高一数学集合经典题型归纳总结18581

高一数学集合知识点全总结导引高中数学中，集合是一个重要的概念和工具。

它不仅存在于高一数学中，还会贯穿整个高中数学的学习过程。

高一数学集合知识点的掌握，对于理解后续内容和解决实际问题至关重要。

本文将对高一数学集合知识点进行全面总结和归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分重要内容。

定义和基本概念集合是由一些确定的对象构成的整体。

常用的表示方法为列举法和描述法。

集合中的对象称为元素，用小写字母表示。

集合内的元素不重复，不分先后顺序。

集合的关系和运算1. 子集关系：若集合A的每一个元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。

若A是B的子集，但A与B并不相等，则称A为B的真子集。

若A既是B的子集，又是B的真子集，则称A为B的真子集。

2. 并集：设A、B为两个集合，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B。

3. 交集：设A、B为两个集合，由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集，记作A∩B。

4. 集合的补集：设全集为E，A为E的一个子集，由所有属于E但不属于A的元素所组成的集合称为集合A关于E的补集，记作E\A。

集合的运算性质和公式1. 并集运算的性质：- 交换律：A∪B = B∪A。

- 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。

- 分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。

2. 交集运算的性质：- 交换律：A∩B = B∩A。

- 结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

- 分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。

3. 补集运算的性质：- 补集的补集：(E\A)' = A。

- 并集与补集：A∪(E\A) = E。

- 交集与补集：A∩(E\A) = ∅。

高一数学集合的应用1. 包含关系在实际问题中，集合的包含关系常常用来描述一些包含关系，如在一个班级里，集合A表示所有男生，集合B表示所有喜欢篮球的学生，可以通过集合的交集和子集关系来得到既是男生又喜欢篮球的学生。

高一数学集合知识点归纳详细总结集合是数学中最基本的概念之一，它在高一数学中占据着重要的地位。

集合的概念、运算和性质是理解更高级数学概念的基础。

以下是高一数学中集合知识点的详细总结：首先，我们需要了解集合的定义。

集合是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。

这些元素可以是数字、字母、图形等。

集合中的元素通常用大写字母表示，例如集合A、集合B等。

其次，集合的表示方法有多种。

列举法是将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来，例如{1, 2, 3}。

描述法是用文字描述集合中的元素所具有的共同特征，例如{x|x是小于5的正整数}。

接着，我们需要掌握集合的元素与集合的关系。

元素与集合的关系用属于符号“∈”和不属于符号“∉”来表示。

例如，1∈{1, 2, 3}表示1是集合{1, 2, 3}的元素，而4∉{1, 2, 3}表示4不是集合{1, 2, 3}的元素。

集合之间也有关系，包括子集、真子集和相等。

如果集合A的所有元素都属于集合B，那么我们说A是B的子集，记作A⊆B。

如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么我们说A是B的真子集，记作A⊂B。

如果两个集合的元素完全相同，那么我们说这两个集合相等。

集合的运算包括交集、并集和补集。

两个集合A和B的交集是指既属于A又属于B的元素组成的集合，记作A∩B。

并集是指属于A或属于B的所有元素组成的集合，记作A∪B。

补集是指属于全集U但不属于A 的元素组成的集合，记作C_UA。

最后，我们需要理解空集的概念。

空集是指不含任何元素的集合，通常用符号∅表示。

空集是任何集合的子集，但没有任何集合是空集的真子集。

通过以上总结，我们可以看到集合的概念和运算在数学中的重要性。

掌握这些知识点，将有助于我们更好地理解和应用数学中的其他概念。

高一集合知识点归纳及典型例题（引子）高中是大家人生中的重要阶段，不论是对于学业还是对于未来道路的规划，都需要我们努力拼搏。

而高一作为高中的开端，是我们积累知识的起点。

在这一年中，我们需要掌握的知识点众多，今天就让我们来回顾一下高一的集合知识点，并通过典型例题进行深入学习。

（段落一：集合的定义与基本运算）首先，我们需要明确集合的定义。

集合是由确定的、互不相同的元素组成的整体，可以用大写字母A、B、C等来表示。

在集合中，我们经常用小写字母a、b、c等表示其中的元素。

在集合中，最基本的运算就是交集、并集和差集。

交集表示两个集合中共同存在的元素；并集表示两个集合中所有元素的总和；差集表示一个集合中剔除另一个集合中的元素后的剩余元素。

例如，集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}。

那么A和B的交集为{3,4}，并集为{1,2,3,4,5,6}，A减去B的差集为{1,2}。

（段落二：集合的性质与运算规律）集合还具有一些特殊的性质与运算规律。

首先，空集是不含任何元素的集合，用符号∅表示。

空集是任何集合的子集，即对于任何集合A，空集是A的子集。

其次，全集指的是某个讨论范围内的所有元素的集合，用符号U表示。

我们要明确集合的讨论范围，才能确定全集。

另外，我们还需要了解集合的包含关系与运算规律。

包含关系是指一个集合是否包含另一个集合的元素。

我们可以用符号⊆表示包含关系。

例如，集合A={1,2,3}，集合B={1,2}，那么B⊆A。

集合的运算规律主要有交换律、结合律和分配律。

交换律表示两个集合的交集和并集互换位置结果不变；结合律表示三个集合进行交集或并集的运算次序不变结果不变；分配律表示交集和并集在满足一定条件下可以互相分配。

（段落三：集合的扩展性）集合的元素不一定只是数字或字母，还可以是其他集合。

这就是集合的扩展性。

当一个集合中的元素也是集合时，我们称之为集合的嵌套。

例如，集合A={{1,2},{3,4}}。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细单选题1、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.2、已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x−y∣∈A}中所含元素的个数为（）A．2B．4C．6D．8答案：C分析：根据题意利用列举法写出集合B，即可得出答案.解：因为A={1,2,3}，所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素．故选：C.3、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.4、已知集合M={x|1−a<x<2a}，N=(1,4)，且M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,2]B．(−∞,0]C．(−∞,13]D．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时 M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13]. 故选：C5、已知集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =（ ）A ．{x|1<x ≤2}B ．{x|2<x <3}C ．{x|3≤x <4}D ．{x|1<x <4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P ∩Q =(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.6、已知集合S ={x ∈N|x ≤√5}，T ={x ∈R|x 2=a 2}，且S ∩T ={1}，则S ∪T =（ ）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先 根据题意求出集合T ，然后根据并集的概念即可求出结果.S ={x ∈N|x ≤√5}={0,1,2}，而S ∩T ={1}，所以1∈T ，则a 2=1，所以T ={x ∈R|x 2=a 2}={−1,1}，则S ∪T ={−1,0,1,2}故选：C.7、设集合A ={x |−2<x <4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =（ ）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .8、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.多选题9、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m,n为整数使得m2+n2=3成立，故选项C不正确；对于选项D：m2+n2=4，此时存在m=0,n=2或m=2,n=0使得其成立，故选项D正确，故选：ABD.10、已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤7}，B ={x|m +1≤x ≤2m −1}，则使A ⊆∁U B 成立的实数m 的取值范围可以是（ ）A ．{m|6<m ≤10}B ．{m|−2<m <2}C ．{m|−2<m <−12}D ．{m|5<m ≤8}答案：ABC分析：讨论B =∅和B ≠∅时，计算∁U B ，根据A ⊆∁U B 列不等式，解不等式求得m 的取值范围，再结合选项即可得正确选项.当B =∅时，m +1>2m −1，即m <2，此时∁U B =R ，符合题意，当B ≠∅时，m +1≤2m −1，即m ≥2，由B ={x|m +1≤x ≤2m −1}可得∁U B ={x|x <m +1或x >2m −1}，因为A ⊆∁U B ，所以m +1>7或2m −1<−2，可得m >6或m <−12， 因为m ≥2，所以m >6，所以实数m 的取值范围为m <2或m >6，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC.11、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．m >14B ．0<m <1C ．m >2D ．m >1 答案：CD解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.因为“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的x 2−x +m =0判别式Δ=1−4m <0，即m >14. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，m >14不可推导出0<m <1，B 不正确；C 选项中，m >2可推导m >14，且m >14不可推导m >2，故m >2是m >14的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，m >1可推导m >14，且m >14不可推导m >1，故m >1是m >14的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ）A ．函数F (x )是偶函数B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图．由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确；函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD[0,1]13、使a∈R，|a|<4成立的充分不必要条件可以是（）A．a<4B．|a|<3C．−4<a<4D．0<a<3答案：BD分析：根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.由|a|<4可得a的集合是(−4,4)，A.由(−4,4)⊂≠(−∞,4)，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；B.由(−3,3)⊂≠(−4,4)，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；C.由(−4,4)=(−4,4)，所以−4<a<4是|a|<4成立的一个充要条件；D.由(0,3)(−4,4)，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；故选：BD.填空题14、已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数______答案：8分析：按x、y、z的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.因为集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，当x、y、z都是正数时，m=4，当x、y、z都是负数时，m=-4，当x、y、z中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当x、y、z中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.所以答案是：815、设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是_________．答案：4分析：求得P+Q的元素，由此确定正确答案.依题意，0+1=1,0+6=6,2+1=3,2+6=8，所以P+Q共有4个元素.所以答案是：416、已知全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，若A={1,2,3}，B={−1,0,1}，则∁U(A⊙B)______．答案：{x∈Z||x|≥4}分析：利用集合运算的新定义和补集运算求解.全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，A={1,2,3}，B={−1,0,1}所以A⊙B={−3,−2,−1,0,1,2,3}，所以∁U(A⊙B)={x||x|≥4,x∈Z}.所以答案是：{x||x|≥4,x∈Z}解答题17、已知集合A={x|(x−a)(x+a+1)≤0}，B={x|x≤3或x≥6}.（1）当a=4时，求A∪B；（2）当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.答案：（1）A∪B={x|x≤4或x≥6}；（2）(0,3].解析：（1）当a=4时，解出集合A，计算A∪B；（2）由集合法判断充要条件，转化为A⊆B，进行计算.解：（1）当a=4时，由不等式(x−4)(x+5)≤0，得−5≤x≤4，故A={x|−5≤x≤4}，又B={x|x≤3或x≥6}，所以A∪B={x|x≤4或x≥6}.（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A⊆B，因为a>0，由不等式(x−a)(x+a+1)≤0，得A={x|−a−1≤x≤a}，又B={x|x≤3或x≥6}，要使A⊆B，则a≤3或−a−1≥6，综合可得a的取值范围为(0,3].小提示：名师点评有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；(2)若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．18、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。