2018学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假2．（5分）“x2﹣x=0”是“x=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣3）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=25 C．（x﹣2）2+（y+3）2=5 D．（x﹣2）2+（y+3）2=254．（5分）若直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．1或﹣15．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．6．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（5分）过点P（﹣1，4）作圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的切线，则切线长为（）A．3 B．C． D．58．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=09．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2 B．2 C．2 D．410．（5分）已知f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2）D．（2，）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．12．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．13．（5分）椭圆的离心率为，则实数m的值为．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数的最小正周期为π．（1）求ω和的值；（2）求函数f（x）的最大值及相应x的集合．16．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．17．（14分）设函数f（x）=x2e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．18．（14分）设F1，F2分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．19．（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．2018学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假【解答】解：根据奇数和偶数的定义，得命题p是真命题，命题q是假命题．∵命题q是假命题∴命题“p且q”为假命题，故B错误命题“非q”为真命题，故D错误又∵命题p是真命题∴命题“p或q”是真命题，故A正确命题“非p”为假命题，故C错误故选：A．2．（5分）“x2﹣x=0”是“x=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若x2﹣x=0 则x=0或x=1．即x2﹣x=0推不出x=1．反之，若x=1，则x2﹣x=0，即x=1推出x2﹣x=0所以“x2﹣x=0”是“x=1”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣3）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=25 C．（x﹣2）2+（y+3）2=5 D．（x﹣2）2+（y+3）2=25【解答】解：设圆心C（2，m），根据圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），可得CA2=CB2，即4+（m+4）2=4+（m+2）2，求得m=﹣3，可得圆心为（2，﹣3）、半径为CA=，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5，故选：C．4．（5分）若直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．1或﹣1【解答】解：∵直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，∴圆心（a，0）到直线x+y+a=0的距离等于圆的半径，∴，∴a=1或﹣1．故选：D．5．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．【解答】解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为；故选：C．6．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．7．（5分）过点P（﹣1，4）作圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的切线，则切线长为（）A．3 B．C． D．5【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的标准方程是（x﹣2）2+（x﹣3）2=1，∴圆心（2，3）到点P的距离是d==；圆的半径r=1，∴切线长为l===3．故选：A．8．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0【解答】解：∵y=2x2 ∴y'=4x，∵直线4x﹣y+3=0的斜率为4，由4x=4得x=1，当x=1时，代入抛物线方程得y=2，∴切点坐标为（1，2）∴与直线4x﹣y+3=0的平行的抛物线y=2x2的切线方程是y﹣2=4（x﹣1）即4x﹣y﹣2=0故选：C．9．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2 B．2 C．2 D．4【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x∴2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选：C．10．（5分）已知f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2）D．（2，）【解答】解：f（x）=|xe x|=，易知f（x）在[0，+∞）上是增函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣xe x，f′（x）=﹣e x（x+1），故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数；作其图象如下，且f（﹣1）=；故若方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则方程x2+tx+1=0（t∈R）有两个不同的实根，且x1∈（0，），x2∈（，+∞）∪{0}，故，或1=0解得，t∈（﹣∞，﹣），故选：B．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．【解答】解：，∴，故答案为：．12．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，命题否定是真命题，∴△=（﹣a）2﹣4≤0∴﹣2≤a≤2．实数a的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．13．（5分）椭圆的离心率为，则实数m的值为．【解答】解：当m＞5时，=，解得m=，当m＜5时，=解得m=3符合题意，故答案为：14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．【解答】解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=（﹣1）c∴e==．故答案为：．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数的最小正周期为π．（1）求ω和的值；（2）求函数f（x）的最大值及相应x的集合．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（）的周期是π且ω＞0∴T=，解得ω=2∴f（x）=sin（2x+）∴f（）=sin（）=sin=（2）∵﹣1∴当2x+=+2kπ（k∈Z）即x=时f（x）取得最大值1，此时x的集合为{x/x=}．16．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．【解答】解：（1）圆方程可整理为：（x﹣1）2+y2=4，圆心坐标为（1，0），半径r=2，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而，∴．所以，由点斜式方程可得：，整理得：3x﹣2y﹣3=0．（2）圆心（1，0）到直线，故．17．（14分）设函数f（x）=x2e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）…（2分）令∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；单减区间为（﹣2，0）．…（6分）（2）令∴x=0和x=﹣2，…（8分）∴∴f（x）∈[0，2e2]…（11分）∴m＜0…（12分）18．（14分）设F1，F2分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C上的点A（1，）到椭圆+=1（a＞b＞0）两焦点F1，F2的距离之和等于4，∴2a=4，a=2．∴+=1，∴b2=3，∴椭圆的方程为：+=1，其焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0）；（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），∵Q（0，），∴|PQ|2=4cos2θ+=4﹣4sin2θ+3sin2θ﹣sinθ+=﹣sin2θ﹣sinθ+=﹣+5≤5．∴|PQ|的最大值为．19．（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22=2p×1，得p=2故所求抛物线的方程是y2=4x准线方程是x=﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA=﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）∴∴y1+2=﹣（y2+2）∴y1+y2=﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，，当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；（2）证明：由（1）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）＞f（0）=a；f （x）在[，e]上单调递减，且．则f（x2）＞a，∵g′（x）=，①当0＜a＜e时，g（x）=alnx﹣x在（0，a）上单调递增，在[a，e]上单调递减；故g（x1）max=g（a）=alna﹣a；则alna﹣a﹣a=a（lna﹣2）＜0；故对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立；②当a≥e时，g（x）=alnx﹣x在（0，e]上单调递增，故g（x1）max=g（e）=a﹣e；故a﹣e﹣a=﹣e＜0，故对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2020-2021深圳实验学校高中必修一数学上期中试卷带答案一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭5．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．26．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭8．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U9．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（） A ．3B ．2-C ．3-D ．210．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<11．函数()2log ,0,2,0,xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x fx f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．612．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,4二、填空题13．已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．14．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4xf x =，5()(2019)2f f -+的值是____.15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．16．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 17．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．18．103383log ()()1255---+=__________．19．设函数()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．20．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．三、解答题21．计算下列各式的值：（1）()11102327102π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg5ln e 2lg2lg5lg2-+++++⋅． 22．设()4f x x x=-（1）讨论()f x 的奇偶性;（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性并用定义证明.23．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=.（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）24．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）． （Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?25．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?26．在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营情况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q （百件）与销售价格P （元）的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．B解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1， f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．3．D解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D4．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.5．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．6．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.7．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．8．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．9．A解析：A 【解析】 由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q =的等比数列， 故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=Q ，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．12．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-【解析】 【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】因为()()))()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2 【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.14．【解析】【分析】根据题意由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣）＝f （﹣）＝﹣f （）结合解析式求出f （）的值又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案【详解】解：根据 解析：2-【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），结合解析式求出f （12）的值，又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1），又由函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则有f （1）＝f （﹣1）且f （1）＝﹣f（﹣1），故f （1）＝0，则f （2019）＝0 ，又由0＜x ＜l 时，f （x ）＝4x ，则f （12）＝124＝2，则f （﹣52）＝﹣f （12）＝﹣2； 则5f f (2019)2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝﹣2； 故答案为：﹣2 【点睛】本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2xt -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填解析：1【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1,故填1.17．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t ty t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值18．【解析】19．(1)-1(2)或【解析】【分析】【详解】①时函数在上为增函数且函数在为减函数在为增函数当时取得最小值为-1；（2）①若函数在时与轴有一个交点则则函数与轴有一个交点所以；②若函数与轴有无交点则函数与解析：(1)-1，(2)112a ≤<或2a ≥. 【解析】 【分析】 【详解】①1a =时，()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数且()1f x >-，函数()f x 在3[1,]2为减函数，在3[,)2+∞为增函数，当32x =时，()f x 取得最小值为-1；（2）①若函数()2xg x a =-在1x <时与x 轴有一个交点，则0a >， (1)2g a =->0，则02a <<，函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以211a a ≥<⇒且112a ≤<； ②若函数()2xg x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点，不合题意；当当2a ≥时()g x 与x 轴有无交点，()h x 与x 轴有两个交点，x a =和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取值范围112a ≤<或2a ≥.考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论.20．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}， 【解析】 【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =． 若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-． 【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．三、解答题21．（1）9512；（2）3. 【解析】 【分析】(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值. 【详解】 （1）原式113113232232232256415415395111892743323412----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=--+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（或写成11712）． （2）原式()()2log 3111113lg522lg22lg55231322222lg lg lg -=++⋅++=+++⨯=++=．【点睛】本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.22．(1)奇函数(2)()f x 在()0,+∞上是增函数，证明见解析. 【解析】 【分析】(1)分别确定函数的定义域和()f x 与()f x -的关系即可确定函数的奇偶性；(2)()12,0,x x ∀∈+∞,且12x x <,通过讨论()()12f x f x -的符号决定()1f x 与()2f x 的大小，据此即可得到函数的单调性. 【详解】 (1)()4f x x x=-的定义域为0x ≠,()()()44f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭,()4f x x x ∴=-是奇函数. (2)()12,0,x x ∀∈+∞,且12x x <,()()()()()()121212122112121212124444441f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∵()1212,0,,x x x x ∈+∞<,121240,10x x x x ∴-+， ()1212410x x x x ⎛⎫∴-+< ⎪⎝⎭， ()()12f x f x <.∴Q ()f x 在()0,+∞上是增函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性的证明等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．（Ⅰ）能（Ⅱ）20AB =米且5AD =米 【解析】 【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=34x+b ，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，即可求出截面面积最大. 【详解】解：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB ＝18米，AD ＝6米， 所以半圆的圆心为H (9,6)，半径r ＝9. 设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝02227+24-4b 3+4＝9，解得b ＝24或b ＝32(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋24, 令x ＝30，得EG ＝1.5＜2.5. 所以此时能保证上述采光要求． （2）设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，则半圆的圆心为H (r ，h )，半径为r . 方法一 设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝0， 223r+4h-4b 3+4r ，解得b ＝h ＋2r 或b ＝h －r2(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋h ＋2r ， 令x ＝30，得EG ＝2r ＋h －452， 由EG ≤52，得h ≤25－2r . 所以S ＝2rh ＋12πr 2＝2rh ＋32×r 2≤2r (25－2r )＋32×r 2 ＝－52r 2＋50r ＝－52(r －10)2＋250≤250. 当且仅当r ＝10时取等号． 所以当AB ＝20米且AD ＝5米时， 可使得活动中心的截面面积最大． 方法二 欲使活动中心内部空间尽可能大， 则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)，设过点G 的上述太阳光线为l 1， 则l 1所在直线方程为y －52＝－34(x －30)， 即3x ＋4y －100＝0.由直线l 1与半圆H 相切，得r ＝3r+4h-1005.而点H (r ，h )在直线l 1的下方，则3r ＋4h －100＜0， 即r ＝－3r+4h-1005，从而h ＝25－2r . 又S ＝2rh ＋12πr 2＝2r (25－2r )＋32×r 2＝－52r 2＋50r ＝－52(r －10)2＋250≤250.当且仅当r ＝10时取等号．所以当AB ＝20米且AD ＝5米时， 可使得活动中心的截面面积最大． 【点睛】本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题．24．（Ⅰ）()27530225,02,75030,2 5.1x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得f （x ）＝15w （x ）﹣30x ，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润． 【详解】（Ⅰ）由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-()2155330,02,501530,251x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎪=⎨⨯-<≤⎪+⎩27530225,02,75030,2 5.1x x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩ (Ⅱ)由(Ⅰ)得()()22175222,02,7530225,02,5=75030,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==；当25x <≤时，()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦ 78030480≤-⨯= 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =．∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元． 【点睛】本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（1）232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）；（2）当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，分当20x ≤时和当20x >时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可． 【详解】（1）由题意得：当20x ≤时，()223310032100y x xx xx =---=-+-，当20x >时，260100160y x x =--=-，故232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）；（2）当020x <≤时，()223210016156y x x x =-+-=--+， 当16x =时，156max y =， 而当20x >时，160140x -<，故当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元. 【点睛】本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题. 26．（1）当P ＝19.5元，最大余额为450元；（2）20年后 【解析】 【分析】（1）根据条件关系建立函数关系，根据二次函数的图象和性质即可求出函数的最值； （2）根据函数的表达式，解不等式即可得到结论． 【详解】设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q （P ﹣14）×100﹣3600﹣2000，①由销量图，易得Q ＝250,14P 20340,20P 262p p -+⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟„代入①式得L ＝(250)(14)1005600,14P 20340(14)100560,20P 262P P P P -+-⨯-⎧⎪⎨⎛⎫-+-⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩剟„ （1）当14≤P ≤20时，2(250)(14)1005600200780075600L P P p p =-+-⨯-=-+-，当P ＝19.5元，L max ＝450元，当20＜P ≤26时，23340(14)100560615656022L P P P p ⎛⎫=-+-⨯-=-+- ⎪⎝⎭，当P ＝613元时，L max ＝12503元. 综上：月利润余额最大，为450元，（2）设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450﹣50000﹣58000≥0，解得n ≥20，即最早可望在20年后脱贫． 【点睛】本题主要考查实际函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用二次函数的图象和性质是即可得到结论，属于中档题．。
深圳实验学校高中部2020-2021学年度第二学期第一阶段考试高二数学时间：120分钟 满分：150分 命题人：曾玉泉一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．用数字1,2,3组成允许有重复数字的两位数，其个数为( )A ．9B ．8C ．6D ．5 2．从3名男生与2名女生中选二人去参加同一个会议，要求至少有一名女生，选派的方法数为( )A ．6B ．7C ．8D ．14 3．右图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若,a b 是某行的前两个数，当7a =时，b =( )A. 20B. 21C. 22D. 234．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则()2P X < 等于( ) A ．115 B ．715 C ．815 D ．14155．如右图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( ) A ．36种 B ．24种 C ．12种 D ．9种6．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思 不变，而且颇具趣味.相传清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联： “客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒 读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44,585,2662等；那么用数1,2,3,4,5,6可以组成4位“回文数”的个数为( )A ． 30B ．36C ．360D ．1296 7．在561819(1)(1)(1)(1)x x x x -+-++-+-…的展开式中，含3x 的项的系数是( ) A ．3871 B ．3871- C ．4840 D ．4840- 8．224x y +≤表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为( )A ．256B ． 258C ．260D ．264二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
深圳实验学校高中部2020-2021学年第一学期第一阶段考试高二数学时间:120分钟 满分：150分 命题人：冯光耀注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填涂清楚。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须黑色字迹的签字笔书写。
3．请按照题号顺序在答题卡的答题区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效。
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．使不等式260x x --<成立的一个充分不必要条件是( ) A ．20x -<<B ．32x -<<C ．23x -<<D ．24x -<<2．抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为( ) A ．18B ．18-C ．8D ．-83．设集合()(){}()()(){}2222,41,,21A x y x y B x y x t y at =-+==-+-+=，如果命题“,t R A B ∃∈⋂≠∅”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．()4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．403⎛⎤ ⎥⎝⎦， C ．403⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭4．已知F 为双曲线()22:40C x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A ．2B ．4C ．2mD. m5. 已知命题22:259225p x y +=椭圆与双曲线22312x y -=有相同的焦点；命题:q 函数()2f x =的最小值为52，下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．()p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝6．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF=，则该双曲线的离心率是( )A ．53B．3C．2D ．947．已知1F ，2F 分别是椭圆22:16432x yC +=的左、右焦点，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点N ，线段1F N 的中点为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l 的交点P （第一象限）在椭圆上，且MP 交x 轴于点G ，则MGGP的取值范围为( ). A．10,7⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ B．10,7⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C．(1⎤⎦D．()18．已知抛物线()240xpy p =>的焦点为F ,点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=.过弦AB 的中点P 作抛物线的准线的垂线PQ ,垂足为Q ，则PQ AB的最大值为( )A．3BC．3 D ．1二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9．下列命题中正确的是( ) A ．()0,,23xxx ∃∈+∞>B ．()0,1x ∃∈，23log log x x <C ．()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭10．椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得123PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为( )A ．14B ．12C ．6-D ．3411．已知下列命题：①命题“2,35x R x x ∀∈+<”的否定是“2,35x R x x ∃∈+<”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝⌝∧为真命题”；③“2021a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中真命题的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④12．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是双曲线Γ的右支上异于顶点的一个点，12PF F △的内切圆的圆心为I ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为,M O 为坐标原点，则以下结论正确的是( )A ．12PF F △的内切圆的圆心I 在直线x a =上B ．||OM a =C ．若12F IF θ∠=，则12PF F △的面积为2tan b θ-D ．12PF F △的内切圆与x 轴的切点为(,0)c a -三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．13．命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立；命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立.若命题p q ∧为假，p q ∨为真，则实数a 的取值范围为 .14．已知221169x y F -=为双曲线的左焦点，,M N 为双曲线同一支上的两点.若MN的长度等于虚轴长的2倍，且直线MN 过点()5,0A，则MFN ∆的周长为 .15．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直．l 与C 交于,A B 两点，18AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为 .16．已知点P 在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，1F 是椭圆的左焦点，线段1PF 的中点在圆2222xy a b +=-上.记直线1PF 的斜率为k ，若1k ，则椭圆C 离心率的最小值为 .四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）已知:p 实数x 满足222260540,:280x x x ax a q x x x ⎧--≤-+<⎨+->⎩实数满足若1a=，且“p q ∧”为真，求实数x 的取值范围若0ap q >⌝⌝且是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点O 为坐标原点，点F 为椭圆C 的右焦点，斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且PQ 均在x 轴的上方，记OFP ∆和OFQ ∆的面积分别为21,S S ，若1212S S +=，求直线l 的方程.给出如下两个命题：命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=；命题:q已知函数()g x ax =-，且对任意1x ，[)20x ∈+∞，，12x x ≠，都有2121()()0g x g x x x -<-，求实数a 的取值范围，使命题p q ∧为假，p q ∨为真.20．（本小题满分12分）已知抛物线2:8y x Γ=和圆22:40x y x Ω+-=，抛物线Γ的焦点为F .（1）求Ω的圆心到Γ的准线的距离； （2）若点(),T x y 在抛物线Γ上，且满足[]1,4x ∈， 过点Γ作圆Ω的两条切线，记切点为A B 、，求四边形TAFB 的面积的取值范围；（3）如图，若直线l 与抛物线Γ和圆Ω依次交于M P Q N 、、、四点，证明:12MP QN PQ ==的充要条件是“直线l 的方程为2x =”已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，抛物线22(0)y px p =>的焦点是102⎛⎫⎪⎝⎭，，点,4a M b ⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上，P 为直线32y a =-上的一动点，,A B 分别为椭圆C 的上、下顶点，且,,A B P 为ABP ∆的三个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程 ;（Ⅱ）直线,PA PB 与椭圆C 的另一交点分别为点,D E ,求证：直线DE 过定点.22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22184x y +=的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4P 斜率为()0k k ->的直线与椭圆C 自上而下交于,M N 两点.（1）证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上； （2）记AGM ∆和BGN ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S 的取值范围.深圳实验学校高中部2020-2021学年第一学期第一阶段考试高二数学参考答案一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共 40 分1．A 2．B 3．C 4．A 5．B 6．B 7．B 8．D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9．BD 10．BD 11．BC 12．ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．13．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦14．40 15．81 161四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）已知:p 实数x 满足222260540,:280x x x ax a q x x x ⎧--≤-+<⎨+->⎩实数满足若1a =，且“p q ∧”为真，求实数x 的取值范围若0a p q >⌝⌝且是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：由得，当时，，即当p 为真时，实数x 的取值范围是． ………………………2分 由，得，即当q 为真时，实数x 的取值范围是 ………………………4分若“p 且q ”为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是． ………………………5分是的充分不必要条件， 即，且不能推出………………………7分因为，所以得， ………………………9分所以实数a 的取值范围是． ………………………10分18．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点O 为坐标原点，点F 为椭圆C 的右焦点，斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且PQ 均在x 轴的上方，记OFP ∆和OFQ ∆的面积分别为1S ，2S ，若1212S S +=，求直线l 的方程. 解（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意有22b =，可得1b =，………………………1分，可得c a =， 且a 2＝b 2+c 2，代入1b =，可得a =1c =， ………………………3分故椭圆C 的标准方程为：2212x y +=； ………………………4分（2）由（1）得点F 的坐标为()1,0，设直线PQ 的方程为y x m =+，点P 的坐标()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ， ………………………5分联立方程2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 后整理为223220y my m -+-=，有1223my y +=， ………………………6分 ()()22224122248830m m m m ∆=--=-=->，可得m <<且12203m y y +=>，212203m y y -=>m <<. …………………8分 由||1OF =，有1112S y =，2212S y =，可得()121211232m S S y y +=+==，解得32m =∈， ………………………11分故直线l 的方程为32y x =+. ………………………12分 19．（本小题满分12分）给出如下两个命题：命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=；命题:q 已知函数()g x ax =，且对任意1x ，[)20x ∈+∞，，12x x ≠，都有2121()()0g x g x x x -<-，求实数a 的取值范围，使命题p q ∧为假，p q ∨为真.解：法一：由已知，若命题:[0,1]p x ⌝∀∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-≠，是真命题 令1()426(5)x x f x a a a +=⋅-⋅+-则1()426(5)x x f x a a a +=⋅-⋅+-在区间[0,1]没有零点令[]2,1,2xt t =∈，可得22()26(5)(1)530g t at at a a t a =-+-=-+-，其对称轴为1t =要使得1()426(5)xx f x a a a +=⋅-⋅+-在区间[0,1]没有零点(0)(1)0g g ∴⨯> 即5(6)6(5)0a a -⨯->解得实数a 的取值范围为(,5)(6,)-∞⋃+∞则当命题p 为真时，[5,6]a ∈ ………………………5分法二：令[]2,1,2xt t =∈，2226(5)(1)5300at at a a t a -+-=-+-=[][]230,1,25,626a t a t t =∈⇒∈-+ ………………………5分因为()()21210g x g x x x -<-，所以()g x 在[)0+∞，上是减函数.[)1212,0,,x x x x ∀∈+∞<且()()2121g x g x ax ax -=-()()()22212121a x x a x x x x a ⎛⎫⎪-=-=--⎪⎭2121x x x x >>>+1⇒<()g x 在[)0+∞，上是减函数()()2100g x g x a -<-<所以1a ≥.故若q 为真，则1a ≥ ………………………10分 则p 真q 假为a ∈∅则q 真p 假[)()156a ∈+∞，，综上[)()156a ∈+∞，，………………………12分 20．（本小题满分12分）已知抛物线2:8y x Γ=和圆22:40x y x Ω+-=，抛物线Γ的焦点为F .（1）求Ω的圆心到Γ的准线的距离；（2）若点(),T x y 在抛物线Γ上，且满足[]1,4x ∈， 过点Γ作圆Ω的两条切线，记切点为A B 、，求四边形TAFB 的面积的取值范围； （3）如图，若直线l 与抛物线Γ和圆Ω依次交于M P Q N 、、、四点，证明:12MP QN PQ ==的充要条件是“直线l 的方程为2x =”解：（1）由2240x y x +-=可得:()2224x y -+=，∴Ω的圆心与Γ的焦点F 重合，∴Ω的圆心()2,0到Γ的准线2x =-的距离为4. ………………………2分（2）四边形TAFB 的面积为:1222S =⨯⨯===，∴当[]1,4x ∈时，四边形TAFB 的面积的取值范围为.………………5分（2）证明(充分性) :若直线l 的方程为2x =，将2x =分别代入28y x =2240x y x +-=得()2,4M ，()2,2P ，()2,2Q -，()2,4N -.∴122MP ON PQ ===，∴12MP QN PQ ==. …………………8分(必要性) :若12MP QN PQ ==，则线段MN 与线段PQ 的中点重合， 设l 的方程为x ty m =+， …………………9分()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，则1234y y y y +=+，将x ty m =+代入28y x =得2880y ty m --=，128y y t +=，264320t m ∆=+>即220t m +>，同理可得，()342221t m y y t -+=-+，∴()22281t m t t--=+即0t =或242m t =--， 而当242m t =--时，将其代入220t m +>得2220t -->不可能成立； .当0t =时，由280y m -=得：1y =2y =-将x m =代入2240x y x +-=得3y =，4y =12MP PQ =，∴12=⋅，∴220m m -=，∴2m =或0m =（舍去）∴直线l 的方程为2x =. …………………11分12MP QN PQ ==的充要条件是“直线l 的方程为2x =”……………12分 21．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，抛物线22(0)y px p =>的焦点是102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点,4a M b ⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上，P 为直线32y a =-上的一动点，,A B 分别为椭圆C 的上、下顶点，且,,A B P 为ABP ∆的三个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程 ;（Ⅱ）直线,PA PB 与椭圆C 的另一交点分别为点,D E ,求证：直线DE 过定点.解：（1）由已知得22223442c a c a b a =⇒=⇒= ……………1分 211222p p y x =⇒=⇒=，点,4a M b ⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上， 得22ab =……………2分 2,1a b ==⇒2214x y +=； ……………4分（2）.由（1）知332y a =-=-，设()(),30P n n -≠，又()()0,1,0,1A B - 直线4:1,PA y x n =-+联立2214x y +=2224324140,64n x x x x n n ⎛⎫⇒+-+=⇒==⇒ ⎪+⎝⎭2223264,6464n n D n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭……………7分 直线2:1,PB y x n =--联立2214x y +=2222164140,16n x x x x n n ⎛⎫⇒+--=⇒==-⇒ ⎪+⎝⎭2221616,1616n n E n n ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭……………9分得直线22222643232321:()642464243n n n n DE y x y x n n ----=-⇒=-++故直线DE 过定点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. ……………12分22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22184x y +=的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4P 斜率为()0k k ->的直线与椭圆C 自上而下交于,M N 两点.（1）证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上； （2）记AGM ∆和BGN ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S 的取值范围解（1）由椭圆方程可知()()0,2,0,2A B -，设直线:4MN y kx =-+()0k >， ……………1分 联立22428y kx x y =-+⎧⎨+=⎩，消元得()22248x kx +-+=， 即()221216240kxkx +-+=设()()1122,,,M x y N x y ，则1212221624,1212k x x x x k k +==++ ……………3分 直线212122:2,:2y y AN y x BM y x x x -+=+=-， 由()()()()222212121121211122222222222622y y y x y x x x x y x kx y y y y x y x kx y x y x x x --⎧⎧=+-=⎪⎪--+-⎪⎪⇒⇒==⎨⎨++++-+⎪⎪=-+=⎪⎪⎩⎩， 1212221624,1212k x x x x k k +==++， ()121232kx x x x ∴=+ 2221221212222224246661212382416222121212k kx x kx x x k k k k k kx x x x x kk k -+-+-+-+∴===---+⎛⎫-+- ⎪+-+⎝⎭， 即2123y y -=-+ 解得1y =， ……………5分 即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上. ……………6分（2）1112222111121111AMNAMN GMNGMN BMN BMN GMNGMN S y AN S S S S y NG S BMy S S S MG y S ∆∆∆∆∆∆∆∆------====+----- ……………7分()12211211131331331y y kx y kx y ---+===-⋅--+-1212221624,1212k x x x x k k +==++ ()()1212122133,22x x x x kx kx x x ++∴-=--=-()()()()()()1212211111212121221222333332221111333333333222x x x x x x S x x x x x x x x x x S x x x x ++--+-∴=-=-=-=⋅++--+- ……………9分 设()2211=,0x x x x λ>>()2222211221121221648211212=2412k x x x x x x k k x x x x k λλ-⎛⎫- ⎪+-++⎝⎭∴++==+ ()()()()()2222223261210211610163312312312k k k k k k -++-===-+++ 22256961920k k ∆=-->2236496,2k k ∴>>()21016102,33312k ⎛⎫∴-∈ ⎪+⎝⎭， ……………10分 即()1102,1,33λλλ⎛⎫+∈⇒∈ ⎪⎝⎭ 121,13S S ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭……………12分。
