山东省潍坊市
2018届高三第一次模拟考试
数学（文）试题
本试卷共分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．共 150 分．考试时间 120 分钟．
第 I 卷（选择题共 50 分）
注意事项：
1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．集合
2．设复数z1·z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若
的虚部为
3．已知抛物线上横坐标为1的点到焦点F的距离为2，则抛物线方程为
- 1 -。
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
学@科网 1．()i 23i +=A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =IA ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7 3．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y = B．y = C．y = D．y = 7．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A．BCD．8．为计算11111123499100S =-+-++-L，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A ．1ii =+ B ．2ii =+ C ．3i i =+D ．4i i =+9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A B C ．D10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A．1- B．2CD112．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|e x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜1}B．A∪B＝{x|x＜e}C．A∪∁R B＝R D．∁R A∩B＝{x|0＜x＜1}2．（5分）设有下面四个命题P1：若复数z满足，则z∈R；P2：若复数z1、z2满足|z1|＝|z2|，则z1＝z2或z1＝﹣z2；P 3：若复数，则z1•z2∈R；P4：若复数z1，z2满足z1+z2∈R，则z1∈R，z2∈R其中的真命题为（）A．P1，P3B．P2，P4C．P2，P3D．P1，P3．（5分）已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数解析式可能为（）A．y＝x B．y＝x2C．y＝x﹣D．y＝x﹣4．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若，则数列的前40项的和为（）A．B．C．D．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示程序框图，则输出的结果为（）A．﹣4B．4C．﹣6D．67．（5分）函数y＝cosωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sinωx图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AB、AC上，DE∥BC．AD＝BD，将△ADE沿DE折起，连接AB，AC，当四棱锥A﹣BCED体积最大时，二面角A﹣BC﹣D的大小为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数，则（）A．f（x）有1个零点B．f（x）在（0，1）上为减函数C．y＝f（x）的图象关于（1，0）点对称D．f（x）有2个极值点10．（5分）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（）A．120种B．156种C．188种D．240种11．（5分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况想联系，最终保费＝基准保费×（1+与道路交通事故相联系的浮动比率），具体情况如表：为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如表：若以这100辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为（）A．a元B．0.958a元C．0.957a元D．0.956a元12．（5分）设P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为该双曲线的左右焦点，c，e分别表示该双曲线的半焦距和离心率．若，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆的半径为（）A．a B．b C．c D．e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数f（x）＝+lg（﹣3x2+5x+2）的定义域为．14．（5分）在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点D为边BC的中点，则＝．15．（5分）已知圆C的方程为x2+y2＝4，A（﹣2，0），B（2，0），设P为圆C上任意一点（点P不在坐标轴上），过P作圆的切线分别交直线x＝2和x＝﹣2于E、F两点，设直线AF，BE的斜率分别为k1，k2，则k1•k2＝．16．（5分）已知函数f（x），设数列{a n}中不超过f（m）的项数为b m（m∈N*），给出下列三个结论：①a n＝n2且f（m）＝m2，则b1＝1，b2＝2，b3＝3；②a n＝2n且f（m）＝m，{b m}的前m项和为S m，则S2018＝10092③a n＝2n且f（m）＝Am3（A∈N*），若数列{b m}中，b1，b2，b5成公差为d（d≠0）的等差数列，则b5＝b1+3．则正确结论的序号．（请填上所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin，AB＝3，AD＝3．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积．18．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝A1D，AB＝BC，∠ABC＝120°．（1）证明：AD⊥BA1；（2）若平面ADD1A1⊥平面ABCD，且A1D＝AB，求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值．19．为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念．手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”．杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 98608753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980男性好友走路的步数情况可分为五个类别：A（0～2000）步）（说明：“0～2000”表示大于等于0，小于等于2000．下同），B（2000～5000步），C（5001～000步），D（8001～10000步），E（10001步及以E），且B，D，E三种类别人数比例为1：3：4，将统计结果绘制如图所示的柱形图．若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型“，否则被系统认定为“进步型”．（1）若以杨老师抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中，每天走路步数在5001～10000步的人数；（2）请根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关？（3）若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性好友中按比例选取10人，从中任意选取3人，记选到“卫健型”的人数为x；女性好友中按比例选取5人，从中任意选取2人，记选到“卫健型”的人数为y，求事件“|x﹣y|＞1”的概率．附：K2＝n（ad﹣bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），20．已知抛物线C1：y2＝2px（x＞0）与椭圆C2：x2+2y2＝m2（m＞0）的一个交点为P（1，t），点F是C1的焦点，且|PF|＝．（1）求C1与C2的方程；（2）设O为坐标原点，在第一象限内，椭圆C2上是否存在点A，使过O作OA的垂线交抛物线C1于B，直线AB交y轴于E，且∠OAE＝∠EOB？若存在，求出点A的坐标和△AOB的面积；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＝0，令g（x）＝f（tx+1）+，若x1，x2是g（x）的两个极值点，且g（x1）+g（x2）＞0，求正实数t的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数），M为曲线C1上的动点，动点P满足＝a（a＞0且a≠1），P点的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程，并说明C2是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A点的极坐标为（2，），射线θ＝α与C2的异于极点的交点为B，已知△AOB面积的最大值为4，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣m|．（1）若f（x）≥2，求m的取值范围；（2）已知m＞1，若∃x∈（﹣1，1）使f（x）≥x2+mx+3成立，求m的取值范围．2018年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|e x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜1}B．A∪B＝{x|x＜e}C．A∪∁R B＝R D．∁R A∩B＝{x|0＜x＜1}【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|e x＜1}＝{x|x＜0}，∁R B＝{x|x≥0}，∁R A＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，故A错误；A∪B＝{x|x＜1}，故B错误；A∪∁R B＝R，故C正确；∁R A∩B＝∅，故D错误．故选：C．2．（5分）设有下面四个命题P1：若复数z满足，则z∈R；P2：若复数z1、z2满足|z1|＝|z2|，则z1＝z2或z1＝﹣z2；P 3：若复数，则z1•z2∈R；P4：若复数z1，z2满足z1+z2∈R，则z1∈R，z2∈R其中的真命题为（）A．P1，P3B．P2，P4C．P2，P3D．P1，P【解答】解：对于P1，设z＝a+bi（a，b∈R），由，得a+bi＝a﹣bi，则b＝0，故z∈R，故P1正确；对于P2，z1＝1+i，z2＝1﹣i，满足|z1|＝|z2|，不满足z1＝z2或z1＝﹣z2，故P2错误；对于P3，若复数，则z1•z2＝∈R，故P3正确；对于P4，取复数z1＝1+i，z2＝1﹣i，满足z1+z2∈R，不满足z1∈R，z2∈R，故P4错误．∴真命题为P1，P3．故选：A．3．（5分）已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数解析式可能为（）A．y＝x B．y＝x2C．y＝x﹣D．y＝x﹣【解答】解：由函数的图象该函数是奇函数，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于A，f（x）＝x+，f（﹣x）＝﹣x+＝﹣x﹣＝﹣f（x）满足奇函数的条件，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），也满足定义域的条件；对于B，f（x）＝x2+，f（﹣x）＝（﹣x）2+＝＝f（x），是偶函数，排除B；对于C，f（x）＝x﹣，f（﹣x）＝﹣x﹣＝﹣x+＝﹣f（x）满足奇函数的条件，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），也满足定义域的条件；对于D，f（x）＝x﹣，f（﹣x）＝﹣x﹣＝﹣x﹣，不是非奇非偶函数，故排除D；当x→0+时，对于A，y→+∞，对于C，y→﹣∞，排除C．故选：A．4．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若，则数列的前40项的和为（）A．B．C．D．【解答】解：若，可得n＝1时，a1＝S1＝﹣2；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣n2﹣n+（n﹣1）2+（n﹣1）＝﹣2n，则数列{a n}的通项公式为a n＝﹣2n，＝＝﹣（﹣），即有数列的前40项的和为﹣（1﹣+﹣+…+﹣）＝﹣．故选：D．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体的复原图如图所示：设四棱锥的外接圆半径r，则：（2r）2＝12+12+12＝3，解得：r＝，所以：V＝＝．故选：B．6．（5分）执行如图所示程序框图，则输出的结果为（）A．﹣4B．4C．﹣6D．6【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，n＝1执行循环体，S＝﹣2，n＝2满足条件n≤4，执行循环体，S＝2，n＝3满足条件n≤4，执行循环体，S＝﹣4，n＝4满足条件n≤4，执行循环体，S＝4，n＝5此时，不满足条件n≤4，退出循环，输出S的值为4．故选：B．7．（5分）函数y＝cosωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sinωx图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：y＝cosωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，得到：y＝cos（ωx﹣），由于图象与函数y＝sinωx图象重合，故：ωx（k∈Z），解得：ω＝6k+（k∈Z），当k＝0时，，即最小值．故选：B．8．（5分）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AB、AC上，DE∥BC．AD＝BD，将△ADE沿DE折起，连接AB，AC，当四棱锥A﹣BCED体积最大时，二面角A﹣BC﹣D的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，过A作BC的垂线AH，垂足为H，交DE于G，∴当△ADE⊥平面BCED时，四棱锥A﹣BCED体积最大．由DE⊥AG，DE⊥GH，AG∩GH＝G，可得DE⊥平面AGH，又BC∥DE，则BC⊥平面AGH，∴∠AHG为二面角A﹣BC﹣D的平面角，在Rt△AGH中，由，∴tan，则二面角A﹣BC﹣D的大小为．故选：C．9．（5分）已知函数，则（）A．f（x）有1个零点B．f（x）在（0，1）上为减函数C．y＝f（x）的图象关于（1，0）点对称D．f（x）有2个极值点【解答】解：函数，由f（x）＝0，e x＞0，方程无解，故A错；f（x）的导数为f′（x）＝，当0＜x＜1时，x﹣1＜0，（x﹣1）e x﹣1＜0，f′（x）＜0，即f（x）在（0，1）递减，故B对；由f（x）图象上一点（1，1+e）关于（1，0）对称的点（1，﹣1﹣e），显然不在f（x）的图象上，故C错；由g（x）＝（x﹣1）e x﹣1，可得x＜0时，g（x）＜0，即f（x）递减；当x＞0时，g（x）的导数为xe x＞0，g（x）在x＞0递增，且g（1）＜0，g（2）＞0，可得g（x）在（1，2）有且只有一解，则f（x）只有一个极值点，故D错．故选：B．10．（5分）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（）A．120种B．156种C．188种D．240种【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①，若“数”排在第一节，“射”和“御”两门课程相邻的情况有4种情况，考虑两者的顺序，有A22＝2种情况，将剩下的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有A33＝6种情况，则此时有4×2×6＝48种排课顺序；②，若“数”排在第二节，“射”和“御”两门课程相邻的情况有3种情况，考虑两者的顺序，有A22＝2种情况，将剩下的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有A33＝6种情况，则此时有3×2×6＝36种排课顺序；③，若“数”排在第三节，“射”和“御”两门课程相邻的情况有3种情况，考虑两者的顺序，有A22＝2种情况，将剩下的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有A33＝6种情况，则此时有3×2×6＝36种排课顺序；则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有48+36+36＝120种，故选：A．11．（5分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况想联系，最终保费＝基准保费×（1+与道路交通事故相联系的浮动比率），具体情况如表：为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如表：若以这100辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为（）A．a元B．0.958a元C．0.957a元D．0.956a元【解答】解：设一辆该品牌车在第四年续保时的费用为X，由题意可知：X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，由统计数据可知：P（X＝0.9a）＝0.2，P（X＝0.8a）＝0.1，P（X＝0.7a）＝0.1，P（X＝a）＝0.38，P（X＝1.1a）＝0.2，P（X＝1.3a）＝0.02，∴X的分布列为：∴E（X）＝0.9a×0.2+0.8a×0.1+0.7a×0.1+a×0.38+1.1a×0.2+1.3a×0.02＝0.956a，故选：D．12．（5分）设P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为该双曲线的左右焦点，c，e分别表示该双曲线的半焦距和离心率．若，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆的半径为（）A．a B．b C．c D．e【解答】解：根据题意，双曲线的方程，设△APF1的内切圆半径为r，∵，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|+|P A|﹣|AF1|＝2r，∴|PF2|+2a+|P A|﹣|AF1|＝2r，∴|AF2|﹣|AF1|＝2r﹣2a，∵由图形的对称性知：|AF2|＝|AF1|，即2r﹣2a＝0，解可得r＝a，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数f（x）＝+lg（﹣3x2+5x+2）的定义域为．【解答】解：要使f（x）有意义，则：；解得；∴f（x）的定义域为．故答案为：．14．（5分）在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点D为边BC的中点，则＝﹣9．【解答】解：∵等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点D为边BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝3，∴＝（﹣）•＝•﹣＝﹣9，故答案为：915．（5分）已知圆C的方程为x2+y2＝4，A（﹣2，0），B（2，0），设P为圆C上任意一点（点P不在坐标轴上），过P作圆的切线分别交直线x＝2和x＝﹣2于E、F两点，设直线AF，BE的斜率分别为k1，k2，则k1•k2＝．【解答】解：如图所示，不妨取点P为（x0，y0），则过点P的圆C的切线为x0x+y0y＝4；交直线x＝2和x＝﹣2于E（2，），F（﹣2，），则直线AF的斜率为k1＝＝，直线BE的斜率为k2＝＝﹣，∴k1•k2＝﹣＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．16．（5分）已知函数f（x），设数列{a n}中不超过f（m）的项数为b m（m∈N*），给出下列三个结论：①a n＝n2且f（m）＝m2，则b1＝1，b2＝2，b3＝3；②a n＝2n且f（m）＝m，{b m}的前m项和为S m，则S2018＝10092③a n＝2n且f（m）＝Am3（A∈N*），若数列{b m}中，b1，b2，b5成公差为d（d≠0）的等差数列，则b5＝b1+3．则正确结论的序号①②．（请填上所有正确结论的序号）【解答】解：①令n2≤m2，得n≤m，∴b m＝m，∴b1＝1，b2＝2，b3＝3．因此①正确．②令2n≤m，解得n≤，∴b m＝．当m为偶数时，S m＝（0+1+2+3+…+）+（1+2+3+…+）＝+＝．当m为奇数时，S m＝（0+1+2+…+）+（1+2+3+…+）＝＝．∴S m＝．∴S2018＝10092．因此②正确．③令2n≤Am3，解得n≤log2（Am3）．∴b m＝[log2Am3]＝[log2A+3log2m]，∴b1＝[log2A]，b2＝3+[log2A]，∴d＝b2﹣b1＝3，∴b5＝6+[log2A]．∴b5＝b1+6，因此③不正确．综上正确答案为：①②．故答案为：①②．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin，AB＝3，AD＝3．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵AD⊥AC，∴，∵，∴，∴，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝＝3，∴．（2）在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB＝＝，∴，∴在Rt△DAC中，，∴，∴，∴＝．18．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝A1D，AB＝BC，∠ABC＝120°．（1）证明：AD⊥BA1；（2）若平面ADD1A1⊥平面ABCD，且A1D＝AB，求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取AD中点O，连接OB，OA1，BD，∵AA1＝A1D，∴AD⊥OA1，又∠ABC＝120°，AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥OB，∴AD⊥平面A1OB，∵A1B⊂平面A1OB，∴AD⊥A1B．解：（2）∵平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，又A1O⊥AD，∴A1O⊥平面ABCD，∴OA、OA1、OB两两垂直，以O为坐标原点，分别以OA、OB、OA1所在射线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz，设AB＝AD＝A 1D＝2，则A（1，0，0），，D（﹣1，0，0），．则，，设平面A1B1CD的法向量则令，则y＝1，z＝﹣1，可取设直线BA1与平面A1B1CD所成角为θ，则＝＝．∴直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值为．19．为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念．手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”．杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 98608753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980男性好友走路的步数情况可分为五个类别：A（0～2000）步）（说明：“0～2000”表示大于等于0，小于等于2000．下同），B（2000～5000步），C（5001～000步），D（8001～10000步），E（10001步及以E），且B，D，E三种类别人数比例为1：3：4，将统计结果绘制如图所示的柱形图．若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型“，否则被系统认定为“进步型”．（1）若以杨老师抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中，每天走路步数在5001～10000步的人数；（2）请根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关？（3）若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性好友中按比例选取10人，从中任意选取3人，记选到“卫健型”的人数为x；女性好友中按比例选取5人，从中任意选取2人，记选到“卫健型”的人数为y，求事件“|x﹣y|＞1”的概率．附：K2＝n（ad﹣bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），【解答】解：（1）在样本数据中，男性朋友B类别设为x人，则由题意可知1+x+3+3x+4x＝20，可知x＝2，故B类型有2人，D类别有6人，E类别有8人．走路步数在5000～10000步的包括C、D两类别共计9人；女性朋友走路步数在5000～10000步共有16人．用样本数据估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，则：600×＝375人．（2）根据题意在抽取的40个样本数据的2×2列联表：得：K2＝＝＜3.841，故没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．（3）在男性好友中“卫键型”与“进步型”的比例为7：3，则选取10人，恰好选取“卫键型”7人，“进步型”3人．在女性好友中“卫键型”与“进步型”的比例为2：3，选取5人，恰好选取“卫键型”2人，“进步型”3人．“|x﹣y|＞1”包含“x＝3，y＝1”，“x＝3，y＝0“，“x＝2，y＝0“，“x＝0，y＝2“P（x＝3，y＝1）＝＝，P（x＝3，y＝0）＝＝，P（x＝2，y＝0）＝×＝，P（x＝0，y＝2）＝×＝，故P（|x﹣y|＞1）＝＝．20．已知抛物线C1：y2＝2px（x＞0）与椭圆C2：x2+2y2＝m2（m＞0）的一个交点为P（1，t），点F是C1的焦点，且|PF|＝．（1）求C1与C2的方程；（2）设O为坐标原点，在第一象限内，椭圆C2上是否存在点A，使过O作OA的垂线交抛物线C1于B，直线AB交y轴于E，且∠OAE＝∠EOB？若存在，求出点A的坐标和△AOB的面积；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由抛物线定义：，所以p＝1，C1的方程为y2＝2x，将P（1，t）代入C1：y2＝2x得t2＝2，即，将代入C2：x2+2y2＝m2，得m2＝5，故C2方程为x2+2y2＝5．即C1：y2＝2x，C2：x2+2y2＝5．（2）由题意：直线OA的斜率存在且不为0，设OA的方程为y＝kx（k≠0），由于OA⊥OB，则OB的方程为，由得x2+2k2x2＝5，∴，由，得，得x＝0（舍）或x＝2k2．在第一象限内，若满足∠OAE＝∠EOB的点A存在，则k＞OA，此时，B（2k2，﹣2k），设直线AB与x轴交于点D，由于∠OAE＝∠EOB，∠AOB＝∠DOE＝90°，所以∠OAD＝∠AOD，∠DOB＝∠OBD，故AD＝OD＝BD，即D为线段AB中点，因此y A＝﹣y B，即，解得，故存在适合题意的，此时，此时，AB方程为，即，点O到AB的距离，，所以S△AOB＝××＝．21．已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＝0，令g（x）＝f（tx+1）+，若x1，x2是g（x）的两个极值点，且g（x1）+g（x2）＞0，求正实数t的取值范围．【解答】解：（1）x∈（0，+∞），，当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）（0，+∞）上为减函数，当a＞0时，时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，综上所述，当a≤0时，f（x）减区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）减区间为，f（x）增区间为．（2）＝，＝，当t≥1时，g'（x）＜0恒成立，故g（x）在x∈（0，+∞）上为减函数，不成立．∴0＜t＜1，令g'（x）＝0，得，，∵g（x）有两个极值点，∴g'（x）＝0有2个根，故必有且，得或，且x1为极小值点，x2为极大值点，g（x1）+g（x2）＝＝﹣ln[t2x1x2+t（x1+x2+1）]＝＝，令u＝2t﹣1，0＜t＜1且，当时，﹣1＜u＜0，时，0＜u＜1，令（0＜t＜1且），当﹣1＜u＜0时，，，∴h（u）在u∈（﹣1，0）上为增函数，∴h（u）＞h（﹣1）＝4＞0，故当时，g（x1）+g（x2）＞0成立，当0＜u＜1时，，，h（u）在u∈（0，1）上单调递增，∴h（u）＜h（1）＝0，故当时，g（x1）+g（x2）＜0，综上所述，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数），M为曲线C1上的动点，动点P满足＝a（a＞0且a≠1），P点的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程，并说明C2是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A点的极坐标为（2，），射线θ＝α与C2的异于极点的交点为B，已知△AOB面积的最大值为4，求a的值．【解答】（1）动点P满足＝a（a＞0且a≠1），P点的轨迹为曲线C2．设P（x，y）M（x0，y0），所以：，则：，由于点M在曲线C1的图象上，则：，即：（θ为参数）．消去参数θ得：（x﹣2a）2+＝4a2（a≠1）．故曲线c2是以（2a，0）为圆心，2|a|为半径的圆．（2）：A点的直角坐标为（1，）．∴直线AO的普通方程为y＝，即：，设B点坐标为（2a+2a cosθ，2a sinθ），则B点到直线的距离：，＝，当时，．所以：，解得：a＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣m|．（1）若f（x）≥2，求m的取值范围；（2）已知m＞1，若∃x∈（﹣1，1）使f（x）≥x2+mx+3成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|，∴只需要|m+1|≥2，∴m+1≥2或m+1≤﹣2，∴m的取值范围为是m≥1或m≤﹣3．（2）∵m＞1，∴当x∈（﹣1，1）时，f（x）＝m+1，∴不等式f（x）≥x2+mx+3，即m≥x2+mx+2，∴m（1﹣x）≥x2+2，m≥，令g（x）＝＝（1﹣x）+﹣2，∵0＜1﹣x＜2，∴（1﹣x）+≥2（当x＝1﹣时取“＝”），∴g（x）min＝2﹣2，∴m≥2﹣2．。
