课时跟踪检测(十四) 导数与函数单调性(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)3．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3]D ．[3，＋∞)5．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．6．(2014·河南省三市调研)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．7．(2014·武汉武昌区联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．8．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．第Ⅱ卷：提能增分卷1．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．2．(2014·深圳第一次调研)已知函数f(x)＝a x＋x2－x ln a－b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数．(1)试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)当a＝e，b＝4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点．3．(2014·石家庄质检)已知函数f(x)＝ln x＋mx2(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若A，B是函数f(x)图像上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，求实数m的取值范围．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选A 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex >0，故单调增区间是(0，＋∞)．2．选D ∵f (x )＝(x －3)·e x ， f ′(x )＝e x (x －2)>0，∴x >2. ∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．3．选C 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，c <a <b .4．选D f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，因为函数在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，所以f ′(x )≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，设g (x )＝1x 2－2x ，g ′(x )＝－2x 3－2，令g ′(x )＝－2x 3－2＝0，得x ＝－1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，g ′(x )<0，故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4－1＝3，所以a ≥3，故选D.5．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x >0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增6．解析：∵f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝(－1)×4＝－4.答案：－47．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x ，又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x <0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 8．解：(1)对f (x )求导， 得f ′(x )＝3x 2－2ax －3.由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝⎛⎭⎫x －1x . 记t (x )＝32⎝⎛⎭⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数，∴t (x )min ＝32(1－1)＝0.∴a ≤0. (2)由题意，得f ′(3)＝0， 即27－6a －3＝0，∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ， f ′(x )＝3x 2－8x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表： ∴f (x )的单调递增区间为⎝⎦⎤－∞，－13，[3，＋∞)，f (x )的单调递减区间为⎣⎦－13，3. 第Ⅱ组：重点选做题1．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ， ∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x . 令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0， ∵e x >0，∴－x 2＋2>0， 解得－2<x <2，∴函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)． (2)若函数f (x )在R 上单调递减， 则f ′(x )≤0对任意x ∈R 都成立．即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对任意x ∈R 都成立． ∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≥0对任意x ∈R 都成立． ∴Δ＝(a －2)2＋4a ≤0， 即a 2＋4≤0，这是不可能的． 故函数f (x )不可能在R 上单调递减． 若函数f (x )在R 上单调递增， 则f ′(x )≥0对任意x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对任意x ∈R 都成立．∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≤0对任意x ∈R 都成立． 而Δ＝(a －2)2＋4a ＝a 2＋4>0， 故函数f (x )不可能在R 上单调递增． 综上可知函数f (x )不是R 上的单调函数．2．解：(1)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a . ∵a >1，∴当x ∈(0，＋∞)时， ln a >0，a x －1>0，∴f ′(x )>0， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)∵f (x )＝e x ＋x 2－x －4，∴f ′(x )＝e x ＋2x －1，∴f ′(0)＝0， 当x >0时，e x >1，∴f ′(x )>0， ∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数； 同理，f (x )是(－∞，0)上的减函数． 又f (0)＝－3<0，f (1)＝e －4<0， f (2)＝e 2－2>0，当x >2时，f (x )>0， ∴当x >0时，函数f (x )的零点在(1,2)内， ∴k ＝1满足条件；f (0)＝－3<0，f (－1)＝1e －2<0，f (－2)＝1e 2＋2>0，当x <－2时，f (x )>0，∴当x <0时，函数f (x )的零点在(－2，－1)内，∴k ＝－2满足条件． 综上所述，k ＝1或－2.3．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋2mx ＝1＋2mx 2x .当m ≥0时，f ′(x )>0， f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当m <0时，由f ′(x )＝0得x ＝ －12m. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12m 时，f ′(x )>0， f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12m 上单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12m ，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )在 ⎝⎛⎭⎫－12m ，＋∞上单调递减． 综上所述，当m ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当m <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12m ，＋∞上单调递减．(2)依题意，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，不妨设a >b >0， 则k AB ＝f (a )－f (b )a －b>1恒成立， 即f (a )－f (b )>a －b 恒成立， 即f (a )－a >f (b )－b 恒成立， 令g (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx 2－x ， 则g (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以g ′(x )＝1x ＋2mx －1＝2mx 2－x ＋1x ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，所以2mx 2－x ＋1≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即2m ≥－1x 2＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －122＋14对x ∈(0，＋∞)恒成立，因此m ≥18. 故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫18，＋∞.。
课时跟踪检测 (十四) 导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：选A 函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )<0，得0<x <1.2．函数f (x )的导函数f ′(x )有下列信息： ①f ′(x )>0时，－1<x <2； ②f ′(x )<0时，x <－1或x >2； ③f ′(x )＝0时，x ＝－1或x ＝2. 则函数f (x )的大致图象是( )解析：选C 根据信息知，函数f (x )在(－1,2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C.3．f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(－∞，2)D ．(－∞，2]解析：选D 由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －ax ，∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴2x －ax ≥0，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立， ∵2x 2>2，∴a ≤2.故选D.4．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)5．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增．2．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，－2) C ．(－2，－1)D ．(－2,0)解析：选D 设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．3．函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≤0 B ．a <0 C ．a ≥0D ．a >0解析：选B 函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的一个充分不必要条件是f ′(x )＝3x 2－a >0在R 上恒成立，所以a <(3x 2)min .因为(3x 2)min ＝0，所以a <0.故选B.4．(2017·湖北襄阳模拟)函数f (x )的定义域为R.f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：选B 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1，选B.5．设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0解析：选A 因为函数f (x )＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时a ∈(0,1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0.由g (2)＝ln 2＋1>0，g (b )＝0得b ∈(1,2)，又f (1)＝e －1>0， 所以f (b )>0.综上可知，g (a )<0<f (b )．6．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间为________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x .由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2.答案：(2，＋∞)7．函数f (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝2x －a ， ∵f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴2x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立． 即a ≤2x ，∴a ≤2. 答案：(－∞，2]8．已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． 解：(1)对f (x )求导得 f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)． 10．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x ，由f ′(x )<0得0<x <1，故f (x )的单调递减区间是(0,1)．(2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，函数g (x )在[1，＋∞)上是单调函数．①若g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x －2x 2，∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )m ax ＝φ(1)＝0，∴a ≥0.②若g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数a 的取值范围为[0，＋∞)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知函数f (x )＝3xa－2x 2＋ln x (a >0)．若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立， 即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立． 令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在[1,2]上单调递增， 所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a >0， 所以0<a ≤25或a ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) 2．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x . ∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9； 由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9. 即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9.。
课时跟踪检测（十四） 导数与函数的单调性(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－43，0 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(0，＋∞) 解析：选C ∵f ′(x )＝3x 2－2mx ， ∴f ′(－1)＝3＋2m ＝－1，解得m ＝－2， 由f ′(x )＝3x 2＋4x ＞0，解得x ＜－43或x ＞0，即f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞)，故选C. 2．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >33或x <－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )>0，得0<x <1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.3．函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫1e ，e B.⎝⎛⎭⎫0，1e C.⎝⎛⎭⎫－∞，1e D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞解析：选B 因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1e，故f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 4．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故选A.5．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A f ′(x )＝32x 2＋a ，当a >0时，f ′(x )>0，即a >0时，f (x )在R 上单调递增，由f (x )在R 上单调递增，可得a ≥0.故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．6．(2017·四川乐山一中期末)若f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(－∞，2)D ．(－∞，2]解析：选D 由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －a x ，∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴2x －ax ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立， ∵x ∈(1，＋∞)时，2x 2＞2，∴a ≤2.故选D.7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6，得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)8．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫π2，f (2)的大小关系为________． 解析：函数f (x )为偶函数， 因此f (－3)＝f (3)．又f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，f ′(x )≤0. 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (2)＞f (3)＝f (－3)． 答案：f (－3)＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫π29．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，则当a ＜0时，f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．解析：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＜0时，因为f ′(x )＝a ＋1x ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1a x，所以当x ≥－1a 时，f ′(x )≤0，当0＜x ＜－1a时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫0，－1a ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞ 10．若函数f (x )＝2ax 3－6x 2＋7在(0,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝2ax 3－6x 2＋7，所以f ′(x )＝6ax 2－12x .又f (x )在(0,2]上是减函数，所以f ′(x )＝6ax 2－12x ≤0在(0,2]上恒成立．即a ≤2x 在(0,2]上恒成立．令g (x )＝2x ， 而g (x )＝2x 在(0,2]上为减函数， 所以g (x )min ＝g (2)＝1，故a ≤1.答案：(－∞，1]B 级——中档题目练通抓牢1.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，排除A 、B ；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则函数f (x )在(0，x 1)上单调递增，只有D 选项符合题意．2．若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．(－3,1)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选B 因为f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5，所以f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，如果函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上单调，那么a －1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0，f ′(2)≤0，解得a ≥1或a ≤－3，于是满足条件的a ∈(－3,1)．3．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：选C 因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)<f (0)＝a ，所以c <a <b ，故选C.4．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x a ，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22a，a ＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，则g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )， 令g ′(x )＜0，得－2＜x ＜0， 故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)． 答案：(－2,0)5.(2018·张掖一诊)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋1，∵函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上单调递减，∴f ′(x )≤0在区间⎝⎛⎭⎫12，3上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′⎝⎛⎭⎫12≤0，f ′(3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧14－12a ＋1≤0，9－3a ＋1≤0，解得a ≥103，∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫103，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫103，＋∞ 6．已知f (x )＝ln x －ax (a ∈R)．(1)若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线平行于直线x ＋y ＝0，求a 的值； (2)讨论函数f (x )在定义域上的单调性． 解：(1)因为f ′(x )＝1x ＋ax2，所以由题意可知f ′(1)＝1＋a ＝－1，故a ＝－2. (2)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x >0)，当a ≥0时，因为x ＞0，所以f ′(x )＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上为增函数；当a ＜0时，由f ′(x )＝x ＋ax 2＞0，得x ＞－a ；由f ′(x )＝x ＋ax2＜0，得0＜x ＜－a ，所以f (x )在(0，－a )上为减函数，在(－a ，＋∞)上为增函数． 综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上为增函数；当a ＜0时，f (x )在(0，－a )上为减函数，在(－a ，＋∞)上为增函数． 7．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2＋(a ＋1)x ＋3.(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋12x 2＋3，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝－1x ＋x .由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )＜0，x ＞0，得0＜x ＜1. 所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)．(2)法一：因为函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以f ′(x )＝ax ＋x ＋a ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以x 2＋(a ＋1)x ＋a ≥0，即(x ＋1)(x ＋a )≥0在(0，＋∞)上恒成立． 因为x ＋1＞0，所以x ＋a ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立， 所以a ≥0，故实数a 的取值范围是[0，＋∞)． 法二：因为函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以f ′(x )＝ax ＋x ＋a ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即x 2＋(a ＋1)x ＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ， 因为Δ＝(a ＋1)2－4a ≥0恒成立，所以⎩⎨⎧－a ＋12≤0，g (0)≥0，即a ≥0，所以实数a 的取值范围是[0，＋∞)． C 级——重难题目自主选做1．定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f (2)f (1)<16B ．4<f (2)f (1)<8C ．3<f (2)f (1)<4D ．2<f (2)f (1)<3解析：选B ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0，∴y ＝f (x )x 2在(0，＋∞)上单调递增，∴f (2)22>f (1)12，即f (2)f (1)>4. ∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0，∴y ＝f (x )x 3在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2)23<f (1)13，即f (2)f (1)<8. 综上，4<f (2)f (1)<8.2．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号， 所以f (x )在其定义域内单调递增． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12。
