⑴5142y x =- ⑴将13y =代入上述三个关系式中，⑴ 1132x =，解得23x = ⑴131344x =-，解得53x = ⑴151342x =-，解得116x =（不符合x 的取值范围，舍去） ⑴ x 的值为23或535、如图，在平面直角坐标系xOy 中，长方形OABC 的顶点，A C 的坐标分别为()()3005，，，．⑴ 直接写出点B 的坐标；⑴ 若过点C 的直线CD 交AB 边于点D ，且把长方形OABC 的周长分为1:3两部分，求直线CD 的解析式； ⑴ 设点P 沿O A B C →→→的方向运动到点C （但不与点，O C 重合），求△OPC 的面积y 与点P 所行路程x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围．PD C BA D.C.B.A.⑴ ()35，B . ⑴ 如图1，⑴长方形OABC 中，()()()303505，，，，，A B C ,⑴3535，，，OA AB BC OC ====. ⑴长方形OABC 的周长为16．⑴直线CD 分长方形OABC 的周长分为1:3两部分，⑴412，CB BD CO OA AD +=++=.⑴4AD =.⑴()34，D ． 设直线CD 的解析式为y kx b =+． ⑴543.，b k b =⎧⎨=+⎩⑴153，k b =-=． ⑴直线CD 的解析式为153y x =-+．⑴ ⑴当点P 在OA 上运动时，()0，P x ．⑴1522△OPC S OC OP x =⋅=． ⑴y 与x 的函数关系式为()5032y x x =<<．⑴当点P 在AB 上运动时，()33，P x -． ⑴111553222△OPC P S OC x =⋅=⨯⨯=. ⑴y 与x 的函数关系式为()15382≤≤y x =．⑴当点P 在BC 上运动时，()115，P x -．⑴1111PC x x =-=-．⑴()()15555118112222△OPC S OC PC x x x =⋅=-=-+<<．⑴y 与x 的函数关系式为()55581122y x x =-+<<．6、如图，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点P 自A 点起，沿A →B →C →D 匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成的面积为y ，点P 运动的路程为x ，请写出y 与x 之间的函数关系式．如题图，当点P 在线段AB 上，即04x <≤时，12y AM AP x ==••如图1，当点P在线段BC 上，即48x <≤时，()()112442422y AM BP AB x x =+=+-⨯=-••如图2，当点P 在线段CD 上，即812x <≤时，()11621242DPM ABCD y S S x x =-=-⨯⨯-=+△正方形⑴()()()0424484812x x y x x x x <⎧⎪=-<⎨⎪+<⎩≤≤≤D。

当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，∴△ABP的面积S不变；
∴A(4，0)，B(0，－4)．
(1)求直线AB的函数关系式；
△AOB的面积． y＝2x－6上，∴2x－6＝4，解得x＝5，即OA′＝5.
解：(1)设直线l的表达式为y＝－x＋b，
当点M在线段OA上时，
解：在直线y＝x＋3中，令y＝0，则x＝－3；
∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴AC＝4.
解：在直线y＝x＋3中，令y＝0，则x＝－3；
∵∠ABO＝45°， B.
(2)∵A(4，0)，B(0，－4)，
∵点A的坐标为(6，0)，
∠ABM＋∠CBO＝45°， (2)在点P运动的过程中，求出
y＝2x－6上，∴2x－6＝4，解得x＝5，即OA′＝5.
解：(1)设直线l的表达式为y＝－x＋b，
A2022的横坐标为21010.故答案为21010.
11．(2019－2020·福田区期末)如图，已知直线 y＝x－4分别与x轴、y轴交于A，B两点，直线 OG：y＝kx(k＜0)交AB于点D. (1)求A，B两点的坐标； 解：(1)∵直线y＝x－4分别与 x轴、y轴交于A，B两点， 令y＝0，则x－4＝0， ∴x＝4. 令x＝0，则y＝－4. ∴A(4，0)，B(0，－4)．
3．已知直线l经过点(－1，5)，且与直线y＝－x 平行． (1)求直线l的表达式； 解：(1)设直线l的表达式为y＝－x＋b， 将(－1，5)代入，可得b＝4， ∴直线l的表达式为y＝－x＋4.
(2)若直线l分别交x轴、y轴于A，B两点，求 在Rt△OBM′中，由勾股定理得BM′2＝OB2＋OM′2，即BM′2＝16＋(4＋a)2.
4
(2)在点P运动的过程中，求出

G都在x轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积． （2）求矩形DEFG的边DE与EF的长．
y l2 E
l1 D
（3）S矩形DEFG:S△ABC =_________．
C
AO
B F (G) x
（3）∵S矩形DEFG=4×8=32 S△ABC=½ ×[8-（-4）]×6=36
∴S矩形DEFG:S△ABC =32:36=8:9
例4：一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往 甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km）， 出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x （h），y1，y2与x的函数关系图象如图所示： （1）根据图象，求出y1，y2关于x的函数关系式。 （2）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的 函数关系式。 （3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km， 若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油。求A 加油站到甲地的距离。
（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，
出租车恰好进入B站加油。求A加油站到甲地的距离。
y
练习： B
1y轴.如于图点，A在，平B，面将直△角A坐O标B系绕中点，O顺直时线针l：旋y=转90x°43+后4分得别到交x轴，
A
△A′OB′． （1）求直线A′B′的解析式；
y ox (k>0,b<0
y ox (k<0,b<0
典型题分析
y
C
例1.如图，已知直线l：y=
3 x 3
3 与x轴交于点A，
l
B
与y轴交于点B，将△AOB沿直线l折叠，点O落在
点C处，则直线CA的表达式为_________．