湖南四大名校联考数学试题

炎德·英才大联考2020届高三12月名校联考数 学(文科)时量：120分钟 满分：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1.集合6|,N,N 3M y y x y x ⎧⎫==∈∈⎨⎬+⎩⎭的元素个数是( ) A.2B.4C.6D.82.复数()201812z ii =--的共轭复数为( )A.2i -B.2i +C.2i --D.2i -+3.在ABC ∆中，2AB =，1AC =，D 为BC 边上一点，且DC BD =u u u r u u u r ，则AD BC ⋅=u u u r u u u r( )A.3-B.32-C.3D.324.已知cos 33πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，()0,θπ∈，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )B.C.3D.3±A.a b c >>B.a c b >>C.c b a >>D.c a b >>6.某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如表：b 值为1.6，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( )A.155分钟B.156分钟C.157分钟D.158分钟7.《易传·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为( )A.15 B.625 C.725 D.8258.已知函数()2211x f x x +=+的最小值为a ，将函数()()1sin R 3g x x x aπ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()h x 的图象，则下面结论正确的是( )A.函数()h x 是奇函数B.函数()h x 在区间[],ππ-上是增函数C.函数()h x 图象关于()2,0π对称D.函数()h x 图象关于直线3x π=对称9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5，则框图中①处可以填入( )A.6?S ≥B.10?S ≥C.15?S ≥D.21?S ≥10.已知双曲线C 的焦点在y 轴上，离心率为7，点P 是抛物线24y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点()10,F c 的距离与到直线1x =-的距离之和最小值为22，则该双曲线的方程为( )A.22143x y -=B.22143y x -= C.221x y -=D.221y x -=11.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法；若函数()y f x =在1x x =，2x x =，3x x =(123x x x <<)处的函数值分别为()11y f x =，()22y f x =，()33y f x =，则在区间[]12,x x 上()f x 可以用二次函数来近似代替；A.1425B.35C.1625D.172512.已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的x ∈R 都有()2f x x '<，且1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.当[)0,2απ∈时，不等式()13sin cos 2024f αα+->的解集为( ) A.2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.20,,233πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U C.5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.50,,266πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.已知函数()()222,1,log 1,1,x x x f x x x ⎧-≤-⎪=⎨+>-⎪⎩则()()1f f -=__________.14.若特称命题：“0x ∃∈R ，使得2004430mx mx +-≥成立”是假命题，则实数m 的取值范围是__________.15.在ABC ∆中，内角A，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cossin b a C c A =+，且a，b ，c 成等比数列，则sin b Bc=__________. 16.一个三对棱长相等的四面体ABCD ，其三对棱长分别AB CD ==，AD BC ==，AC BD ==__________.三、解答题(共70分) (一)必考题(共60分)17.(12分)已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，且6120S =，3a 与4a 的等差中项为26a .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()3311log log n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .18.(12分)世界军人运动会，简称“军运会”，每四年举办一届，会期7到10天，比赛设有27个大项，参赛规模约100多个国家近10000余人，规模仅交于奥运会.根据各方达成共识，军运会于2019年10月18日到27日在湖北武汉举行，赛期10天，为了军运会顺利召开，特招聘了3万名志愿者，某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[)40,45岁内的人数为15人，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：(1)求m ，n 的值并估算出志愿者的平均年龄(同一组的数据用该组区间的中点值代表)；(2)这次军运会志愿者主要通过直接到武汉军运会执委会志愿者部现场报名和登录第七届世界军运会官网报名，即现场和网络两种方式报名、调查这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男性 女生 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计50参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.82819.(12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB =，60BAD ∠=o ，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形，O 为AD 的中点.(1)求证：平面PAD ⊥平面POB ；(2)若E 是PC 的中点，求证：//PA 平面BDE ，并求四面体P BDE -的体积.20.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为2，以椭圆C 的长轴为直径的圆与直线60x y +-=相切.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >.若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程.21.(12分)已知函数()sin xf x e x =+，[),x π∈-+∞.(1)若()sin xf x e x =+，当[)0,x ∈+∞时，解关于x 的不等式()()221f x f x ->；(2)证明：()f x 有且仅有2个零点.(二)选考题(共10分，任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分) 22.(10分)【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程1x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，直线l的方程为：20x -=，以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程；； (2)已知射线:3OA πθ=与曲线C 和直线l 分别交于M 和N 两点，求线段MN 的长.23.(10分)【选修4-5：不等式选讲】已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为(],1-∞-，其中0m >.(1)求m 的值；(2)若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2221b c a a b c++≥.。

炎德·英才大联考湖南师大附中2020届高三月考试卷(六)数学(理科)参考答案一、选择题二、填空题13.3014.24015.21e +16.1656三、解答题∴由正弦定理可得：sin sin cos sin sin A B C C B =+ ∴()sin sin cos sin sin B C B C C B +=+ 可得：cos sin sin sin B C C B = ∵sin 0C ≠，∴cos sin B B = ∵0B π<<，∴4πB = (2)∵4πB =3sin sin cos 4πA C C C C ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭又∵304πC <<，且cos y C =在30,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减sin A C -的取值范围是⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭18.【解析】(1)设AC 与BD 相交点O ，连接FO∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点 ∵FA FC =，∴AC FO ⊥ 又FO BD O =I ， ∴AC ⊥平面BDEF(2)连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒ ∴DBF △为等边三角形 ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥ 又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD ∵OA ，OB ，OF 两两垂直∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒ ∴2BD =，23AC = ∵DBF △为等边三角形 ∴3OF =∴()3,0,0A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3F∴()3,1,0AD =--u u u r ，()3,0,3AF =-u u u r ，()3,1,0AB =-u u u r设平面ABF 的法向量为(),,x y z =n则33030AF x z AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r u u u r n n ，取1x =，得()1,3,1=n 设直线AD 与平面ABF 所成角为θ，则直线AD 与两面ABF 所成角的正弦值为：15sin cos ,5AD AD AD θ⋅===⋅u u u ru u u r u u u rn n n19.【解析】(1)抛物线216y x =的焦点()4,0F ，准线方程为4x =-，圆()22416x y -+=的圆心()4,0，半径4r =，当直线l 过焦点F 且垂直于x 轴时，216AB p ==,28DC r ==，由抛物线与圆的对称性知4AC BD == 则16AC BD ⋅=当直线l 过焦点F 不垂直于x 轴时 设直线l 的方程为()4y k x =-联立抛物线方程可得()2222816160k x k x k -++= 设()11,A x y ，()22,B x y ，可得122168x x k+=+，1216x x =可得()()()()1212444416AC BD AF CF BF DF x xx x ⋅=--=+-+-==则AC BD ⋅为定值16(2)当直线l 过焦点F 且垂直于x 轴时，168128AB AF ⋅=⋅= 当直线l 过焦点F 不垂直于x 轴时可得()()12184AB AF x x x ⋅=+++()()31111141684x x x x x +⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭设()()34t f t t+=，0t >，可得()()()22224t t f t t-+'= 可得2t >时，()f t 递增；02t <<时，()f t 递减 可得()f t 在2t =处取得极小值，且为最小值108 综上可得AB AF ⋅的最小值为10820.【解析】(1)设A 、B 、C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 的分布列为：X 2542510010-⨯P51110- 5110Y 254251010-⨯P52110- 5210Z 404405010-⨯P41110- 4110∴()()455112512510010151010E X ⎛⎫=⨯-+-⨯⨯= ⎪⎝⎭ ()()45522251251001051010E Y ⎛⎫=⨯-+-⨯⨯= ⎪⎝⎭()()44411401405010101010E Z ⎛⎫=⨯-+-⨯⨯=- ⎪⎝⎭保险公司的利润的期望值为12000156000520001010000090000⨯+⨯-⨯-= ∴保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元(2)方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：4444554121120001001060001001020005012104610101010⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=⨯ 方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：()412000256000252000400.737.110⨯+⨯+⨯⨯=⨯44461037.110⨯>⨯建议企业选择方案221.【解析】(1)函数()f x 可化为()ln ,ln ,0x x a x af x a x x x a --≥⎧=⎨--<<⎩当0x a <<时，()110f x x '=--<，()f x 在()0,a 上总是递减的 当x a ≥时，()111x f x x x-'=-=若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[),a +∞上递增若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '> 故()f x 在[),1a 上递减，在()1,+∞上递增，而()f x 在x a =处连续 所以当1a ≥时，()f x 在()0,a 上递减，在[),a +∞上递增 当01a <<时，()f x 在()0,1上递减，在[)1,+∞上递增 (2)由(1)可知当1a =，1x >时，1ln 0x x --> 即ln 1x x <-，所以ln 11x x x<- 所以222222222ln 2ln 3ln 1111112323n n n ++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+-222111123n n ⎛⎫=--++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()111123341n n n ⎛⎫<--++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⨯⨯+⎝⎭ 11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭()()()()()()212112*********n n n n n n n n n -+---+=--==+++22.【解析】(1)由sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去α得C 的普通方程是：2216x y +=由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-= 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式，化简得2y x =+∴直线l 的倾斜角为4π(2)在曲线C 上任取一点),sin Mαα直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为()0,2则MQ ==当且仅当2sin 5α=-时，MQ23.【解析】(1)()9f x ≤可化为2419x x -++≤故0339x x >⎧⎨-≤⎩或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩解得24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<- 综上，不等式的解集为[]2,4-(2)由题意：()225f x x a a x x =-+⇔=-+，[]0,2x ∈故方程()2f x x a =-+在[]0,2有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+的图象在区间[]0,2上有交点，∵当[]0,2x ∈时，2195,74y x x ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦∴实数a 的取值范围是19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

36
直于水平面.单位：十米，下同. C 的横坐标 xC 6 2 ）上， A 的坐标为 36, 2 .设 D 0, 2 ，线段 AC ， DC
分别交 于点 M ， N ， B 在线段 MN 上.则两固定机位 A ， B 的距离为（ ）
A. 360m
B. 340m
C. 320m
D. 270m
8.设 3 6a 3 2a 的最小值为 m ，最大值为 M ，若正数 b ， c 满足 b c 1 ，则（ ）
f
x
Msin Mx M
M
0, 0
2
同时满足以下条件：①
x1
，
x2
是函数
f
x 的零
点，且
x1 x2
2 3
；② x R ，有
f
x
9
f
x ，则（
）
A.
f
x
3sin
3x
3
3
B.将
f
x 的图象向左平移
6
个单位长度得到的图象解析式为
y
3cos
3x
3
3
C.
f
x 在
16
在四棱锥 P ABCD 中， AD ∥ BC ， AD 3BC 6 ， AB 3 ， BAD ，顶点 P 在底面 ABCD 上的 3
射影 O 在线段 BD 上，且 OD 2OB .
（1）证明： CO PD ； （2）若 PO 3 ，求平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值.
A.96 种
B.24 种
C.48 种
D.12 种
5.从午夜零时算起，在钟表盘面上分针与时针第 i 次 i N* 重合时，分针走了 aimin ，则 24 小时内（包括第

长沙市2020届高三年级统一模拟考试
数学(理科)参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
C
D
C
A
B
D
C
C
B
B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】(Ⅰ)由正弦定理得
因为
所以
即
因为
所以
因为
所以
(Ⅱ)由 ，可得
因为
所以
解得 或当 时，源自由余弦定理得 ，所以周长为
当 时，
综上，实数 的取值范围为
(2)当 时
由(1)可知 的极大值点为 ，极小值点为
此时 ，
依题意得 对任意 恒成立
由于此时
所以
所以
即
设 ， ，则
令 (*)，判别式
①当 ，
所以 ， 在 单调递增
所以
即 ，符合题意
②当 时， ，设(*)的两根为 ， ，且
则 ， ，因此
则当 时， ， 在 单调递减
所以当 时，
即
所以抽取的 辆汽车中有 辆是蓝颜色汽车的概率
(Ⅱ) 的可能取值为：
， ， ，……， ，
所以 的分布列为：
0
1
2
……
……
的数学期望为：
(1)
(2)
(1)-(2)得：
所以
21.【解析】(1)由 得
即
由题意，若 存在极大值和极小值，则 必有两个不相等的实数根
由 得
所以 必有一个非零实数根
∴ ，
∴ 且