江苏省2018届高三数学二模试卷 含解析

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1ni ＝1∑nx i ；锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝lg(2－x )的定义域为▲________．2．已知复数z 满足z1＋2i ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ．3．执行如图所示的算法流程图，则输出a 的值为 ▲ ． 4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为▲________．5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ ．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为▲________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b sin A sin B ＋a cos 2B ＝2c ，则a c的值为▲________． 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y 2b2＝1 (b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：222x y +=的四个交点依次为A ，B ，C ，D ．若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ．9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为2的正四棱锥S -EFGH （如图2），则正四棱锥S －EFGH 的体积为▲________．(第4题)10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ．若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为▲________．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l的距离的最大值为▲________．12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 的长为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为▲________． A DBCE FGH(图1)SEFGH(图2)(第9题)(第12题)14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ， x ≥0，t ∈R ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π，x ＝7π是其相邻的两条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若f (α2)＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值．16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ，BE 的中点．（1）求证：MN ∥平面BEC ； （2）求证：AH ⊥CE ．BED AHCMN（第15题）17．(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式m ＝k ×S d 2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ (0＜λ＜1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2，称满足m 1＜m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域”． （1）已知P 与A 相距15km ，且∠PAB ＝60o ．当λ＝12时，居住在P 点处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求λ的取值范围．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2 2，上顶点A 到右焦点的距离为 2 ．过点D (0，m )(m ≠0)作不垂直于x 轴，y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC ．（1）求椭圆E 的方程； （2）求实数m 的取值范围；AB(第17题)（3）延长AC 交椭圆E 于点B ，记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝83，求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x (e x －2)，g (x )＝x －ln x ＋k ，k ∈R ，e 为自然对数的底．记函数F (x )＝f (x )＋g (x )．（1）求函数y ＝f (x )＋2x 的极小值；（2）若F (x )＞0的解集为(0，+∞)，求k 的取值范围；（3）记F (x )的极值点为m ．求证：函数G (x )＝|F (x )|＋ln x 在区间(0，m )上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)20．(本小题满分16分)对于数列{a n }，定义b n (k )＝a n ＋a n ＋k ，其中n ，k ∈N*． （1）若b n (2)－b n (1)＝1，n ∈N*，求b n (4)－b n (1)的值； （2）若a 1＝2，且对任意的n ，k ∈N*，都有b n ＋1(k )＝2b n (k )．（i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）设k 为给定的正整数，记集合A ＝{b n (k )|n ∈N*}，B ＝{5b n (k ＋2)|n ∈N*}，(第18题)求证：A∩B＝ ．南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题2018.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC且交AC的延长线于点E，求证：DE是圆O的切线．B ．选修4—2：矩阵与变换已知α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11为矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 a －1 2属于实数λ的一个特征向量，求λ和A 2．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，点P 是圆C 上的任意一点．若点P 到直线l 距离的最大值为3，求a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲，乙两人站在P 点处分别向A ，B ，C 三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次．每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A ，B ，C 的概率分别都为12，13，14．（1）设X 表示甲击中目标的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）求甲乙两人共击中目标数为2个的概率．23．（本小题满分10分）已知n ∈N *，且n ≥4，数列T ：a 1，a 2，…，a n 中的每一项均在集合M ＝{1，2，…，n }中， 且任意两项不相等．（1）若n ＝7，且a 2＜a 3＜a 4＜a 5＜a 6，求数列T 的个数；（2）若数列T 中存在唯一的a k （k ∈N *，且k ＜n ），满足a k ＞a k ＋1，求所有符合条件的数列T的个数．南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．386．－9 7． 28．7 9．4310．(－1，1) 11．2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1．因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．…………………………………7分（2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分) （1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形， 所以MN ∥BF ． ……………………………………4分 又MN 平面BEC ，BF 平面BEC ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 解法二：取AE 中点G ，连接MG ，GN .因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD ． 又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC ． 又因为MG 平面BEC ，BC平面BEC ，所以MG ∥平面BEC ． ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE ． 又因为GN 平面BEC ，BE 平面BEC ，所以GN ∥平面BEC ． 又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN 平面GMN ，所以平面GMN ∥平面BEC ． ……………………………………4分 又因为MN 平面GMN ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 （2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ．因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC 平面ABCD ，且BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面ABE ． ……………………………………8分因为AH 平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分 因为BC ∩BE ＝B ，BC 平面BEC ，BE平面BEC ，所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分 又因为CE 平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝kS 1d 12，m 2＝kS 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△PAB 中，AB ＝10，PA ＝15，∠PAB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋PA 2－2AB ·PA cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分 又d 12＝PA 2＝225， 此时，m 1－m 2＝kS 1 d 12－kS 2 d 22＝kS 1 d 12－kλS 1 d 22＝kS 1(1d 12－λd 22)， (4)分将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)．因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分 （2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，(第17题)由m1＜m2得，k S1d12＜kS2d22，将S2＝λS1代入，得d22＜λd12．……8分代入坐标，得(x－10)2＋y2＜λ(x2＋y2)，化简得(1－λ) x2＋(1－λ) y2－20x＋100＜0．……………………10分因为0＜λ＜1，配方得(x－101－λ)2＋y2＜(10λ1－λ)2，所以商场B相对于A的“更强吸引区域”是：圆心为C(101－λ，0)，半径为r1＝10λ1－λ的圆的内部．与商场B相距2 km以内的区域(含边界)是：圆心为B(10，0)，半径为r2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B内含于圆C，即BC＜| r1－r2|．…………………………12分因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)．…………………………14分解法二：要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，则当d2≤2时，不等式m1＜m2恒成立．由m1＜m2，得k S1d12＜kS2d22＝kλS1d22，化简得d12＞d22λ．…………………………8分设∠PBA＝θ，则d12＝PA2＝AB2＋PB2－2AB·PB cosθ＝100＋d22－20d2cosθ，…………………………10分所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， ………………………12分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1，所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2． 因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分 即x 02＝2y 0(m －y 0)． ① 又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y 0x 0＝－1， …………………………8分即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x 0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y 0y 20＋2x 20， …………………………12分所以S 1S 2＝12AO ×|x 3|12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|．由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1， 所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m |＝43－2m． (14)分因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12，所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)， 所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km1＋2k2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋2k 2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k2)， 所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ， 所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2∈(12，1)，此时△＝8(2k 2＋1－m )＞0，所以实数m 的取值范围为(12，1)． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆E 方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0（舍），即x 3＝－8k1＋8k2． (12)分又因为x 0＝－2km1＋2k 2＝－2k1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝12AO ×|x 3|12AO ×|x 0|＝|－8k1＋8k 2－2k 1＋4k 2|＝4＋16k 21＋8k 2． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12，此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.列表如下：所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值－1e． ………………………2分（2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)，设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x2＞0恒成立，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增． 又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0， 所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分 ＝1－x 0－ln 1ex 0＋k ＝1＋k ．因为F (x )＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k ＞0，即k ＞－1． ……………………8分 （3）证明：由（2）知m ＝x 0，①当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F (x )≥0恒成立，于是G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1．因为x ∈(0，m )，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，m )上单调递增． ……………………10分 ②当1＋k ＜0，即k ＜－1时，0＜e k ＜12＜x 0＝m ， F (e k )＝e k ( e e k－1)＞0，F (m )＝F (x 0)＝1＋k ＜0，又F (x )在(0，m )上单调递减且图像不间断，所以F (x )在(0，m )上存在唯一的零点x 1． ……………………12分 当0＜x ≤x 1时，F (x )≥0，G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 因为0＜x ≤x 1，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，x 1]上单调递增； ① ……………………14分 当x 1≤x ＜m 时，F (x )≤0，G (x )＝－F (x )＋ln x ，G ′(x )＝－F ′(x )＋1x，由（2）知，当x 1≤x ＜m 时，F ′(x )＜0，于是G ′(x )＞0恒成立， 所以函数G (x )在[x 1，m )上单调递增； ② 设任意s ，t ∈(0，m )，且s ＜t ， 若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ), 若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ), 因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分 （2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ② ……………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ …………………………6分 ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ …………………………8分 ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ． …………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*，即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)，于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m ＋k ＋2)， 整理得2n －m ＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………………12分因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m ∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4， …………………………14分 所以5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝16，即4×2k ＝11． 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝∅．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD ，因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA ．因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ， ………………3分 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE . ………………5分 又因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD ． ………………8分 又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 a －1 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11 ，所以⎩⎨⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ， 解方程组得⎩⎨⎧a ＝0，λ＝1．…………………………5分所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分 所以1＋a ＝3，解得a ＝2． ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分 |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3， 当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分 方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分 综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124，P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124． 所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312． …………………………5分 （2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14．则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576， P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝193576．所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7 }，数列T 的个数为C 27×A 22＝42． ………………………………2分（2）当k ＝1时，则a 1＞a 2，a 2＜a 3＜…＜a n ，此时a 2为1，a 1共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1个． ……………………………3分当2≤k ≤n －2时，则a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＞a k ＋1，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ，从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的n －k 个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的数列的个数为C k n C n －k n －k ，这里包含了a k ＜a k ＋1即a 1＜a 2＜…＜a k ＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C k n －1． ………………………………7分当k ＝n －1时，则a 1＜a 2＜…＜a n －1，a n －1＞a n此时a n －1为n ，a n 共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k＝n－1时，符合条件的数列T共有n－1＝C n－1n－1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T的个数为：C1n－1＋C2n－1＋…＋C n－1n－1＝C1n＋C2n＋…＋C n－1n－n＋1＝2n－C0n－C n n－n＋1＝2n－n－1．………………………………10分。

2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2（i是虚数单位），则z的虚部为．2．（5分）设集合A＝{2，4}，B＝{a2，2}（其中a＜0），若A＝B，则实数a＝．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为．4．（5分）一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为．5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是．6．（5分）欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）（0＜φ＜2π）在x＝2时取得最大值，则φ＝．8．（5分）已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝．9．（5分）在棱长为2的正四面体P﹣ABC中，M，N分别为P A，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD＝2DN，则三棱锥P﹣MBD的体积为．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且a cos B﹣b cos A＝c，则＝．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x+1）2+y2＝2，点A（2，0），若圆C 上存在点M，满足MA2+MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是．12．（5分）如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧上的动点，作点P 关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为．13．（5分）已知函数，若存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f （b）＝f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的最大值是．14．（5分）已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面P AD．16．（15分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且．（1）求∠B的大小；（2）设向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），求的取值范围．17．（15分）如图（1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21：4，且P对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．（15分）如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M（x1，0），直线AC与直线BD交于点N（x2，y2）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线l的方程；（3）求证：x1•x2为定值．19．（15分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．（1）若a2+b＝0，①当a＞0时，求函数f（x）的极值（用a表示）；②若f（x）有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）函数f（x）图象上点A处的切线l1与f（x）的图象相交于另一点B，在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．20．（15分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为d，数列{b n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，6S n＝9b n﹣a n﹣2恒成立．（1）如果数列{S n}是等差数列，证明数列{b n}也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求d的值；（3）如果d＝3，数列{c n}的首项为1，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥2），证明数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．（附加题）【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC 于点D，求证：AC⊥DE．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值为3，求M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，已知圆心C到直线l的距离等于，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，求证：．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m，n的值；（2）求X的数学期望．26．已知函数．（1）当n＝2时，若，求实数A的值；（2）若f（2）＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），求证：α（m+α）＝1．2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2（i是虚数单位），则z的虚部为﹣1．【解答】解：由（1+i）z＝2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．2．（5分）设集合A＝{2，4}，B＝{a2，2}（其中a＜0），若A＝B，则实数a＝﹣2．【解答】解：∵A＝{2，4}，B＝{a2，2}，且A＝B；∴a2＝4；又a＜0；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为4．【解答】解：抛物线y2＝﹣8x的准线方程为：x＝2，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为：2+2＝4．故答案为：4．4．（5分）一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为20.8．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这五人成绩的平均数为＝×（78+82+84+84+92）＝84，方差为s2＝×[（78﹣84）2+（82﹣84）2+（84﹣84）2+（84﹣84）2+（92﹣84）2]＝20.8．故答案为：20.8．5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是[0，1]．【解答】解：当x∈[0，1）时，S＝1，当x∈[1，2]时，S＝2x﹣x2∈[0，1]，综上可得：若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是[0，1]，故答案为：[0，1]6．（5分）欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．【解答】解：正方形的面积S＝1×1＝1，铜钱的半径为2，则铜钱的面积S＝π×22＝4π，则油恰好落入孔中的概率P＝，故答案为：7．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）（0＜φ＜2π）在x＝2时取得最大值，则φ＝．【解答】解：函数f（x）＝sin（πx+φ）的周期为T＝＝2，x＝2时f（x）＝sin（2π+φ）＝sinφ取得最大值，由0＜φ＜2π，得φ＝．故答案为：．8．（5分）已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝2．【解答】解：∵，∴10a1+d＝4×（5a1+d），化为：2a1＝d≠0．则＝2．故答案为：2．9．（5分）在棱长为2的正四面体P﹣ABC中，M，N分别为P A，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD＝2DN，则三棱锥P﹣MBD的体积为．【解答】解：如图：∵P﹣ABC为正四面体，且棱长为2，∴C在底面P AB的射影为底面三角形P AB的外心O，也是重心，则BM＝，BO＝，∴，又N为BC的中点，PD＝2DN，D到面P AB的距离为，而，∴．故答案为：．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且a cos B﹣b cos A＝c，则＝4．【解答】解：由a cos B﹣b cos A＝c及正弦定理可得sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C，即sin A cos B﹣sin B cos A＝sin（A+B），即5（sin A cos B﹣sin B cos A）＝3（sin A cos B+sin B cos A），即sin A cos B＝4sin B cos A，因此tan A＝4tan B，所以＝4．故答案为：4．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x+1）2+y2＝2，点A（2，0），若圆C上存在点M，满足MA2+MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是．【解答】解：如图，设M（x，y），由MA2+MO2≤10，得（x﹣2）2+y2+x2+y2≤10，∴（x﹣1）2+y2≤4，联立，解得或．∴点M的纵坐标的取值范围是[]．故答案为：[]．12．（5分）如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧上的动点，作点P 关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为[﹣1，1]．【解答】解：根据题意，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴建立坐标系，如图：设∠POA＝θ，则P的坐标为（cosθ，sinθ），0°≤θ≤90°，A（1，0），B（0，1），直线AB的方程为x+y＝1，设Q（m，n），由（cosθ+m）+（sinθ+n）＝1，＝1，解得m＝1﹣sinθ，n＝1﹣cosθ，即Q（1﹣sinθ，1﹣cosθ），＝cosθ（1﹣sinθ）+sinθ（1﹣cosθ）＝sinθ+cosθ﹣2sinθcosθ，令t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+45°），由θ+45°∈[45°，135°]，sin（θ+45°）∈[，1]，t＝sin（θ+45°）∈[1，]，又2sinθcosθ＝t2﹣1，＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣）2+在t∈[1，]递减，可得t＝1，取得最大值1，t＝时，取得最小值﹣1，则的范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．13．（5分）已知函数，若存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f （b）＝f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的最大值是2e2﹣12．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），∴a+b＝﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）＝（a+b+c）f（c）＝（c﹣6）lnc，由函数图象可知：＜c＜e2，设g（c）＝（c﹣6）lnc，则g′（c）＝lnc+1﹣，显然g′（c）在（，e2]上单调递增，∵g′（e）＝2﹣＜0，g′（e2）＝3﹣＞0，∴g′（c）在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g（）＝（﹣6）＜0，g（e2）＝2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）＝2e2﹣12．故答案为：2e2﹣12．14．（5分）已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则的最小值为．【解答】解：已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则：（a+b）2＝4（ab）3+4ab，所以：＝＝＝≥＝2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面P AD．【解答】证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD＝CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO．因为PB＝PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO．又PO∩CO＝O，所以BD⊥平面PCO．因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD．解：（2）由E为PB中点，连EO，则EO∥PD，又EO⊄平面P AD，所以EO∥平面P AD．由∠ADB＝90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，又CO⊄平面P AD，所以CO∥平面P AD．又CO∩EO＝O，所以平面CEO∥平面P AD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面P AD．16．（15分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且．（1）求∠B的大小；（2）设向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），求的取值范围．【解答】解：（1）由题意，△ABC中，有，则有，变形可得，所以．因为sin B≠0，所以cos B≠0，所以．又0＜B＜π，所以．（2）由向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），则有•＝．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．17．（15分）如图（1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21：4，且P对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．【解答】解：（1）设AP＝21t，CP＝4t，（t＞0），记∠APB＝α，∠CPD＝β，则，由tan（α+β）＝tan45°＝＝＝1，化简得7t2﹣125t﹣300＝0，解得t＝20或t＝﹣（舍去），所以AC＝AP+PC＝25×20＝500．答：两索塔之间的距离AC＝500米．（2）设AP＝x，点P处的承重强度之和为L（x）．则L（x）＝60[+]，x∈（0，500），即L（x）＝60ab[+]，x∈（0，500），记t（x）＝+，t′（x）＝﹣+，令t′（x）＝0，解得x＝250，当x∈（0，250），t′（x）＜0，t（x）单调递减；当x∈（250，500），t′（x）＞0，t（x）单调递增，所以x＝250时，t（x）取到最小值，L（x）也取到最小值．答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为．18．（15分）如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M（x1，0），直线AC与直线BD交于点N（x2，y2）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线l的方程；（3）求证：x1•x2为定值．【解答】（1）解：由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1．可得：＝，﹣c＝1，a2＝b2+c2，解得a＝，c＝1＝b．∴椭圆的标准方程为：+y2＝1．（2）解：由（1）知C（0，1），设D（x0，y0），∵，得2y0＝﹣1，∴y0＝﹣，代入椭圆方程得：+＝1，解得x0＝．∴D，∴l的方程为：y＝±x+1．（3）证明：设D坐标为（x3，y3），由C（0，1），M（x1，0）可得直线CM的方程：y＝﹣x+1，联立椭圆方程得：，解得x3＝，y3＝．由B（，0），得直线BD的方程：y＝（x﹣），①直线AC方程为：y＝x+1，②联立①②得：x2＝，从而x1x2＝2为定值．19．（15分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．（1）若a2+b＝0，①当a＞0时，求函数f（x）的极值（用a表示）；②若f（x）有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）函数f（x）图象上点A处的切线l1与f（x）的图象相交于另一点B，在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．【解答】解：（1）①∵函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．∴f′（x）＝3x2+2ax﹣a2，∵a2+b＝0，∴f′（x）＝3x2+2ax﹣a2，令f′（x）＝0，解得x＝，或x＝﹣a．由a＞0知，x∈（﹣∞，﹣a），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（﹣a，），f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的极大值为f（﹣a）＝1+a3，f（x）的极小值为f（）＝1﹣．②当a＝0时，b＝0，此时f（x）＝x3+1不存在三个相异零点；当a＜0时，与①同理可得f（x）的极小值为f（﹣a）＝1+a3，f（x）的极大值为f（）＝1﹣．要使f（x）有三个不同零点，则必须有（1+a3）（1﹣）＜0，即a3＜﹣1或a3＜．不妨设f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0，f（x1）＝，①，②，③②﹣①得（x2﹣x1）（）+a（x2﹣x1）（x2+x1）﹣a2（x2﹣x1）＝0，∵x2﹣x1＞0，∴+＝0，④同理＝0，⑤⑤﹣④得x2（x3﹣x1）+（x3﹣x1）（x3+x1）+a（x3﹣x1）＝0，∵x3﹣x1＞0，∴x2+x3+x1+a＝0，又x1+x3＝2x2，∴．∴f（﹣）＝0，即，即＜﹣1，∴存在这样实数a＝﹣满足条件．（2）设A（m，f（m）），B（n，f（n）），则，，又＝＝m2+mn+n2+a（m+n）+b，由此可得3m2+2am+b＝m2+mn+n2+a（m+n）+b，化简得n＝﹣a﹣2m，∴k2＝3（﹣a﹣2m）2+2a（﹣a﹣2m）+b＝12m2+8am+a2+b，∴12m2+8am+b+a2＝4（3m2+2am+b），∴a2＝3b．20．（15分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为d，数列{b n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，6S n＝9b n﹣a n﹣2恒成立．（1）如果数列{S n}是等差数列，证明数列{b n}也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求d的值；（3）如果d＝3，数列{c n}的首项为1，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥2），证明数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．【解答】解：（1）设数列{S n}的公差为d′，由6S n＝9b n﹣a n﹣2，……①6S n﹣1＝9b n﹣1﹣a n﹣1﹣2，（n≥2）……②①﹣②得6（S n﹣S n﹣1）＝9（b n﹣b n﹣1）﹣（a n﹣a n﹣1）……③∵等差数列{a n}的首项为1，公差为d，∴6d′＝9（b n﹣b n﹣1）﹣d．所以：b n﹣b n﹣1＝为常数，所以{b n}为等差数列．（2）由③得6b n＝9（b n﹣b n﹣1）﹣d，即3b n＝9b n﹣1+d，所以：＝3+是与n无关的常数，所以﹣1或为常数．①当﹣1＝0时，d＝3，符合题意；②当为为常数时，在6S n＝9b n﹣a n﹣2中令n＝1，则6a1＝9b1﹣a1﹣2又a1＝1，解得b1＝1．所以＝此时3+＝1，解得d＝﹣6；综上，d＝3或d＝﹣6．（3）当d＝3时，a n＝3n﹣2，由（2）得数列为等比数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以即当n≥2时，c n＝b n﹣b n﹣1＝3n﹣1当n＝1时，也满足上式，所以c n＝3n﹣1．设a n＝c i﹣c j，则3n﹣2＝3i﹣1+3j﹣1，即3n＝3i﹣1+3j﹣1＝2如果i≥2，因为3n为3的倍数，3i﹣1+3j﹣1为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以i＝1，则3n＝3+3j﹣1，即n＝1+3j﹣2．（j＝2，3，4……）故得数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．（附加题）【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC 于点D，求证：AC⊥DE．【解答】证明：连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED．因为OA＝OE，所以∠OAE＝∠OEA．又因为AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，所以∠OAE＝∠EAD，所以∠EAD＝∠OEA，所以OE∥AC，故AC⊥DE．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值为3，求M﹣1．【解答】解：由题意可知：|λE﹣M|＝0，即＝0，得（λ﹣2）（λ﹣x）﹣4＝0的一个解为3，代入得x＝﹣1，∴M＝，则|M|＝﹣6，∴M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，已知圆心C到直线l的距离等于，求a的值．【解答】解：圆C的参数方程为为参数）．圆C消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝4，由，得ρcosθ+ρsinθ﹣a＝0，所以直线l的直角坐标方程为x+y﹣a＝0．依题意，圆心C到直线l的距离等于，即＝，解得a＝﹣1或a＝3．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，求证：．【解答】证明：因为a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，所以a+2b＝1﹣c，a2+b2＝1﹣c2．由柯西不等式：（12+22）（a2+b2）≥（a+2b）2，5（1﹣c2）≥（1﹣c）2，整理得，3c2﹣c﹣2≤0，解得﹣≤c≤1．所以﹣≤c≤1．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m，n的值；（2）求X的数学期望．【解答】解：（1）由题意，得，又m＞n，解得m＝，n＝．（2）由题意，a＝++＝，b＝1﹣﹣＝，∴E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．26．已知函数．（1）当n＝2时，若，求实数A的值；（2）若f（2）＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），求证：α（m+α）＝1．【解答】解（1）当n＝2时，f（x）＝（x+5）5＝x5+x4+x3（）2+x2（）3+x（）4+（）5，所以f（2）+f（﹣2）＝（2+）5+（﹣2+）5＝2[（）124+（）322+（）520]＝2（5×16+10×4×5+25）＝610，所以A＝610．（2）因为f（x）＝（x+）2n+1＝x2n+1+x2n+x2n﹣1（）2+…+（）2n+1，所以f（2）＝22n+1+22n+22n﹣1（）2+…+（）2n+1，，由题意f（2）＝（+2）2n+1＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），首先证明对于固定的n∈N*，满足条件的m，α是唯一的．假设f（2）＝（2+）2n+1＝m1+α1＝m2+α2（m1，m2∈N*，0＜α1，α2＜1，m1≠m2，α1≠α2），则m1﹣m2＝α2﹣α1≠0，而m1﹣m2∈Z，α2﹣α1∈（﹣1，0）∪（0，1），矛盾．所以满足条件的m，α是唯一的．下面我们求m及α的值：因为f（2）﹣f（﹣2）＝（2+）2n+1﹣（﹣2+）2n+1＝（2+）2n+1+（2﹣）2n+1＝2[22n+1+22n﹣1（）2+22n﹣3（）4+…+21（）2n]，，显然f（2）﹣f（﹣2）∈N*．又因为﹣2∈（0，1），故（﹣2）2n+1∈（0，1），即f（﹣2）＝（﹣2+）2n+1＝（﹣2）2n+1∈（0，1）．所以令m＝2[22n+1+22n﹣1（）2+22n﹣3（）4+…+21（）2n]，α＝（﹣2+）2n+1，则m＝f（2）﹣f（﹣2），α＝f（﹣2），又m+α＝f（2），所以α（m+α）＝f（﹣2）•f（2）＝（2+）2n+12n+1＝（5﹣4）2n+1＝1．。

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝lg(2－x )的定义域为▲________．2．已知复数z 满足z 1＋2i ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ．3．执行如图所示的算法流程图，则输出a 的值为 ▲ ．4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为▲________．5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ ．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为▲________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b sin A sin B ＋a cos 2B ＝2c ，则ac 的值为▲________．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y 2b2＝1 (b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：222x y +=的四个交点依次为A ，B ，C ，D ．若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ．9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为2的正四棱锥S -EFGH （如图2），则正四棱锥S －EFGH 的体积为▲________．(第3题)(第4题) ABEF GHSFG10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ．若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为▲________．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝m x ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为▲________．12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 的长为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得P A →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为▲________．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ， x ≥0，t ∈R ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若f (α2)＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值．（第15题） (第12题)16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ，BE 的中点．（1）求证：MN ∥平面BEC ； （2）求证：AH ⊥CE ．17．(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式m ＝k ×Sd 2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ (0＜λ＜1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2，称满足m 1＜m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域”． （1）已知P 与A 相距15km ，且∠P AB ＝60o ．当λ＝12时，居住在P 点处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求λ的取值范围．（第16题） BEDAHCMNAB(第17题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 22，上顶点A 到右焦点的距离为 2 ．过点D (0，m )(m ≠0)作不垂直于x 轴，y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC ． （1）求椭圆E 的方程； （2）求实数m 的取值范围；（3）延长AC 交椭圆E 于点B ，记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝83，求直线l 的方程．(第18题)已知函数f (x)＝x(e x－2)，g (x)＝x－ln x＋k，k∈R，e为自然对数的底．记函数F(x)＝f(x)＋g (x)．（1）求函数y＝f (x)＋2x的极小值；（2）若F(x)＞0的解集为(0，+∞)，求k的取值范围；（3）记F(x)的极值点为m．求证：函数G(x)＝|F(x)|＋ln x在区间(0，m)上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)对于数列{a n}，定义b n(k)＝a n＋a n＋k，其中n，k∈N*．（1）若b n(2)－b n(1)＝1，n∈N*，求b n(4)－b n(1)的值；（2）若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有b n＋1(k)＝2b n(k)．（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）设k为给定的正整数，记集合A＝{b n(k)|n∈N*}，B＝{5b n(k＋2)|n∈N*}，求证：A∩B＝ ．南京市、盐城市2018届高三第二次模拟考试数学附加题21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B．选修4-2:矩阵与变换已知a=为矩阵A=属于实数λ的一个特征向量，求λ和A2．C．选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线，的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为 (a>0，θ为参数)，点P是圆C上的任意一点，若点P到直线，距离的最大值为3，求a的值，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）甲，乙两人站在P点处分别向A，B，C三个目标进行射击，每人向兰个目标各射击一次，每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A，B，C的概率分别都为(1)设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)求甲乙两人共击中目标数为2个的概率．23．（本小题满分10分）已知n∈N*，且n≥4，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M={l，2，…，n}中，且任意两项不相等．(1)若n=7,且a2<a3<a4<a5<a6，求数列T的个数；(2)若数列T中存在唯一的a k(k∈N*，且k<n)，满足a k >a k+1，求所有符合条件的数列T的个数.南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．38 6．－9 7． 2 8．79．43 10．(－1，1) 11． 2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0) 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1．因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．…………………………………7分（2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形，所以MN ∥BF ． ……………………………………4分 又MN ⊄平面BEC ，BF ⊂平面BEC ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 解法二：取AE 中点G ，连接MG ，GN .因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD ． 又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC ． 又因为MG ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以MG ∥平面BEC ． ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE ．又因为GN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以GN ∥平面BEC ． 又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN ⊂平面GMN ，所以平面GMN ∥平面BEC ． ……………………………………4分 又因为MN ⊂平面GMN ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 （2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ．因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，且BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面ABE ． ……………………………………8分 因为AH ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分 因为BC ∩BE ＝B ，BC ⊂平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分 又因为CE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分 17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1 d 12，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△P AB 中，AB ＝10，P A ＝15，∠P AB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋P A 2－2AB ·P A cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分又d 12＝P A 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1 d 12－k S 2 d 22＝k S 1 d 12－k λS 1 d 22＝kS 1(1 d 12－λd 22)， …………………………4分将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)．因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分 （2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，由m 1＜m 2得，k S 1 d 12＜k S 2d 22，将S 2＝λS 1代入，得d 22＜λd 12．……8分代入坐标，得(x －10)2＋y 2＜λ(x 2＋y 2)，化简得(1－λ) x 2＋(1－λ) y 2－20x ＋100＜0． ……………………10分 因为0＜λ＜1，配方得 (x －101－λ)2＋y 2＜(10λ1－λ)2， 所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是：圆心为C (101－λ，0)，半径为r 1＝10λ1－λ的圆的内部．与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)是：圆心为B (10，0)，半径为r 2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B 内含于圆C ，即BC ＜| r 1－r 2|． …………………………12分 因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)． …………………………14分解法二：要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”， 则当d 2≤2时，不等式m 1＜m 2恒成立．由m 1＜m 2，得k S 1 d 12＜k S 2 d 22＝k λS 1 d 22，化简得d 12＞d 22λ． …………………………8分设∠PBA ＝θ，则d 12＝P A 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ， …………………………10分 所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， ………………………12分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1，所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分(第17题)18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2． 因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0 ，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分即x 02＝2y 0(m －y 0)． ①又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y0x 0＝－1， …………………………8分即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y0y 20＋2x 20， …………………………12分所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|．由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1，所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m |＝43－2m ． …………………………14分 因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12，所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋2k 2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k 2)， 所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km ． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m 1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2 ∈(12，1)， 此时△＝8(2k 2＋1－m )＞0，所以实数m 的取值范围为(12，1)． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC ＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆E 方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0（舍），即x 3＝－8k1＋8k 2． …………………12分 又因为x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2k 1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|－8k 1＋8k 2－2k 1＋4k 2|＝4＋16k 21＋8k 2． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12， 此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值－1e ． ………………………2分（2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)，设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x 2＞0恒成立，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0， 所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分＝1－x 0－ln 1ex 0＋k ＝1＋k ．因为F (x )＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k ＞0，即k ＞－1． ……………………8分 （3）证明：由（2）知m ＝x 0，①当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F (x )≥0恒成立，于是G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1．因为x ∈(0，m )，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，m )上单调递增． ……………………10分 ②当1＋k ＜0，即k ＜－1时，0＜e k ＜12＜x 0＝m ，F (e k )＝e k ( e e k－1)＞0，F (m )＝F (x 0)＝1＋k ＜0， 又F (x )在(0，m )上单调递减且图像不间断，所以F (x )在(0，m )上存在唯一的零点x 1． ……………………12分 当0＜x ≤x 1时，F (x )≥0，G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 因为0＜x ≤x 1，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，x 1]上单调递增； ① ……………………14分 当x 1≤x ＜m 时，F (x )≤0，G (x )＝－F (x )＋ln x ，G ′(x )＝－F ′(x )＋1x ，由（2）知，当x 1≤x ＜m 时，F ′(x )＜0，于是G ′(x )＞0恒成立， 所以函数G (x )在[x 1，m )上单调递增； ② 设任意s ，t ∈(0，m )，且s ＜t ， 若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ),若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ), 因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分 （2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ②……………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ …………………………6分 ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ …………………………8分 ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ． …………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*， 即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)， 于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m＋k ＋2)，整理得2n －m＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………………12分因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4， …………………………14分 所以5(1＋2k ＋2)1＋2k＝16，即4×2k ＝11． 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝∅．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD ，因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA ．因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ， ………………3分 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE . ………………5分 又因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD ． ………………8分 又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ，所以⎩⎨⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解方程组得⎩⎨⎧a ＝0，λ＝1． …………………………5分所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分 所以1＋a ＝3，解得a ＝2．……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分 |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3， 当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分 方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分 因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分 综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124，P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124．所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312． …………………………5分（2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14．则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576，P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝193576．所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7 }，数列T 的个数为C 27×A 22＝42． ………………………………2分（2）当k ＝1时，则a 1＞a 2，a 2＜a 3＜…＜a n ，此时a 2为1，a 1共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1个． ……………………………3分当2≤k ≤n －2时，则a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＞a k ＋1，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ，从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的n －k 个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的数列的个数为C k n C n －k n －k ，这里包含了a k ＜a k ＋1即a 1＜a 2＜…＜a k ＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C k n －1． ………………………………7分当k ＝n －1时，则a 1＜a 2＜…＜a n －1，a n －1＞a n此时a n －1为n ，a n 共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝n －1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C n －1n －1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T 的个数为：C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1＝C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n －n ＋1 ＝2n －C 0n －C n n －n ＋1＝2n －n －1． ………………………………10分。

（第4题）2018届高三第二次调研测试南通、徐州、扬州、宿迁、淮安等六市数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð ▲ ．【答案】{}13，2． 已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】433． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图 所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．【答案】304． 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲ ． 【答案】125 5． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ▲ ．【答案】136． 在ABC △中，已知145AB AC B ==︒，，则BC 的长为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为 ▲ ．【答案】8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点(12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为 ▲ ． 【答案】979． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为 ▲ ． 【答案】6-10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc ab =+，则a bc ++的最小值为 ▲ ． 成绩/分40 50 60 70 80 90 100 （第3题）【答案】811．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的为 ▲ ． 【答案】22(1)4x y -+=12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点， 则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1+∞， 13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅的值为 ▲ ． 【答案】1014．已知a为常数，函数()f x =的最小值为23-，则a 的所有值为 ▲ ．【答案】14，填空题要求：第6第11题：题目要求“圆C 的标准方程”，写成圆的一般方程不给分，不配方不给分。

2017－2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数 学 Ⅰ 试 题 2018.5方差公式：2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中121()n x x x x n=++⋅⋅⋅+． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为 ．2． 设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =，则实数a = ． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，到抛物线28y x =-距离为．4． 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶 图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ．5． 右图是一个算法流程图，若输入值[02]x ∈，，则输出值S 的 取值范围是 ．6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以 钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入， 而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若 铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的 正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油 滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ．7． 已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ= ．（第6题图）8． 已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14a d = ．9． 在棱长为2的正四面体P －ABC 中，M ，N 分别为P A ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且PD ＝2DN ，则三棱锥D －MBC 的体积为 ．10． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan AB= ． 11． 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是 ．12． 如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为 ．13． 已知函数1(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，， ，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值 是 ．14． 已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，∠ADB ＝90°，CB ＝CD ，点E 为棱PB 的中点． （1）若PB ＝PD ，求证：PC ⊥BD ； （2）求证：CE ∥/平面P AD ．ABCDP E （第15题图）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S，且2224)S a c b +-.（1）求∠B 的大小；（2）设向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，求⋅m n 的取值范围．17．（本小题满分14分）下图（I ）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II ）所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60 m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21：4，且P 对两塔顶的视角为135°． （1）求两索塔之间桥面AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．（第17题图（Ⅰ））（第17题图（Ⅱ））如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点1(0)M x ，，直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若2CM MD =，求直线l 的方程； （3）求证：12x x ⋅为定值．已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，且21=4k k ，求a b ，满足的关系式．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N，692n n n S b a =--恒成立．（1）如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列； （2）如果数列12n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求d 的值； （3）如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)n n n c b b n -=-≥，证明数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．2017－2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）2018．521．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分BAC∠交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC于点D，求证AC DE⊥．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵214x⎡⎤⎢⎥⎣⎦M=的一个特征值为3，求1-M．高三数学参考答案第1页（共8页）高三数学参考答案 第2页（共8页）C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x t t y t=+⎧⎨=-+⎩，为参数)．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()()4a a πθ-=∈R ，已知圆心C 到直线la 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a b c ，，满足21a b c ++=，2221a b c ++=，求证：213c -≤≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为13，乙、丙 做对该题的概率分别为()m n m n >，，且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三 位学生中做对该题的人数，其分布列为： （1）求m n ，的值； （2）求X 的数学期望．高三数学参考答案 第3页（共8页）23．（本小题满分10分）已知函数21()((R)n f x x n x +*=∈∈N ，．（1）当2n =时，若(2)(2)f f +-=，求实数A 的值； （2）若(2)(01)f m m αα*=+∈<<N ，，求证：()1m αα+=．高三数学参考答案 第4页（共8页）2017－2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题：1． 1- 2．2- 3．4 4．20.8 5．[]01，6．14π 7．π2 8．2 910．4 11．⎡⎢⎣⎦12．11⎤⎦， 13．22e 12- 14．二、解答题 15． 证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO PO ，，因为CD CB =，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD CO ⊥．……………………2 分 因为PB PD =，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD PO ⊥．……………………4 分 又PO CO O =，所以BD ⊥平面PCO ． ……………………6 分因为PC ⊂平面PCO ，所以PC BD ⊥． ……………………7 分 （2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO PD ∥，又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ． ……………………9 分 由90ADB ∠=︒，以及BD CO ⊥，所以CO AD ∥，又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ． ……………………11 分 又=COEO O ，所以平面CEO ∥平面PAD ， ……………………13分而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ． ……………………14 分 16．解（1）由题意，有22214sin )2ac B a c b ⨯=+-， …………………………2 分则sin B =sin B B =． ………………………………4 分因为sin 0B ≠，所以cos 0B ≠，所以tan B = 又0πB <<，所以π3B =． …………………………………………………6 分高三数学参考答案 第5页（共8页）（2）由向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，得2π3sin 26cos 3sin 23cos 23)34A A A A A -=--=--m n =．………8 分由（1）知π3B =，所以2π3A C +=，所以2π03A <<．所以ππ13π2()4412A -∈-，． ……………………………………………………10 分所以πsin(2)142A ⎛⎤-∈-⎥ ⎝⎦． ……………………………………………12 分所以( 63⎤∈-⎦m n．即取值范围是(63⎤-⎦． ……………………14 分 17．解（1）设21AP t =，4(0)BP t t =>，，记==APB CPD αβ∠∠，，则 60206015t a n=t a n 2174t t t tαβ===，， ………………………………………2 分 由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--， …………………4 分 化简得 271253000t t --=，解得20t =或157t =-（舍去）， 所以，2520500AC AP PC =+=⨯=． …………………………………6分 答：两索塔之间的距离AC =500米．（2）设AP=x ，点P 处的承重强度之和为()L x . 则22()60[](500)ab ab L x x x =+-，且(0,500)x ∈， 即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈- ……………………………9 分 （注：不写定义域扣1分） 记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-，则3322'()(500)l x x x -=+-， …………11 分 令()0l x '=，解得250x =，当(0,250)x ∈，()0l x '<，()l x 单调递减； 当(250,500)x ∈，()0l x '>，()l x 单调递增；所以250x =时，()l x 取到最小值，()L x 也取到最小值63125ab. ……………13 分 答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为63125ab. …14 分高三数学参考答案 第6页（共8页）18. 解（11. 得21c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧⎪⎨=⎪⎩， ………………………………………………2 分所以，椭圆的标准方程为2212x y +=. …………………………………4分（2）由（1）知(0,1)C ，设00(,)D x y ， 因为2CM MD =，得021y =-，所以012y =-， ……………………………6 分代入椭圆方程得0x =或，所以1)2D -或1()2D -， 所以l的方程为：1y x +或1y =+. …………………………9 分 （3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+， 联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+. …………12 分由B ，得直线BD的方程：2y x =， ①直线AC方程为12y x =+， ② 联立①②得212x x =， …………………………………………………………15 分 从而12x x =2为定值. …………………………………………………………16 分 解法2：设D 坐标为(x 3，y 3）， 由C ,M ,D 三点共线得31311y x x x =--，所以3131x x y =-， ① ………………10 分 由B ,D ,N，将221y x =+ 代入可得2x =， ② …………………………………………………12 分①和②相乘得，231231x x x y =-高三数学参考答案 第7页（共8页）2333323333222)2x y x x x y x +-==-+-. ……………………………………………16 分19. 解：（1）①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ，得22()32f x x ax a '=+-， ……………………………………………………1 分 令()0f x '=，解得3ax =或a x -=. 由0>a 知，(,)()0x a f x '∈-∞->，，)(x f 单调递增，(,)()03a x a f x '∈-<，，)(x f 单调递减，(,)()03ax f x '∈+∞>，，)(x f 单调递增，……………………………………………………3 分因此，)(x f 的极大值为3()1f a a -=+，)(x f 的极小值为35()1327a a f =-.……………………………………………………4 分② 当0a =时，0b =，此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；当0a <时，与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+，)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a +-<， 即332715a a <->或. …………………………………………………………6 分 不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ，且321x x x <<， 则123()()()0f x f x f x ===，3221111()10f x x ax a x =+-+=， ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③②－①得222212*********()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=， 因为210x x ->，所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=， ④…………………………………………………………8 分同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤⑤－④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=，因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， ……………………………………9 分 又1322x x x +=，所以23ax =-. ………………………………………10 分高三数学参考答案 第8页（共8页）所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =满足条件. ………………………………12 分 （2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322，又b n m a n mn m nm n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331， …………………………………………13 分由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=，因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， ……………15分 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++，所以b a 32=. …………………………………………………………………16分 20. 解：（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--， ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥， ②①－②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---， ③ …………………………2 分 即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d db b -'+-=为常数， 所以{}n b 为等差数列． …………………………………………………………3 分 （2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+， …………………………4 分所以11111111133()11322332*********n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数，所以103d -=或112n b -+为常数． ………………………………6 分 ①当103d-=时，3d =，符合题意； …………………………………………7 分②当112n b -+为常数时，在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分所以11113222n b b -+=+=， 此时1113333122n d d b ---+=+=+，解得6d =-． 综上，3d =或6d =-． ………………………………………………………10分 （3）当3d =时，32n a n =-， ………………………………………………11分高三数学参考答案 第9页（共8页）由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n n n b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -． …………………………………………………12 分 当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=， 当1n =时，也满足上式，所以13(1)n n c n -=≥． …………………………………………………13分 设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=， 如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾． …………………………………………………15 分 所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+=．所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和． ……………16 分高三数学参考答案 第10页（共8页）2017－2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）附加题参考答案21.A 解 连接OE ，因为ED 是⊙O 切线，所以OE ⊥ED . ………………3 分因为OA ＝OE ，所以∠1＝∠OEA . …………6 分 又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA ， …………8 分 所以OE ∥AC ，∴AC ⊥DE ． …………………10 分21.B 解 由2104xl l --=--，得(2)()40x l l ---=的一个解为3，……………3分 代入得1x =-， ………………………5分因为2141轾犏=犏-臌M ，所以111662133-轾犏犏=犏犏-犏臌M . ………………………………10 分 21.C 解 消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22324x y -++=, ………………3 分cos()4a pq -=，得cos sin 0a r q r q +-=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y a +-=. …………………………………6分 依题意，圆心C 到直线l解得13a 或=-. ……………………………………………………………10 分21.D 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. ……………………………………3 分 由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， ………………………………6 分 5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1. ……………………………………9 分所以－23≤c ≤1. ……………………………………10 分22. 解（1）由题意，得11(1)(1)(1),3311.336m n mn ⎧---=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………………3 分 又m n >，解得13m =，1.4n = ………………………………………………………5 分（2）由题意，1232132214.3343343349a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ………………………7 分14171(0)(1)(3)1.393636b P X P X P X =-=-=-==---= ……………………9 分高三数学参考答案 第11页（共8页）()E X =1471110123.39363612⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………………………10 分23. 解（1）当2n =时，50512323234455555555()(f x x C x C x C x C x C x C ==++++，……………………………………………………………………1 分所以55114332550555(2)(2)(2+(22[22+2]f f C C C +-=-=+=2(54⨯⨯⨯所以610A =. ……………………………………………………………………3 分 （2）因为21021122212212121212121()(n n n n n n n n n f x x C x C x C x C ++-++++++==+++，所以021122212212121212121(2)222n n n n n n n n f C C C C +-++++++=+++，由题意21(2)2) (*,01)n f m m αα+==+∈<<N ， 首先证明对于固定的*n ∈N ，满足条件的,m α是唯一的. 假设21112212121212(2)(2(,*,0,1,,)n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠N ，则12210m m αα-=-≠，而12m m -∈Z ，21(1,0)(0,1)αα-∈-，矛盾.所以满足条件的,m α是唯一的. ………………………………………………5分下面我们求m 及α的值：因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=--=+021*******4112212121212[222++2]n n n nn n n n C C C C +--++++=++，显然(2)(2)f f --∈N *. ………………………………………………………7 分2(0,1)∈，故212)(0,1)n +∈，即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-=∈. …………………………………8分所以令021*******4112212121212[222++2]n n n nn n n n m C C C C +--++++=++，21(2n α+=-，则(2)(2),(2)m f f f α=--=-，又(2)m f α+=， …………………………9 分所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=⋅-=-=. ……10分。

2018届江苏六市高三数学二模考试（扬州、徐州、泰州、南通淮安、宿迁）作者:日期: 22018届高三第二次调研测试（扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁）数学学科填空题：本大题共 14小题，每 小题5分，共计70分. 已知集合 U -1, 0, 1, 2 , 3 二 A 1, 0 , 2 ［，则 e u A = ▲（第3题）如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值为 ▲（第4题） 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,以线段AC , BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32 cm 2的概率为 ▲ .在厶ABC 中，已知AB =1 , AC = .2 , B =45，则BC 的长为 ▲.2在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线 C 与双曲线x 2 -普=1有公共的渐近线，且经过 点P -2,3 ，则双曲线C 的焦距为 ▲.在平面直角坐标系 xOy 中，已知角：•，1的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 A （1 , 2 ） , B （5 , 1），则 tan （、— I ，）的值为 ▲ .设等比数列〔a n ［的前n 项和为S n .若S 3 , S 9 , 成等差数列，且a^3，则a 〈的值为 ▲.已知a , b , c 均为正数，且 abc =4（ a b ），则a b c 的最小值为 ▲ .x < 3,1. 2. 3.4. 5.6. 7.8. 9. 10.11.已知复数z =a +i , Z 2 =3-4i ,其中i 为虚数单位. 若3为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ Z 2某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间1.40 , 100 1上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于 60分的人数为 ▲频率在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组“ x-T3y + 3 > 0 ,表示的平面、x + V3y+3 > 04区域内，则面积最大的为 ▲.!\公_丄x、012. 设函数f （x ）=《2 '（其中e 为自然对数的底数）有 3个不同的零点，3x 3mx -2 , x < 0则实数m 的取值范围是▲.13. 在平面四边形ABCD 中，已知AB =1 , BC =4 ,CD =2 ,DA =3，则 的值为▲14.已知a 为常数，函数f （x ）：- / 的最小值为 諾，则a 的所有值为▲二、解答题：本大题共 6小题，共计90分. 15. （本小题满分14分）在平面直角坐标系 xOy 中，设向量a = cos 〉，siz j , b= —sin , cos 一：, _1基\2， 2卜若 a b = c ，求sin （:;•『■）的值； 设］=¥， 0 ”： 一 ”： n 且 a 〃 b c ，求：的值.如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，AB =AC ，点E , F 分别在棱 BB 1 ,C6 上（均于端点)，且/ ABE = / ACF , AE 丄 BB 1 , AF 丄 CC 1. 求证：(1)平面AEF 丄平面BB 1C 1C ;(2) BC // 平面 AEF .（本小题满分14分）16. 巳E（第题）17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系 2 2xOy中，B1, B2是椭圆笃^2 =1（ a b 0）的短轴端点，P是a b椭圆上异于点B i, B2的一动点.当直线PB i的方程为y=x・3时，线段PB i的长为4「2 •（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：QB—PR，QB^ _PB,.求证：△ PB1B2与厶QB1B2的面积之比为定值.18. （本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线11, 12裁剪成A, B, C三个矩形（B, C全等），用来制成一个柱体.现有两种方案：方案①：以11为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B, C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以11为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B, C中各裁剪出一个正方形（各边分别与11或12垂直）作为正四棱柱的两个底面.（1 ）设B, C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设11的长为x dm,则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？. J B A厂「--------------------------------------------------------（第18题）19. (本小题满分16分)设等比数列a1, a2, a3, a4的公比为q,等差数列b1, b2, b3, b4的公差为d，且q / , d护0 . 记C i “i b (i =1, 2, 3, 4).(1)求证：数列c, , g , C3不是等差数列；(2)设a, =1，q =2 .若数列C i，C2，C3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3)数列C, , C2 , C3 , C4能否为等比数列？并说明理由.20. (本小题满分16分)设函数 f ( x ) =x - as in x ( a 0).(1)若函数y=f(x)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；(2 )设, g(x) = f(x) bl nx -1 (b 三R ,b=0) , g ( x )是g( x )的导函数.①若对任意的x 0 , g ( x) 0，求证：存在x0 ,使g( x°) ：：： 0 ；2②若g(x ) =g(x2)(儿=X2)，求证：X1X2 ：：4b .数学n (附加题)21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .［选修4-1 :几何证明选讲］(本小题满分10分)如图，A, B, C是O O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D .求证：DB DC OD2=OA2.［选修4-2:矩阵与变换］(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0 , 0) , B(3 , 0) , C( 2 , 2) •设变换T , T 2对应的矩，求对△ ABC 依次实施变换T ，T 2后所得图形的面积.C .［选修4-4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中，求以点P 2 , -3为圆心且与直线I : 「si n v-3 = 2相切的圆的极坐标 方程.D .［选修4-5:不等式选讲］(本小题满分10分)【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分•请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如 图所示的3 3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击 23. (本小题满分10分)已知(1 ■ x)2n 1 =a ° ■ a1x a 2X 2 •…，a 2n 1x 2n 1 , n • N .记 T n ' ( 2k - 1)a nJ< .(1 )求T 2的值；(2)化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ・N * , T n 都能被4n 2整除.某一格即显示相应金额.某人在一张表中随机不重复地点击(1)求概率 P ( X =600 )；(2 )求X 的概率分布及数学期望 E X .3格，记中奖的总金额为 X 元.B . 阵分别为M ； 2，“二；2018届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议 、填空题：本大题共 14小题，每 小题5分，共计70分.已知集合U 【答案】1.止-1,0 , 1 , 2 , 3、八=[-1,0 , 2 「1,3?2. 已知复数 z =a +i , Z z =3—4i ,其中i 为虚数单位.若勺为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ Z 23. 4 3某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间 所示，则成绩不低于 60分的人数为▲.【答案】30【答案】 4. 5. 6. 如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值为丄【答案】125 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,以线段AC , BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32 cm 2的概率为 ▲ .1【答案】3在厶ABC 中，已知 AB =1 , AC =』2 ,【答案】 262B =45，则BC 的长为 ▲7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2C 与双曲线X 2 -乂 =1有公共的渐近线，且经过38. 9. 点P -2,3 ，则双曲线C 的焦距为 【答案】43在平面直角坐标系 xOy 中，已知角〉，1的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A （1 , 2 ） ,B （5 , 1），则 tan （:「F ）的值为 ▲ . 【答案】7 设等比数列a n［的前n 项和为S n .若S 3 , £ , S 6成等差数列，且a^3，则的值为频率（第3题）1.40 , 100 1 上▲【答案】-610. 已知a, b , c均为正数，且abc =4( a b)，则a b c的最小值为▲ .【答案】8f x < 3 ,11. 在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组x— 3y 3 > 0 ,表示的平面x 十J3y +3》0 区域内，则面积最大的为▲.2 2【答案】(x —1) y =4r e —x 士012. 设函数f(x)=《一2' '(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，I x —3mx -2 , x < 0则实数m的取值范围是▲.【答案】1 ,::13. 在平面四边形ABCD中，已知AB =1 , BC =4 ,CD =2,DA =3，则的值为▲【答案】1014. 已知a为常数，函数f(x)：-——x的最小值为-2，则a的所有值为▲3【答案】4 , 14填空题要求：第6题：答案写成.2+ .3，复合根式也算正确。

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题 2018.3一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合AB = ．2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23a b+=，则ab 的最小值是 ． 10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 3tan A c bB b-=，则cos A = ． 11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ． 13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合为 ．14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.16.如图，正三棱柱111ABC A B C -，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11A C ，AC 的中点，点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证：（1）1//B M 平面1A BN ； （2）AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2，，点A 是椭圆的下顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当O P Q ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围； （2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值；②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n .2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.（1）求证：2AB BC =； （2）若2AB =，求线段CD 的长.B. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 经过点)4P π，圆心为直线sin()3πρθ-=求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQ PA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，n a ）满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合n A 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合n A 的所有错位排列的个数为n D .（1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：*2()n D n N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. y x =4. 635. 3166. 25 8. 8 9. 10. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+4552=+⨯3522+⨯=.（2）因为//a b sin()14a πα+=α(sin coscos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11A C ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ， 所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ， 所以AD BN ⊥，由题意，1AA =，2AC =，1AN =，CD =，所以1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=，则1AD A N ⊥，又1BN A N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN .17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=； （2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零， 设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --，设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----，因为OE OF =，所以1111||||111k k =---， ①1111111k k =---，1110k k +=无实数解； ②1111111k k =---，1112k k -=，211210k k --=，解得11k = 综上可得，直线1l的斜率为118.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以OQ =OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，3sin()6ππα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-，5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 2αα=+cos αα=， 因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以tan α=，得6πα=； （2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP =∠∠3sin(())2ππαθ=---，sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而sin )sin θα-cos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠，所以tanα=记()f θ=，'()f θ=(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=， 当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin 3θ=.答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为3. 19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x x x c =-+， ∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+，则21'()32x x xϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x -++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增， 令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==. ∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c =+-+，2'()323f x x ax =+-. 由题意，2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立，∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >.对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >. ∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解：（1）由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以3n n a =*()n N ∈；（2）由题意26j k i a a a λϕ+=⋅，即33263j k iλμ+=⋅⋅，所以3312j ik i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，所以333j iλλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得，11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n b n +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21n b n =-*()n N ∈，从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈，当1n =时1113T a =；当2n =时2249T a =；当3n =时3313T a =； 下面证明：对任意正整数3n >都有13n n T a <， 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133nn n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即110n nn nT T a a ++-<， 所以当3n ≥时，n nT a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=；综上可得，满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =. 因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=， 又因为DA DC =，所以A C ∠=∠， 于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =， 所以AO BC =，从而2AB BC =.（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CD CB CA =⋅=⨯=，所以CD =.B. 选修4-2：矩阵与变换 解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =.C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：在sin()3πρθ-=0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C 的半径PC 2==，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=. D. 选修4-5：不等式选讲 证明：因为x ，y 都是正数，所以210x y ++≥>，210y x ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ；所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则110DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得200x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-，111cos ,n CQ n CQ n CQ⋅<>===，则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为5.（2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQPAλλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =，则220DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---，12cos ,n n =<>1212n n n n ⋅==，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =. 23. 解：（1）10D =，21D =，32D =， 49D =，（2）12(1)()n n n D n D D --=-+， 理由如下：对n A 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，n a ），若1(1)a k k =≠，分以下两类： 若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1k a ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个； 根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+； （3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数， 又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D （其中*n N ∈）为奇数. 当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立；根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2n D 为奇数。

（第4题）2018届高三第二次调研测试（扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁）数学学科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则UA = ▲ ．2． 已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图 所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．4． 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲ ． 5． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ▲ ．6． 在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为 ▲ ． 9． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为 ▲． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组33030x x x⎧⎪+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面成绩/分（第3题）区域内，则面积最大的为▲．12．设函数31e02()320x xf xx mx x-⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数m的取值范围是▲．13．在平面四边形ABCD中，已知1423AB BC CD DA====，，，，则AC BD⋅的值为▲．14．已知a为常数，函数()f x的最小值为23-，则a的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，设向量()cos sinαα=，a，()sin cosββ=-，b，()12=-c．（1）若+=a b c，求sin()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB ??AC，点E，F分别在棱BB1?，CC1上（均异于端点），且∠ABE?∠ACF，AE⊥BB1，求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；（2）BC22221(0)yx a ba b+=>>3y x=+112211121 10q d≠≠，i i ic a b=+123c c c，，11a=2q=123c c c，，1234c c c c，，，()sin(0)f x x a x a=->()y f x=1()()ln1(0)2a g x f xb x b b==++∈≠R，，()g x'()g x0()0x g x'>>，x，()0g x<1212()()()g x g x x x=≠2124x x b<（第17题）C（第4题）22DB DC OD OA⋅+=(00)(30)(22)A B C，，，，，1T2T1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N1T 2T()23Pπ，l()sin23ρθπ-=⨯()600P X=X()E X212012(1)nx a a x a x++=+++2121nna x+++*n∈N(21)nn n kkT k a-==+∑2T n T*n∈NnT 42n+{}{}1012 3 10 2U A=-=-，，，，，，，UA={}13，12i34iz a z=+=-，i12zz43[]40100，SABC△145AB AC B===︒，BC xOy C2213yx-=()2P-C αβ，(12)A，(51)B，tan()αβ-97{}nanS396S S S，，83a=5a6-a b c，，4()abc a b=+a b c++C33030xxx⎧⎪-+⎨⎪++⎩≤，≥，≥22(1)4x y-+= 31e02()320x xf xx mx x-⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，e m()1+∞，ABCD1423AB BC CD DA====，，，AC BD⋅a()f x=23-a144，C1m>{}1m m>xOy ()cos sinαα=，a()sin cosββ=-，b()12=-c+=a b c sin()αβ-5π6α=0πβ<<()//+a b cβ()cos sinαα=，a()sin cosββ=-，b()12=-c1===a b c cos sin sin cos sin()αβαβαβ⋅=-+=-a b成绩/分（第3题）+=a b c 22+=a bc ⋅12sin ()11αβ+-+=1sin ()2αβ-=-5π6α=()12=，a ()1sin cos 2ββ+=--，b c ()//+a bc )()11cos sin 022ββ---=11sin 22ββ-=()π1sin 32β-=0πβ<<ππ2π333β-<-<ππ36β-=π2β=cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b a 2 ??2 a ⋅b ??b 2 ??1， 每个2分，没有先后顺序。

【最新整理，下载后即可编辑】南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学2018.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差s2＝1n i＝1∑n(x i－－x)2，其中－x＝1n i＝1∑nx i；锥体的体积公式：V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x)＝lg(2－x)的定义域为▲________．2．已知复数z满足z1＋2i＝i，其中i为虚数单位，则复数z的模为▲．3．执行如图所示的算法流程图，则输出a的值为▲．4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为▲________．5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ ．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为▲________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b sin A sin B＋a cos 2B ＝2c ，则ac的值为▲________．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y2b2＝1 (b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：222x y +=的四个交点依次为A ，B ，C ，D ．若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ．9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为2的正四棱锥S -EFGH （如图2），(第3题)(第4题)则正四棱锥S －EFGH 的体积为▲________．10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ．若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为▲________．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝m x ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为▲________．12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若AB →·AC→＝2，AD →·＝5，则AE 的长为▲________．ADBCEFGH(图1)SEFGH(图2)(第9题)(第12题)B A D13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为▲________． 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ， x ≥0，t ∈R ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式； （2）若f (α2)＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值．y x21-1 -2π12π2 7π12O （第15题）16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ，BE 的中点． （1）求证：MN ∥平面BEC ； （2）求证：AH ⊥CE ．17．(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d的关系，得到关系式m ＝k ×Sd2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ (0＜λ＜1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2，称满足m 1＜m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域”．（1）已知P 与A 相距15km ，且∠PAB ＝60o．当λ＝12时，居住在P点处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求λ18．(本小题满分16分)（第16题）BEDAH CMNAB(第17题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 22，上顶点A 到右焦点的距离为 2 ．过点D (0，m )(m ≠0)作不垂直于x 轴，y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC ． （1）求椭圆E 的方程； （2）求实数m 的取值范围；（3）延长AC 交椭圆E 于点B ，记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝83，求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x (e x －2)，g (x )＝x －ln x ＋k ，k ∈R ，e 为自然对数的底．记函数F (x )＝f (x )＋g (x )．（1）求函数y ＝f (x )＋2x 的极小值；（2）若F (x )＞0的解集为(0，+∞)，求k 的取值范围； （3）记F (x )的极值点为m ．求证：函数G (x )＝|F (x )|＋ln x 在区间(0，m )上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(第18题)20．(本小题满分16分)对于数列{a n}，定义b n(k)＝a n＋a n＋k，其中n，k∈N*．（1）若b n(2)－b n(1)＝1，n∈N*，求b n(4)－b n(1)的值；（2）若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有b n＋1(k)＝2b n(k)．（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）设k为给定的正整数，记集合A＝{b n(k)|n∈N*}，B＝{5b n(k＋2)|n∈N*}，求证：A∩B＝ ．南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题2018.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试．．．结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ，DE ⊥AC 且交AC 的延长线于点E ，求证：DE 是圆O 的切线．B ．选修4—2：矩阵与变换已知α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11为矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 a －12属于实数λ的一个特征向量，求λ和A 2．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t为参数)，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，点P 是圆C 上的任意一点．若点P 到直线l 距离的最大值为3，求a 的值．D．选修4—5：不等式选讲对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）甲，乙两人站在P点处分别向A，B，C三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次．每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A，B，C的概率分别都为12，13，14．（1）设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）求甲乙两人共击中目标数为2个的概率．23．（本小题满分10分）已知n∈N*，且n≥4，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n }中，且任意两项不相等．（1）若n＝7，且a2＜a3＜a4＜a5＜a6，求数列T的个数；（2）若数列T中存在唯一的a k（k∈N*，且k＜n），满足a k＞a k＋1，求所有符合条件的数列T的个数．南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．386．－9 7． 2 8．79．4310．(－1，1) 11． 2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1． 因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．…………………………………7分 （2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分 所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD中，N为AB的中点，所以BN∥CD且BN＝12 CD，所以MF∥BN且MF＝BN，所以四边形BNMF为平行四边形，所以MN∥BF．……………………………………4分又MN平面BEC，BF平面BEC，所以MN∥平面BEC． (6)分解法二：取AE中点G，连接MG，GN.因为G为AE的中点，M为DE的中点，所以MG∥AD．又因为在矩形ABCD中，BC∥AD，所以MG∥BC．又因为MG平面BEC，BC平面BEC，所以MG∥平面BEC． (2)分因为G为AE的中点，N为AB的中点，所以GN∥BE．又因为GN平面BEC，BE平面BEC，所以GN∥平面BEC．又因为MG∩GN＝G，MG，GN平面GMN，所以平面GMN∥平面BEC．……………………………………4分又因为MN平面GMN，所以MN∥平面BEC．……………………………………6分（2）因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥AB．因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，BC平面ABCD，且BC⊥AB，所以BC⊥平面ABE．……………………………………8分因为AH 平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分因为BC ∩BE ＝B ，BC 平面BEC ，BE 平面BEC ， 所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分又因为CE 平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分 17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1 d 12，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△PAB 中，AB ＝10，PA ＝15，∠PAB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋PA 2－2AB ·PA cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分又d 12＝PA 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1 d 12－k S 2 d 22＝k S 1 d 12－k λS 1 d 22＝kS 1(1d 12－λd 22)， …………………………4分 将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)． 因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分（2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，由m 1＜m 2得，k S 1 d 12＜k S 2d 22，将S 2＝λS 1代入，得d 22＜λd 12．……8分代入坐标，得(x －10)2＋y 2＜λ(x 2＋y 2)，化简得(1－λ) x 2＋(1－λ) y 2－20x ＋100＜0． ……………………10分因为0＜λ＜1，配方得 (x －101－λ)2＋y 2＜(10λ1－λ)2，所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是：圆心为C (101－λ，0)，半径为r 1＝10λ1－λ的圆的内部． 与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)是：圆心为B (10，0)，半径为r 2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B 内含于圆C ，即BC ＜| r 1－r 2|． …………………………12分因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)． …………………………14分解法二：要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对(第17题)于A 的“更强吸引区域”，则当d 2≤2时，不等式m 1＜m 2恒成立．由m 1＜m 2，得k S 1 d 12＜k S 2 d 22＝k λS 1d 22，化简得d 12＞d 22λ． …………………………8分 设∠PBA ＝θ，则d 12＝PA 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ， …………………………10分所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， ………………………12分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1， 所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分 18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎨⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2．因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分 又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0 ，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分 即x 02＝2y 0(m －y 0)． ①又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y 0x 0＝－1， …………………………8分 即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x 0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y 0y 20＋2x20， …………………………12分所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|． 由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1，所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m|＝43－2m． …………………………14分 因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12， 所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋2k2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k2)， 所以k AC＝y 0－1x 0＝m1＋2k2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k2∈(12，1)，此时△＝8(2k2＋1－m)＞0，所以实数m的取值范围为(12，1)．…………………………10分（3）设B(x3，y3)，k AB＝－1k OC＝2k，所以直线AB的方程为y＝2kx＋1，与椭圆E方程联立解得x＝－8k1＋8k2或0（舍），即x3＝－8k1＋8k2．…………………12分又因为x0＝－2km1＋2k2＝－2k1＋2k2×2k2＋14k2＋1＝－2k1＋4k2，所以S1S2＝12AO×|x3|12AO×|x|＝|－8k1＋8k2－2k1＋4k2|＝4＋16k21＋8k2．…………………………14分因为S1S2＝83，所以4＋16k21＋8k2＝83，解得k＝±12，此时m＝2k2＋14k2＋1＝34，D点坐标为(0，34)，所以直线l的方程为y＝±12x＋34．…………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.列表如下：值－1e． ………………………2分 （2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)， 设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x2＞0恒成立， 所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增． 又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x 0＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0，所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分＝1－x0－ln 1e x0＋k＝1＋k．因为F(x)＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k＞0，即k＞－1．……………………8分（3）证明：由（2）知m＝x0，①当1＋k≥0，即k≥－1时，F(x)≥0恒成立，于是G(x)＝F(x)＋ln x＝x e x－x＋k，G ′(x)＝(x＋1)e x－1．因为x∈(0，m)，所以x＋1＞1，e x＞1，于是G ′(x)＞0恒成立，所以函数G(x)在(0，m)上单调递增．……………………10分②当1＋k＜0，即k＜－1时，0＜e k＜12＜x0＝m，F(e k)＝e k( e e k－1)＞0，F(m)＝F(x)＝1＋k＜0，又F(x)在(0，m)上单调递减且图像不间断，所以F(x)在(0，m)上存在唯一的零点x1．……………………12分当0＜x≤x1时，F(x)≥0，G(x)＝F(x)＋ln x＝x e x－x＋k，G ′(x)＝(x＋1)e x－1，因为0＜x≤x1，所以x＋1＞1，e x＞1，于是G ′(x)＞0恒成立，所以函数G(x)在(0，x1]上单调递增；①……………………14分当x1≤x＜m时，F(x)≤0，G(x)＝－F(x)＋ln x，G ′(x)＝－F ′(x)＋1x，由（2）知，当x1≤x＜m时，F ′(x)＜0，于是G ′(x)＞0恒成立，所以函数G(x)在[x1，m)上单调递增；②设任意s，t∈(0，m)，且s＜t，若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ),若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ),因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1，因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分（2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )， 分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ② ……………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)，③ …………………………6分③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，④ …………………………8分①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a1＝2，所以a n＝2n．…………………………10分（ii）证明：假设集合A与集合B中含有相同的元素，不妨设b n(k)＝5b m(k＋2)，n，m∈N*，即a n＋a n＋k＝5(a m＋a m＋k＋2)，于是2n＋2n＋k＝5(2m＋2m＋k＋2)，整理得2n－m＝5(1＋2k＋2)1＋2k. …………………………12分因为5(1＋2k＋2)1＋2k＝5(4－31＋2k)∈[15，20)，即2n－m∈[15，20)，因为n，m∈N*，从而n－m＝4，…………………………14分所以5(1＋2k＋2)1＋2k＝16，即4×2k＝11．由于k为正整数，所以上式不成立，因此集合A与集合B中不含有相同的元素，即A∩B＝ ．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2018.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内作答．解答应写出文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD，因为OD＝OA，所以∠OAD＝∠ODA．因为AD平分∠BAE，所以∠OAD＝∠EAD，………………3分所以∠EAD＝∠ODA，所以OD∥AE. ………………5分又因为AE⊥DE，所以DE⊥OD ． ………………8分又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 a －1 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，λ＝1．…………………………5分 所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分所以1＋a ＝3，解得a ＝2． ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分|y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3，当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14， P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124， P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124． 所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×4＋1×24＋2×4＋3×24＝1312． …………………………5分 （2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14． 则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116， P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576， P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分 所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X＝2，Y ＝0)＝193576． 所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）当n＝7时，M＝{1，2，…，7 }，数列T的个数为C27×A22＝42．………………………………2分（2）当k＝1时，则a1＞a2，a2＜a3＜…＜a n，此时a2为1，a1共有n－1种选法，余下的n－2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k＝1时，符合条件的数列T共有n－1＝C1n－1个．……………………………3分当2≤k≤n－2时，则a1＜a2＜…＜a k，a k＞a k＋1，a k＋1＜a k ＜…＜a n，＋2从集合M中任取k个数，按从小到大的顺序排列，再将余下的n－k个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a1＜a2＜…＜a k，a k＋1＜a k＋2＜…＜a n的数列的个数为C k n C n－k n－k，这里包含了a k＜a k＋1即a1＜a2＜…＜a k＜a k＋1＜a k＋2＜…＜a n的情形，因此符合条件的数列T的个数为C k n C n－k n－k－1＝C k n－1．………………………………7分当k＝n－1时，则a1＜a2＜…＜a n－1，a n－1＞a n此时a n－1为n，a n共有n－1种选法，余下的n－2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k＝n－1时，符合条件的数列T共有n－1＝C n－1n－1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T的个数为：C1n－1＋C2n－1＋…＋C n－1n－1＝C1n＋C2n＋…＋C n－1n－n ＋1＝2n－C0n－C n n－n＋1＝2n－n－1．………………………………10分【最新整理，下载后即可编辑】。

（第4题） 南通市2018届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð ▲ ． 2． 已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．4． 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ ． 5． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 于32 cm 2的概率为 ▲ ．6． 在ABC △中，已知145AB AC B ==︒，，则BC 的长为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点(12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为 ▲ ． 9． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a的值为 ▲．10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为 ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆的标准方程为 ▲ ．12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点， 则实数m 的取值范围是 ▲ ．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅的值为 ▲ ． 14．已知a 为常数，函数()f x =的最小值为23-，则a 的所有值为 ▲ ．/分（第3题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是 椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为 （1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．（第17题）A A 1B 1C 1 B C F E （第16题）（第18题）18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方 形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，．记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围； （2）设1()()ln 1(0)2a g x f xb x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．① 若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中．．．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ．求证：22DB DC OD OA ⋅+=．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A BC ，，，，，．设变换1T ，2T对应的矩 阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元．（1）求概率()600P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．（第22题）ABD C （第21—A 题）EO（第4题）23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．南通市2018届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð ▲ ．【答案】{}13，2． 已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】433． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．【答案】304． 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲ ． 【答案】125 5． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ▲ ．【答案】136． 在ABC △中，已知145AB AC B ==︒，，则BC 的长为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为 ▲ ．/分（第3题）【答案】8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点(12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为 ▲ ． 【答案】979． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为 ▲ ． 【答案】6-10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为 ▲ ． 【答案】811．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的为 ▲ ． 【答案】22(1)4x y -+=12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点， 则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1+∞， 13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅的值为 ▲ ． 【答案】1014．已知a为常数，函数()f x =的最小值为23-，则a 的所有值为 ▲ ．【答案】144，填空题要求：第6第11题：题目要求“圆C 的标准方程”，写成圆的一般方程不给分，不配方不给分。