抛物线切线方程抛物线是数学中一个重要的曲线形式，它具有许多特殊的性质和应用。
其中之一是切线方程，用于描述曲线上某点的切线。
下面我们将介绍抛物线切线方程的相关知识。
在数学中，抛物线是一个二次方程的图像，其一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a，b，c是常数，并且a不等于零。
抛物线通常具有对称轴，对称轴与抛物线的方程有关。
现在考虑抛物线上的一点P(x, y)，我们想要找到抛物线在该点的切线方程。
首先，我们需要计算点P处的切线斜率。
切线斜率可以通过求导数来获得，即对抛物线方程y = ax^2 + bx + c进行求导。
求导后的结果是y' = 2ax + b，表示了抛物线在每个点处的切线斜率。
那么点P处的切线斜率就是斜率函数在x = P的值。
将x = P 代入斜率函数，得到切线斜率m = 2aP + b。
现在我们可以使用点斜式方程来建立切线方程。
点斜式方程的一般形式是y - y_1 = m(x - x_1)，其中（x_1，y_1）是给定的点，m是切线的斜率。
根据我们之前的计算，切线方程可以写为y - y = (2aP + b)(x - x)。
简化后得到y = (2aP + b)x - 2aPx + y。
进一步简化方程，得到y = 2aPx + (2aP + b)(x - x)。
由于我们已经知道点P的坐标为（x，y），所以可以将这些值代入方程中，得到最终的抛物线切线方程为y = 2aPx + (2aP + b)(x - x)。
这就是抛物线在任意点P（x，y）处的切线方程。
通过这个方程，我们可以计算抛物线在给定点处的切线。
总结起来，抛物线切线方程的求解思路如下：1. 求导，得到斜率函数y' = 2ax + b；2. 计算切线斜率，代入点P的横坐标x；3. 使用点斜式方程，代入点P坐标和切线斜率。
在实际问题中，抛物线切线方程的应用非常广泛。
它可以用于解决物理问题、工程问题和计算问题等。
抛物线切线公式抛物线是一种常见的曲线形状，具有特定的数学性质和应用。
在研究抛物线的性质时，我们经常会遇到需要求解抛物线上某点的切线方程的问题。
这时我们可以利用抛物线切线公式来求解。
抛物线切线公式是通过求解抛物线上某一点的导数来得到的。
导数可以理解为函数在某点的变化率，它描述了函数曲线在该点的切线斜率。
对于一般的函数，我们可以通过求导的方法来得到导数。
但对于抛物线这种特殊的曲线，它的导数具有特殊的形式。
假设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
我们要求解抛物线上的某一点P(x0, y0)处的切线方程。
首先，我们需要求解点P处的导数，即求解函数y = ax^2 + bx + c在x0处的导数。
对于一般的函数y = f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
对于抛物线的函数y = ax^2 + bx + c，它的导数可以表示为f'(x) = 2ax + b。
接下来，我们将导数代入切线方程的一般形式y = kx + d中，其中k是切线的斜率，d是切线与坐标轴的交点。
由于切线过点P(x0, y0)，我们可以将其代入切线方程，得到y0 = kx0 + d。
再将导数代入切线方程中的斜率k，我们有y0 = (2ax0 + b)x0 + d。
根据点P(x0, y0)的坐标，我们可以得到y0 = ax0^2 + bx0 + c。
将这两个等式联立起来，我们可以解得切线与坐标轴的交点d为c - ax0^2 - bx0，将其代入切线方程，我们有y0 = (2ax0 + b)x0 + c - ax0^2 - bx0。
进一步整理化简，我们可以得到切线方程的一般形式y = 2ax0(x - x0) + ax0^2 + bx0 + c。
由此可见，抛物线上任意一点P(x0, y0)处的切线方程为y = 2ax0(x - x0) + ax0^2 + bx0 + c。
抛物线切线公式的应用非常广泛。
过抛物线一点的切线方程公式
抛物线的切线方程是一种求解抛物线图形在某一点处切线斜率的数学方程。
其公式是：y’=2ax，其中，a是抛物线的一个定点的横坐标，y’是该点处的切线斜率。
抛物线的切线方程可以通过绘图的方式来直观的观察，也可以通过微分的方式来计算。
首先，设y=ax2+bx+c（a≠0）是抛物线的方程，根据导数的性质，可以求出抛物线的一阶导数：y’=2ax+b;将这个一阶导数和抛物线的定点坐标代入到y’=2ax，即可求出该定点处抛物线的切线方程。
因此，通过抛物线切线方程可以得出抛物线在任意点处的切线斜率，从而有助于我们分析抛物线图形的形状、趋势和变化规律。
第40讲 抛物线的双切线问题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2021•吉州区校级一模）设抛物线22x py = (0)P >，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ，A ，B ，M 的横坐标分别为A X ，B X ，MX 则( )A ．2AB M X X X += B ．2A B M X X X =C ．112A B MX X X +=D ．以上都不对【解答】解：由22x py =得22x y p=，得x y p '=，所以直线MA 的方程为2()A M x y p x x p +=-，直线MB 的方程为2()B M xy p x x p+=-， 所以，22()2A A A M x x p x x p p +=-①，22()2B A B M x x p x x p p+=-②由①、②得2M A B x x x =+． 故选：A ．二．填空题（共1小题）2．（2021•厦门一模）过抛物线2&:4E y x =焦点的直线l 与E 交于A ，B 两点，E 在点A ，B 处的切线分别与y 轴交于C ，D 两点，则|||CD AB -的最大值是 8 ．【解答】解：由24y x =，y =y'，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则过A 点的切线的斜率k =则切线方程11)y y x x -=-，令0x =，解得：y =C ，同理可得(0,D ，则||CD =设直线AB 的方程：(1)y k x =-，联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得：22222(2)0k x k x k -++=，则121x x =，212||2AB x x ∴=++=，则2|||CD AB -=-，t ，2t ，设22()(8f t t t =-=--+，2t ，∴当t=()f t 取最大值，最大值为8，|||CD AB ∴-的最大值为8，故答案为：8．三．解答题（共36小题）3．（2021•东台市校级模拟）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(2,2)p 时，||AB =，求此时抛物线的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2)22x x A x B x x x M x p p p<-．由22x py =得22x y p=，得xy p '=，所以1MA x k p =，2MB xk p=． 因此直线MA 的方程为102()x y p x x p +=-，直线MB 的方程为202()xy p x x p+=-．所以211102()2x x p x x p p +=-，①222202()2x x p x x p p+=-．②由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x xx +=，即0122x x x =+． 所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当02x =时，将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222ABx x x x x p p k x x p p -+===-，所以2AB k p=．由弦长公式得||AB ==||AB =， 所以1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．4．（2021•苏州期末）如图，设抛物线22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．【解答】证明：由题意，设211(,)2x A x p，22212(,)()2x B x x x p<，0(M x ，2)p -．由22x py =得22x y p=，得xy p '=，所以1MA x k p =，2MB xk p=．因此直线MA 的方程为102()x y p x x p +=-，直线MB 的方程为202()xy p x x p+=-． 所以，211102()2x x p x x p p +=-①，221202()2x xp x x p p+=-②由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x xx +=，即0122x x x =+． 所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．5．（2021•浙江模拟）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标； （Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点C ，D ，记EABMCDS S λ∆∆=，问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由．【解答】解：()I 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，过A 点的切线方程为2111()2x xy x x p p-=-，过B 点的切线方程为2222()2x xy x x p p-=-，联立这两个方程可得2112,22M M x x x xx y p+==， 又2112212AB y y x x k x x p-+==-，所以直线AB 的方程为：21121()22x x x y x x pp+-=-， 化简得1212()20x x x py x x +--=，令0x =，1212,222M x x x xy y p p p=-==-又， 2y p ∴=∴直线AB 过点(0,2)p ；（Ⅱ）记122M x x x +=，12E C x x x +=同理可得，22ED x x x +=，11111212||2||||||||22E C E E M C E x x x x x x x AC x x x x CM x x x x ----+-===++-，11222||||||||2EE E c E E D E E Ex x x x x x x CE x x ED x x x x x -----+===+-，∴2,E CE x X AC CE MD CM ED DB x x --==同理 ∴||||||AC EC DMCM DB DB==， ∴设||||||AC EC DMt CM ED DB===，记MCE S S ∆=，则ACE S tS ∆=， 同理，MDE S S t ∆=，2BDE SS t ∆=，2||||11(1)||||1MAB MCD S MA MB t t t S MC MD t t∆∆+++===， 于是2232(1)(1)(1)()MABMCD t t S t S S S S t t t t ∆∆+++==+=，2(1)EAB MAB MCD ACE BDE t S S S S S S t ∆∆∆∆∆+∴=---=，1MCD t S S t∆=+， 2EABMCDS S λ∆∆∴==．6．（2012•上海模拟）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线:2l y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A 、B ．（1）设抛物线上一点P 到直线l 的距离为d ，F 为焦点，当3||2d PF -=时，求抛物线方程；（2）若(2,2)M -，求线段AB 的长； （3）求M 到直线AB 的距离的最小值．【解答】解：（1）由3||2d PF -=，得332()222P P p p y p y +-+==，1p ∴=， ∴抛物线方程为22x y=．（2）(2,2)M -在直线2y p =-上，22p ∴-=-，解得1p =，∴抛物线方程为22x y=，设过M 点的直线为(2)2y k x =--，联立：2(2)22y k x x y =--⎧⎨=⎩，消去y ，得2222x kx k =--即224(1)0(*)x kx k -++=，直线与抛物线相切，∴△0=，即2416(1)0k k -+=2440k k ∴--=，∴2k =±(*)有等根x k =，2B x ∴=+2A x =-B A x x ∴-=，4B A x x +=．A 、B 在抛物线上，22()()22B A B A B A B A x x x x x x y y -+-∴-===||AB ∴==（3）设(,2)M m p -，过M 点的直线为:()2L y k x m p =--，联立：2()22y k x m px py =--⎧⎨=⎩，消去y ，得222xkx km p p=--，222(2)0x kpx p km p ∴-++=①，直线与抛物线相切，∴△0=2248(2)0k p p km p ∴-+=，2240pk mk p ∴--=②，此时方程①有等根x kp =，令1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1212()x x p k k -=-，222121212121212()()()()222x x x x x x p k k k k y y p p p--+-+-===， AB ∴的斜率1212122y y k k k x x -+'==-， 由②，根据韦达定理可得122m k k p +=，mk p∴'=， ∴直线AB 的方程为11()m y y x x p-=-，∴2211()2k p my x k p p p-=-∴化简可得2211222py k p mx mk p -=-，∴21122(2)0mx py p pk mk -+-=，由②2240pk mk p --=，∴21124pk mk p -=，AB ∴方程化为：22240mx py p-+=，∴点M到AB的距离2222222223d p ====，2=2223m p p +=，∴m =时，上式等号成立，M ∴到直线AB 的距离的最小值为．7．（2021•秦州区校级二模）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，M 不在y 轴上，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）设线段AB 的中点为N ； （ⅰ）求证：MN 平行于y 轴；（ⅱ）已知当M 点的坐标为(2,2)p -时，||AB =（Ⅱ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上，其中，点C 满足(OC OA OB O =+为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）（ⅰ）证明：由题意设211(,)2x A x p，222(,)2x B x p ，12x x <，3(N x ，3)y ，0(M x ，2)p -．由22x py =得22x y p=，则xy p '=，所以1MA x k p =，2MB x k p =．因此直线MA 的方程为102()x y p x x p+=-，直线MB 的方程为202()x y p x x p+=-． 所以211102()2x x p x x p p +=-，①222202()2x x p x x p p+=-．②由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x xx +=，即212322x x x x =+=． 所以MN 平行于y 轴．（ⅱ）解：由（ⅰ）知，当02x =时，将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222AB x x x x x p p k x x p p-+===-， 所以2AB k p=．由弦长公式的||AB ==又||AB =，所以1p =或2p =， 因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．（Ⅱ）解：设3(D x ，3)y ，由题意得12(C x x +，12)y y +， 则CD 的中点坐标为123123(,)22x x x y y y Q ++++， 设直线AB 的方程为011()x y y x x p-=-， 由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上， 代入得033x y x p=． 若3(D x ，3)y 在抛物线上，则2330322x py x x ==，因此30x =或302x x =． 即(0,0)D 或2002(2,)x D x p．（1）当00x =时，则12020x x x +==，此时，点(0,2)M p -适合题意．（2）当00x ≠，对于(0,0)D ，此时22120(2,)2x x C x p+，2212221200224CDx x x x pk x px ++==，又0ABx k p=，AB CD ⊥，所以22220121220144AB CD x x x x x k k p px p ++===-， 即222124x x p +=-，矛盾．对于2002(2,)x D x p ，因为22120(2,)2x x C x p+，此时直线CD 平行于y 轴，又00AB x k p=≠， 所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意得M 点． 综上所述，不存在符合题意得M 点．8．（2012•韶关一模）设抛物线C 的方程为x 2＝4y ，M 为直线l ：y ＝﹣m （m ＞0）上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为（0，﹣1）时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点；（3）当m 变化时，试探究直线l 上是否存在点M ，使△MAB 为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：当M 的坐标为（0，﹣1）时，设过M 点的切线方程为y ＝kx ﹣1，代入x 2＝4y ，整理得x 2﹣4kx +4＝0， 令Δ＝16k 2﹣16＝0，解得k ＝±1，代入方程得x ＝±2，故得A （2，1），B （﹣2，1），…（2分） 因为M 到AB 的中点（0，1）的距离为2，从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为x 2+（y ﹣1）2＝4．∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l ：y ＝﹣1相切…（4分）（2）证法一：设切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），过抛物线上点A （x 1，y 1）的切线方程为（y ﹣y 1）＝k （x ﹣x 1），代入x 2＝4y ，整理得x 2﹣4kx +4（kx 1﹣y 1）＝0Δ＝（4k ）2﹣4×4（kx 1﹣y 1）＝0，又因为，所以…（6分）从而过抛物线上点A （x 1，y 1）的切线方程为即又切线过点M （x 0，y 0），所以得①即…（8分）同理可得过点B （x 2，y 2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②…（10分）即…（6分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x＝2（y0+y），故直线AB的方程为x0x＝2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）（k≠0），代入x2＝4y，消去y，得x2﹣4kx﹣4（y0﹣kx0）＝0∴Δ＝（4k）2+4×4（y0﹣kx0）＝0即：k2﹣x0k+y0＝0…（6分）从而，此时，所以切点A，B的坐标分别为，…（8分）因为，，，所以AB的中点坐标为…（11分）故直线AB的方程为，即x0x＝2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法三：由已知得，求导得，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），故过点A （x1，y1）的切线斜率为，从而切线方程为即…（7分）又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②即…（10分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x＝2（y0+y），故直线AB的方程为x0x＝2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）（3）由（2）中①②两式知x1，x2是方程的两实根，故有∵，，y0＝m∴＝4m2+m﹣4m﹣＝（m﹣1）（+4m），…（9分）①当m＝1时，＝0，直线l上任意一点M均有MA⊥MB，△MAB为直角三角形；…（10分）②当0＜m＜1时，＜0，∠AMB＞，△MAB不可能为直角三角形；…（11分）③当m＞1时，＞0，∠AMB＜，因为k AB＝＝＝，＝，所以k AB k MA＝若k AB k MA＝﹣1，则，整理得（y0+2）＝﹣4，又因为y0＝﹣m，所以（m﹣2）＝4，因为方程（m﹣2）＝4有解的充要条件是m＞2，所以当m＞2时，有MA⊥AB或MB ⊥AB，△MAB为直角三角形…（13分）综上所述，当m＝1时，直线l上任意一点M，使△MAB为直角三角形，当m＞2时，直线l 上存在两点M ，使△MAB 为直角三角形；当0＜m ＜1或1＜m ≤2时，△MAB 不是直角三角形．…（14分）9．（2012•韶关一模）设抛物线C 的方程为24x y =，0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点(0,)m ．【解答】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，代入24x y =，整理得2440x kx -+=，令△2(4)440k =-⨯=，解得1k =±，代入方程得2x =±，故得(2,1)A ，(2,1)B -，⋯（2分） 因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2， 从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为22(1)4xy +-=．圆心坐标为(0,1)，半径为2，∴圆与直线:1l y =-相切⋯（4分）（2）证法一：设切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，过抛物线上点1(A x ，1)y 的切线方程为11()()y y k x x -=-，代入24x y=，整理得21144()0x kx kx y -+-=△211(4)44()0k kx y =-⨯-=，又因为2114x y =，所以12x k=⋯（6分） 从而过抛物线上点1(A x ，1)y 的切线方程为111()2x y y x x -=-即21124x x y x =-又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2110024x x y x =-①即10012x y x y =-⋯（8分）同理可得过点2(B x ，2)y 的切线为22224x x y x =-，又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2220024x x y x =-②⋯（10分） 即20022x y x y =-⋯（6分） 即点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 均满足002xy x y =-即002()x x y y =+，故直线AB 的方程为002()x x y y =+⋯（12分）又0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故02()x x y m =-对任意0x 成立，所以0x =，y m =，从而直线AB 恒过定点(0,)m ⋯（14分）证法二：设过0(M x ，0)y 的抛物线的切线方程为00()(0)y y k x x k -=-≠，代入24x y =，消去y ，得20044()0x kx y kx ---=△200(4)44()0k y kx =+⨯-=即：2000k x k y ++=⋯（6分）从而1k =2k =112x k =，222x k =所以切点A ，B 的坐标分别为21121(,)A k k ，22221(,)B k k ⋯（8分） 因为12121242AB x y y x x k x x -+===-，121212122222x x k k k k x k k +++===，22220012121212212112()2222()2x y y y k k k k k k k k +-++-===， 所以AB 的中点坐标为20002(,)2x y x -⋯（11分）故直线AB 的方程为200002()22x y x y x x --=-，即002()x x y y =+⋯（12分）又0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故02()x x y m =-对任意0x 成立，所以0x =，y m =，从而直线AB 恒过定点(0,)m ⋯（14分）证法三：由已知得24x y =，求导得2x y =，切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，故过点1(A x ，1)y 的切线斜率为12x k =，从而切线方程为111()()2x y y x x -=-即21124x x y x =-⋯（7分）又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2110024x x y x =-①即10012x y x y =-⋯（8分）同理可得过点2(B x ，2)y 的切线为22224x x y x =-，又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2220024x x y x =-②即20022x y x y =-⋯（10分）即点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 均满足002xy x y =-即002()x x y y =+，故直线AB 的方程为002()x x y y =+⋯（12分）又0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故02()x x y m =-对任意0x 成立，所以0x =，y m =，从而直线AB 恒过定点(0,)m ⋯（14分）10．（2021春•城区校级月考）已知抛物线2:4C x y =，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程；（2）若0(P x ，0)y 是C 上的任意点，求证：P 点处的切线的斜率为012k x =； （3）证明：以AB 为直径的圆恒过点M ． 【解答】解：（1）当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，代入24x y =，整理得2440x kx -+=， 令△216160k =-=，解得1k =±， 代入方程得2x =±，故得(2,1)A ，(2,1)B -， 因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2，从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为22(1)4xy +-=．（2）证明：抛物线2:4C x y =，导数为11242y x x '=⋅=， 可得0(P x ，0)y 是C 上的任意点，P 点处的切线的斜率为012k x =；（3）证明：设切点分别为1(A x ，21)4x ，2(B x ，22)4x ， 12MA x k ∴=，22MB x k =， 切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-，即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-，即2221124y x x x =-，又因为切线MA 过点0(M x ，1)-， 所以得201111124x x x -=-，① 又因为切线MB 也过点0(M x ，1)-， 所以得202211124x x x -=-，② 所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202x x x +=，124x x =-，因为10(MA x x =-，2111)4x +，20(MB x x =-，2211)4x +，所以2210201211()()(1)(1)44MA MB x x x x x x ⋅=--+++2222212120120121()()1164x x x x x x x x x x =-++++++22221212012012121()[()2]1164x x x x x x x x x x x x =-+++++-+，将1202x x x +=，124x x =-代入，得0MA MB ⋅=， 则以AB 为直径的圆恒过点M ．11．（2021春•江苏期中）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,1)． （1）求抛物线方程；（2）过直线2y x =-上一点(,2)P t t -作抛物线的切线切点为A ，B ．①设直线PA 、AB 、PB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，2k ，3k 成等差数列；②若以切点B 为圆心r 为半径的圆与抛物线C 交于D ，E 两点且D ，E 关于直线AB 对称，求点P 横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题意知12p=，2p =， 可得抛物线的方程为24x y =；（2）①证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 因为24x y =，所以2xy '=，所以112x k =，232x k =， 所以12132x x k k ++=，2212121221212444x x y y x x k x x x x --+===--， 所以1322k k k +=，即1k ，2k ，3k 成等差数列； ②直线AP 的方程为211111()224x x x y y x x y x -=-⇒=-，同理直线BP 的方程为22224x x y x =-，则两直线的交点坐标1212(,)24x x x x P +， 代入直线2y x =-，得1212242x x x x +=-， 直线AB 的方程为12121211()444x x x x x xy y x x y x ++-=-⇒=-， 因为1212242x x x x +=-，所以1212242x x x xy x ++=-+， 因为122x x t +=，所以直线AB 的方程为22ty x t =-+． 1)若0t =则抛物线24x y =上不存在两点关于直线AB 对称；2)若0t ≠，设3(D x ，3)y ，4(E x ，4)y 为抛物线上关于直线AB 对称的两点，此时0r BD BE ==>，设DE 方程为2y x b t=-+，DE 与直线AB 交于点0(H x ，0)y ，由242x y y x bt ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，可得2840x x b t +-=， 则226441600(*)b b t t =+>⇔+>，348x x t +=-， 所以34042x x x t +==-，00228y x b b t t=-+=+， 因为H 点在直线AB 上，所以2288b t b t t t +=-⇒=--代入(*)式， 得3224400t t t t+-->⇔<，所以t <所以t 的取值范围是(,-∞．12．（2021•益阳模拟）已知抛物线1C 的方程为22(0)x py p =>，过点(M a ，2)(p a -为常数）作抛物线1C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）过焦点且在x 轴上截距为2的直线l 与抛物线1C 交于Q ，N两点，Q ，N 两点在x 轴上的射影分别为Q '，N '，且||Q N ''=，求抛物线1C 的方程； （2）设直线AM ，BM 的斜率分别为1k ，2k ．求证：12k k ⋅为定值．【解答】解：（1）因为抛物线1C 的焦点坐标是(0,)2p ，所以过焦点且在x 轴上截距为2的直线方程是122x yp +=，即212x y p +=． 联立22212x py x y p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得22202p x x p +-=，设点(Q Q x ，)Q y ，(N N x ，)N y ，则22Q N p x x +=-，2Q N x x p =-．则||||Q N Q N x x ''=-===解得2p =．所以抛物线1C 的方程为24x y =．（2）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，21)(0y x >，20)x <．依题意，由22(0)x py p =>，得22x y p=，则x y p'=． 所以切线MA 的方程是111()x y y x x p-=-， 即2112x x y x p p=-．又点(,2)M a p -在直线MA 上，于是有21122x x p a p p-=⨯-，即2211240x ax p --=．同理，有2222240x ax p --=，因此，1x ，2x 是方程22240x ax p --=的两根， 则122x x a +=，2124x x p =-．所以21212122244x x x x p k k p p p p -⋅=⋅===-，故12k k ⋅为定值得证．13．（2021•崇明区二模）对于直线l 与抛物线2:4x y Γ=，若l 与Γ有且只有一个公共点且l 与Γ的对称轴不平行（或重合），则称l 与Γ相切，直线l 叫做抛物线Γ的切线．（1）已知0(P x ，0)y 是抛物线上一点，求证：过点P 的Γ的切线l 的斜率02x k =； （2）已知0(M x ，0)y 为x 轴下方一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，求证：1x 、0x 、2x 成等差数列；（3）如图所示，(,)D m n 、(,)E s t 是抛物线Γ上异于坐标原点的两个不同的点，过点D 、E 的Γ的切线分别是1l 、2l ，直线1l 、2l 交于点(,)G a b ，且与y 轴分别交于点1D 、1E ，设1x 、2x 为方程20(,)x ax b a b R -+=∈的两个实根，{max c ，}d 表示实数c 、d 中较大的值，求证：“点G 在线段1DD 上”的充要条件是“12||{||,||}2m max x x =”．【解答】证明：（1）由24x y =可得24x y =，2x y '=．∴过点0(P x ，0)y 的Γ的切线额度斜率02x k =． （2）由（1）可知过点A 的切线方程为100()2x y x x y =-+，代入抛物线方程24x y =可得211002240x x x x x y -+-=， 令△2110044(24)0x x x y =--=可得2110024x x x y =-，同理可得：2220024x x x y =-，两式相减得22120122()x x x x x -=-，1202x x x ∴+=．1x ∴、0x 、2x 成等差数列．（3）由(,)D m n 在抛物线24x y =可得24m n =， 切线1l 的方程为()2m y x m n =-+，即2my x n =-． 同理切线2l 的方程为2sy x t =-，联立方程组22my x ns y x t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1()2x m s =+，14y ms =．1()2a m s ∴=+，14b ms =．解方程20x ax b -+=可得12mx =，22s x =．把0x =代入直线1l 的方程可得y n =-，即21(0,)4m D -，①若G 在线段1DD 上，244m msn ∴-，即22m ms m -， ||||s m ∴，1||||2m x ∴=，2||||||22s m x =，1{||max x ∴，2||||}2m x =． ②若1{||max x ，2||||}2m x =．则2||||||22s m x =， ||||s m ∴，22mms m ∴-，即244m msn -， G ∴在线段1DD 上．综上，点G 在线段1DD 上”的充要条件是“12||{||,||}2m max x x =”．14．（2012•青羊区校级三模）22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合． （Ⅰ）求抛物线2C 的方程；（Ⅱ）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得双曲线焦距为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，所以抛物线2C 的方程为24x y =；（Ⅱ）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，即1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，所以124x x a =22121212121()416x x y y x x x x a a ∴+=+=+ 坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内， 240a a ∴+<，即40a -<<．15．（2021•福州一模）如图，以原点O 为顶点，以y 轴为对称轴的抛物线E 的焦点为(0,1)F ，点M 是直线:(0)l y m m =<上任意一点，过点M 引抛物线E 的两条切线分别交x 轴于点S ，T ，切点分别为B ，A ．()I 求抛物线E 的方程；（Ⅱ）求证：点S ，T 在以FM 为直径的圆上；（Ⅲ）当点M 在直线l 上移动时，直线AB 恒过焦点F ，求m 的值．【解答】解：()I 设抛物线E 的方程为22(0)x py p =>， 依题意1,22pp ==解得， 所以抛物线E 的方程为24x y =．（Ⅱ）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．120x x ≠，否则切线不过点M211,42y x y x '==，∴切线AM 的斜率112AM k x =，方程为1111()2y y x x x -=-，其中2114x y =．令0y =，得112x x =，点T 的坐标为11(,0)2x ， ∴直线FT 的斜率12FTk x =-，1112()12AM FT k k x x ⋅=⋅-=-， AM FT ∴⊥，即点T 在以FM 为直径的圆上；同理可证点S 在以FM 为直径的圆上， 所以S ，T 在以FM 为直径的圆上．（Ⅲ）抛物线24x y =焦点(0,1)F ，可设直线:1AB y kx =+．由22144041y x x kx y kx ⎧=⎪--=⎨⎪=+⎩得， 则124x x =-．由（Ⅱ）切线AM 的方程为2111124y x x x =-过点0(M x ，)m ，得21011124m x x x =-， 同理22021124m x x x =-．消去0x ，得1212121()()4m x x x x x x -=- 12x x ≠，由上124x x =-∴12114m x x ==-，即m 的值为1-．16．已知抛物线C 的方程为22(0)x py p =>．（1）若抛物线C 上一点0(N x ，6)到焦点F 的距离0||NF x =，求抛物线C 的标准方程； （2）过点(M a ，2)(p a -为常数）作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，(B A 右B 左），设直线AM ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求证12k k 为定值． 【解答】解：（1）抛物线C 的准线方程为2py =-， 0(N x ∴，6)到焦点F 的距离0||62pNF x =+=， 又0(N x ，6)在抛物线C 上，2012x p ∴=，2(6)122pp ∴+=，解得12p =．∴抛物线C的标准方程是：224x y =．（2）证明：(,2)M a p -，设抛物线过点M 的切线方程为()2y k x a p =--， 代入抛物线方程得：222()4x pk x a p =--，即222240x pkx pka p -++=，∴△22244(24)0p k pka p =-+=，即2240pk ka p --=，显然1k ，2k 为关于k 的方程2240pk ka p --=的两个解，124k k ∴=-． 12k k ∴为定值4-．17．（2016•石家庄一模）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点M （m ，2），其焦点为F ，且|MF |＝2．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：（x ﹣1）2+y 2＝1相切，切点分别为A ，B ，求证：A 、B 、F 三点共线． 【解答】（I ）解：抛物线C 的准线方程为：，∴，又抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点M （m ，2）， ∴4＝2pm ，即…（2分）∴p 2﹣4p +4＝0，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ．…（4分）（II ）证明；设E （0，t ）（t ≠0），已知切线不为y 轴，设EA ：y ＝kx +t 联立，消去y ，可得k 2x 2+（2kt ﹣4）x +t 2＝0∵直线EA 与抛物线C 相切，∴Δ＝（2kt ﹣4）2﹣4k 2t 2＝0，即kt ＝1． 代入，∴x ＝t 2，即A （t 2，2t ），…（6分）设切点B （x 0，y 0），则由几何性质可以判断点O ，B 关于直线EF ：y ＝﹣tx +t 对称，则，解得：，即…（8分）直线AF 的斜率为，直线BF 的斜率为，∴k AF ＝k BF ，即A ，B ，F 三点共线．…（10分）当t ＝±1时，A （1，±2），B （1，±1），此时A ，B ，F 共线． 综上：A ，B ，F 三点共线．…（12分）18．（2021•宁波期末）已知抛物线C 的方程为24x y =，F 为其焦点，过不在抛物线上的一点P 作次抛物线的切线PA ，PB ，A ，B 为切点，且PA PB ⊥．（1）求证：直线AB 过定点；（2）直线PF 与曲线C 的一个交点为R ，求AR AB 的最小值．【解答】解：（1）证明：设直线AB 的方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由抛物线方程得，214y x =， ∴12y x '=， ∴112PAk x =， PA ∴的方程为：1111()2y y x x x -=-，∴211122y y x x x -=-，11220x x y y ∴--=，⋯①同理，212PB k x =， 且PB 的方程为：22220x x y y --=，⋯②由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得：2440x kx b --=， 124x x k ∴+=，124x x b =-，PA PB ⊥，∴1212224PA PBx x x x k k =⨯=1b =-=-，1b ∴=，即直线AB 的方程为：1y kx =+， 故直线AB 恒过(0,1)点．（2）设0(P x ，0)y ，分别代回①②得，1001220x x y y --=，2002220x x y y --=，两式相减，结合抛物线方程可得，12022x x x k +==， 211210101()1244x x x x y x x y +=-=-1214x x b ==-=-， 当0k =时，00x =，可得AB PF ⊥， 当0k ≠时，00x ≠，此时， 021122142AB x y y x x k x x -+===-， 00001112PF y k x x x ---===-， 1AB PF k k ∴=-，AB PF ∴⊥∴112||||(1)(2)AR AB AF AB y y y ==+++21121232y y y y y =++++，221212116x x y y ==，∴2111133AR AB y y y =+++， 令21()33f t t t t=+++，0t >，则2222(1)(21)()3t t f t t t t +-'=+-=， ()f t ∴在(0，1]2递减，在1[2，)+∞递增，∴最小值为127()24f =，故AR AB 的最小值为274．19．（2021•辽宁）如图，抛物线21:4C x y =，22:2(0)C x py p =->，点0(M x ，0)y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为A ，(B M 为原点O 时，A ，B 重合于)O ，当01x =-时，切线MA 的斜率为12-． （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为)O ．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线21:4C x y =上任意一点(,)x y 的切线斜率为2x y '=，且切线MA 的斜率为12-， 所以设A 点坐标为(,)x y ，得122x =-，解得1x =-，2144x y ==，点A 的坐标为1(1,)4-，故切线MA 的方程为11(1)24y x =-++因为点(1M 0)y 在切线MA 及抛物线2C 上，于是011(224y =-+=0y ∴==②解得2p =（Ⅱ）设(,)N x y ，1(A x ，21)4x ，2(B x ，22)4x ，12x x ≠，由N 为线段AB 中点知122x x x +=③，22121228y y x x y ++==④ 切线MA ，MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤；2222()24x x y x x =-+⑥，由⑤⑥得MA ，MB 的交点0(M x ，0)y 的坐标满足1202x x x +=，1204x xy = 因为点0(M x ，0)y 在2C 上，即2004x y =-，所以2212126x x x x +=-⑦由③④⑦得243x y =，0x ≠当12x x =时，A ，B 丙点重合于原点O ，A ，B 中点N 为O ，坐标满足243x y =因此中点N 的轨迹方程为243x y =20．（2021•诸暨市期末）已过抛物线2:4C x y =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点作抛物线的切线，两条直线交于P 点．（1）当直线l 平行于x 轴时，求点P 的坐标； （2）当||2||PA PB =时，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）依题可知(0,1)F ，当直线l 平行于x 轴时，则l 的方程为1y =，所以可得(2,1)A ，(2,1)B -，又24x y =可得24x y =，12y x '=；所以在A ，B 处的切线分别为：21(2)2y x -=-，21(2)2y x --=+，即1y x =-，1y x =--， 联立两切线可得11y x y x =-⎧⎨=--⎩解得0x =，1y =-，所以(0,1)P -．（2）设l 的方程为：1y kx =+，(,)A x y ''，(,)B x y ''''，则联立有214y kx x y=+⎧⎨=⎩整理得：2440x kx --=，所以4x x k '+''=，4x x '''=-，在A 处的切线为：211()42y x x x x '''-=-，即21124y x x x ''=-，同理可得，在B 处切线：211()42y x x x x -''=''-''，即21124y x x x =''-''，联立有：2211241124y x x x y x x x ⎧''=-⎪⎪⎨⎪=''-''⎪⎩解得2x x x '+''=，1y =-，即点(2x x P '+''，1)-．21|||1()||222x x x PA x x x ''+''''=-=+''-，同理可得：||||PB x x '=''-，所以||2||PA PB ===，2244(4)x x '∴+=''+， 又4x x '''=-，解得21x ''=．1x ''=±，所以41x x '=⎧⎨''=-⎩或41x x '=-⎧⎨''=⎩，所以直线方程为：314y x =±+．21．（2012秋•宜春期末）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e =． （1）求椭圆E 的方程； （2）经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：点M定在直线1y =-上；（3）椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出切线M A ''、M B ''的方程；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ．由已知条件，(0,1)F ，1b ∴=，c e a ==，222a b c =+， 解得2a =，1b =．所以椭圆E 的方程为2214x y +=．⋯（3分）（2）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意， 故可设直线l 的方程为1y kx =+，1(A x ，12)(y B x ，212)()y x x ≠ 与抛物线方程联立，消去y ，并整理得，2440x kx --=124x x ∴=-．⋯（5分）抛物线的方程为214y x =，求导得12y x '=， ∴过抛物线上A ，B 两点的切线方程分别是1111()2y y x x x -=-，2221()2y y x x x -=-即2111124y x x x =-，2221124y x x x =-解得两条切线的交点M 的坐标为12(2x x +，1)-， ∴点M 在直线1y =-上．．⋯（8分） （3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1y =-上，又直线1y =-与椭圆有唯一交点，故M '的坐标为(0．1)-，设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为0001()2y y x x x -=-，其中点0(x ，0)y 为切点．令0x =，1y =-得，2000111(0)42x x x --=-，解得02x =或02x =-，故不妨取(2A '-，1)(2B '，1)，即直线A B ''过点F ．综上所述，椭圆E 上存在一点(0,1)M '-，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），能使直线A B ''过点F ． 此时，两切线的方程分别为1y x =--和1y x =-．⋯（13分）22．（2021春•思明区校级月考）如图，已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线22:1C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点． （Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，A 、B 分别为两个切点，求PAB ∆面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线21:2C x py =的焦点(0,)2p在抛物线22:1C y x =+上，即有12p=，可得2p =， 即有1C 的方程为24x y =， 其准线方程为1y =-．（Ⅱ）设2(2,)P t t ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2111y x =+，2221y x =+，21y x =+的导数为2y x '=，直线PA 的斜率为12x ，直线PB 的斜率为22x ，则切线PA 的方程：1112()y y x x x -=-，即211122y x x x y =-+，又2111y x =+，所以1122y x x y =+-， 同理切线PB 的方程为2222y x x y =+-，又PA 和PB 都过P 点，所以211222420420tx y t tx y t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 所以直线AB 的方程为2420tx y t -+-=．联立22421y tx t y x ⎧=+-⎨=+⎩得22410x tx t -+-=， 所以1221241x x t x x t +=⎧⎨=-⎩，12||x x -=所以12|||AB x x =-=点P 到直线AB的距离2222d ==．所以PAB ∆的面积32221||2(32(31)2S AB d t t ==+=+，所以当0t =时，S 取最小值为2．即PAB ∆面积的最小值为2．23．（2021•嘉兴二模）如图，已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线221:12C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线1C 的方程为22x py =，∴抛物线的焦点为(0,)2pF ，⋯（2分）抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线2C 上∴12p=，可得2p =．⋯（4分） 故抛物线1C 的方程为24x y =，其准线方程为1y =-．⋯（6分）（Ⅱ）设2(2,)P t t ，2111(,1)2M x x +，2221(,1)2N x x +，可得PM 的方程：21111(1)()2y x x x x -+=-，∴点P 坐标代入，化简得22111212t tx x =-+，即22114220xtx t -+-=．同理可得2221:12PN y x x x =-+，得22224220x tx t -+-=．⋯（8分）由2211222242204220x tx t x tx t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩得1x 、2x 是方程224220x tx t -+-=的两个实数根， 124x x t ∴+=，21222x x t =-．(*)⋯MN 的方程：221221112111(1)122(1)()2x x y x x x x x +-+-+=--， ∴化简整理，得2112111(1)()()22y x x x x x -+=+-代入(*)式，可得MN 的方程为222y tx t =+-．⋯（12分） 于是，点P 到直线MN的距离222d ==令214(1)s t s =+，则16662d =+3s =时取等号）．由此可得，当P 坐标为(，1)2时，点P到直线MN 的距离d ⋯（15分）24．（2009秋•宁波期末）点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2:2C x y =上的不同两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线，两条切线交于点0(P x ，0)y ．（1）求证：0x 是1x 与2x 的等差中项；（2）若直线AB 过定点(0,1)M ，求证：原点O 是PAB ∆的垂心； （3）在（2）的条件下，求PAB ∆的重心G 的轨迹方程． 【解答】解：（1）对22x y =求导 得y x '=， 所以直线111:()PA y x x x y =-+，即2112x y x x =-同理，直线222:2x PB y x x =-，解得12012022x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以0x 是1x 与2x 的等差中项；（5分）（2）设直线:1AB y kx =+，代入22x y =整理得2220x kx --=．∴121222x x kx x +=⎧⎨=-⎩，得001x k y =⎧⎨=-⎩ ∴001OP y k x k==-即AB OP ⊥；1AP k x =，22212OB y k x x ==∴12112AP OBk k x x ==-， AP OB ∴⊥，同理BP OA ⊥，所以原点O 是PAB ∆的垂心；(（10分），只需证明两个垂直就得满分） （3）设PAB∆的重心(,)G x y ，则1201()3x x x x k =++=，22221212012121111121()()()3636333x x y y y y x x x x k +=++=+-=+-=+因为k R ∈，所以点G 的轨迹方程为22133y x =+．（15分） 25．（2021•合肥二模）如图，抛物线2:2(0)E y px p =>与圆22:8O x y +=相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2．过劣弧AB 上动点0(P x ，0)y 作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点M ．（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）求动点M 的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入22y px =，解得1p =，（Ⅱ）设211(,)2y C y ，222(,)2y D y ，10y ≠，20y ≠．切线2111:()2y l y y k x -=-，代入22y x =得2211220ky y y ky -+-=，由△0=解得11k y =， 1l ∴方程为1112y y x y =+，同理2l 方程为2212y y x y =+， 联立11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x y y y ⋅⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， CD 方程为008x x y y +=，其中0x ，0y 满足22008x y +=，0x ∈，联立方程20028y x x x y y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2002160x y y y +-=，则0120120216y y y x y y x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，代入121222y y x y y y ⋅⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩可知(,)M x y 满足0008x x y y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入2208x y +=得2218x y -=，考虑到0x ∈，知[4,x ∈--．∴动点M 的轨迹方程为2218x y -=，[4,x ∈--．。
