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2019高考数学一轮复习课时规范练62离散型随机变量的均值与方差理新人教B版

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新人教B版2019高考数学(理)一轮复习课时规范练

1 课时规范练62 离散型随机变量的均值与方差

基础巩固组

1.已知X的分布列如下表,设Y=2X+3,则E(Y)的值为 ( )

X -1 0

1

P

A. B.4 C.-1 D.1

2.已知随机变量X+η=8,若X~B(10,0.6),则E(η),D(η)分别是( )

A.6和2.4 B.2和2.4 C.2和5.6 D.6和5.6

3.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为( )

A.3·2-2 B.2-4 C.3·2-10 D.2-8

4.已知随机变量ξ的分布列为

ξ 1 2

3

P

x

y

若E(ξ)=,则D(ξ)等于(

)

A.

B.

C. D. 〚导学号21500785〛

5.袋中有6个红球,4个白球,这些球除颜色外完全相同.从中任取1球,记住颜色后再放回,连续摸取4次,设X为取得红球的次数,则X的方差D(X)的值为( )

A. B. C. D.

6.将两封信随机投入A,B,C三个空邮箱中,则A邮箱的信件数ξ的均值为 .

7.袋中有4个红球,3个黑球,这些球除颜色外完全相同.今从袋中随机取出4个球,设取到1个红球记2分,取到1个黑球记1分,则得分ξ的均值为

.

8.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 .

9.某运动员的投篮命中率为p=0.6,则投篮一次命中次数ξ的均值为 ;若重复投篮5次,命中次数η的均值为 . 新人教B版2019高考数学(理)一轮复习课时规范练

2 10.有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下:

X 8 9 10

P 0.2 0.6 0.2

Y 8 9 10

P 0.4 0.2 0.4

其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.

综合提升组

11.(2017北京东城模拟二,理17)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次,三次正面均朝上的概率为.

(1)求抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率;

(2)抛掷这样的硬币三次后,抛掷一枚质地均匀的硬币一次,记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).

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3

〚导学号21500786〛

12.(2018河北邯郸大名一中月考)《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目,是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目.某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关,对某校的100名大学生进行了问卷调查,得到如下列联表:

喜欢《最强大脑》 不喜欢《最强大脑》 合计

男生 15

女生 15

合计

已知在这100人中随机抽取1人,抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4.

(1)请将上述列联表补充完整,判断是否有99%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关,并说明理由;

(2)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生,其中3名喜欢《最强大脑》,现从这5名大一学生中随机抽取2人,抽到喜欢《最强大脑》的人数为X,求X的分布列及数学期望.

附:χ2=,

P(χ2>k) 0.050 0.010

k 3.841 6.635

新人教B版2019高考数学(理)一轮复习课时规范练

4

13.(2017河北衡水中学三调,理18)某同学在研究性学习中收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如下表所示:

月份x 1 2 3 4

5

y/万盒 4 4 5 6 6

(1)该同学为了求出y关于x的线性回归方程x+,根据表中数据已经正确计算出=0.6,试求出的值,并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数;

(2)若某药店现有该制药厂今年2月份生产的甲胶囊4盒和3月份生产的甲胶囊5盒,小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊,后经了解发现该制药厂今年2月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.

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5

〚导学号21500787〛

创新应用组

14.某次假期即将到来,喜爱旅游的小陈准备去厦门游玩,初步打算去鼓浪屿、南普陀寺、白城浴场三个景点,每个景点有可能去的概率都是,且是否游览某个景点互不影响,设ξ表示小陈离开厦门时游览的景点数.

(1)求ξ的分布列、数学期望及其方差;

(2)记“函数f(x)=x2-3ξx+1在区间[2,+∞)内单调递增”为事件A,求事件A的概率.

〚导学号21500788〛

参考答案

课时规范练62 离散型随机 新人教B版2019高考数学(理)一轮复习课时规范练

6 变量的均值与方差

1.A E(X)=-=-,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3=.

2.B 由已知随机变量X+η=8,所以有η=8-X.因此,求得E(η)=8-E(X)=8-10×0.6=2,D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.

3.C ∵E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,∴p=,n=12,∴P(X=1)==3·2-10.

4.B 由分布列的性质得x+y=,

又E(ξ)=,所以+2x+3y=,

解得x=,y=.

故D(ξ)=.

5.B 因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为,连续摸4次(做4次试验),X为取得红球(成功)的次数,则X~B,故D(X)=4×.

6. ξ的所有可能取值为0,1,2,

P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,故ξ的分布列为

ξ 0 1 2

P

新人教B版2019高考数学(理)一轮复习课时规范练

7 E(ξ)=0×+1×+2×.

7. 取出4个球,颜色分布情况是:4红得8分,3红1黑得7分,2红2黑得6分,1红3黑得5分,

相应的概率为P(ξ=5)=,P(ξ=6)=,P(ξ=7)=,P(ξ=8)=.

则E(ξ)=5×+6×+7×+8×.

8. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为1-.所以在2次试验中成功次数X的取值为0,1,2,

其中P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,

所以在2次试验中成功次数X的均值是E(X)=0×+1×+2×.

9.0.6 3 投篮一次,命中次数ξ的分布列为

ξ 0 1

P 0.4 0.6

则E(ξ)=0×0.4+1×0.6=0.6.

重复投篮5次,命中的次数η服从二项分布B(5,0.6),则E(η)=np=5×0.6=3.

10.解 E(X)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9,

D(X)=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4;

E(Y)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9,

D(Y)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8.

由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)

11.解 (1)设抛掷硬币一次正面朝上的概率为p,则p3=,得p=. 新人教B版2019高考数学(理)一轮复习课时规范练

8 所以抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率为P=.

(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.

P(ξ=0)=;

P(ξ=1)=;

P(ξ=2)=;

P(ξ=3)=;

P(ξ=4)=.

所以ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3

4

p

E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×.

12.解 (1)由题意知列联表为

喜欢《最强大脑》 不喜欢《最强大脑》

合计

男生 45 15 60

女生 15 25 40

合计 60 40 100

χ2=

≈14.063>6.635,

故有99%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关.

(2)X的可能取值为0,1,2,

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高考数学一轮复习---离散型随机变量的均值与方差、正态分布

高考数学一轮复习---离散型随机变量的均值与方差、正态分布

离散型随机变量的均值与方差、正态分布

一、基础知识

1.均值

一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

1期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,2EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而EX是不变的，它描述X取值的平均状态.,3EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了EX的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.

2.方差

设离散型随机变量X的分布列为：

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根DX为随机变量X的标准差.

1随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.DX越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近.,2方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.

3.两个特殊分布的期望与方差

分布 期望 方差

两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)

二项分布 E(X)＝np D(X)＝np(1－p)

4.正态分布

(1)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

[精品]新高中高考数学第一轮复习精编同步讲义第11篇第6讲离散型随机变量的均值与方差

[精品]新高中高考数学第一轮复习精编同步讲义第11篇第6讲离散型随机变量的均值与方差

第6讲 离散型随机变量的均值与方差

[最新考纲]

1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．

2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.

知 识 梳 理

1．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n

(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．

(2)方差：称D(X)＝i＝1n (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．

2．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)

3．两点分布与二项分布的均值、方差

均值 方差

变量X服从两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)

X～B(n，p) E(X)＝np D(X)＝np(1－p)

辨 析 感 悟 1．离散型随机变量的均值与方差

(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(×)

(2)(教材习题改编)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7，方差是0.21.(√)

2．均值与方差的性质

(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(√)

(4)已知X的分布列为

X －1 0

1

P 12 13 16

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为73.(√)

(5)(2013·上海卷改编)设等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差为1，若随机变量X等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差D(X)＝30.(√)

[感悟·提升]

1．对均值(或数学期望)的理解

(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均，如(1)．

(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．

2019年高考数学一轮复习： 课时分层训练70 离散型随机变量的均值与方差 理 北师大版

2019年高考数学一轮复习： 课时分层训练70 离散型随机变量的均值与方差 理 北师大版

课时分层训练(七十) 离散型随机变量的均值与方差

A组 基础达标

一、选择题

1．若离散型随机变量X的分布列为( )

X 0 1

P a2

a22

则X的数学期望EX＝( )

A．2 B．2或12

C．12 D．1

C [因为分布列中概率和为1，所以a2＋a22＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以EX＝12.]

2．已知某一随机变量X的分布列如下，且EX＝6.3，则a的值为( )

X 4 a 9

P 0.5 0.1 b

A．5 B．6

C．7 D．8

C [由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4，

∴EX＝4×0.5＋a·0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.]

3．(2018·湖北调考)已知随机变量η满足E(1－η)＝5，D(1－η)＝5，则下列说法正确的是( )

A．Eη＝－5，Dη＝5

B．Eη＝－4，Dη＝－4

C．Eη＝－5，Dη＝－5

D．Eη＝－4，Dη＝5

D [因为E(1－η)＝1－Eη＝5，所以Eη＝－4.D(1－η)＝(－1)2Dη＝5，所以Dη＝5，故选D.]

4．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为( )

【导学号：79140379】 A.125 B.2425

C.85 D.265

B [因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B4，35，

所以DX＝4×35×1－35＝2425.]

5．(2018·合肥二检)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ＝( )

A．3 B．72

C． D．4

B [ξ的可能取值为2,3,4，P(ξ＝2)＝A22A25＝110，P(ξ＝3)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(ξ＝4)＝A33C12C13＋A33C23C12A45＝35，则Eξ＝2×110＋3×310＋4×35＝72，故选B.]

2020版高考数学理科人教B版一轮温习课时标准练62离散型随机变量的均值与方差

2020版高考数学理科人教B版一轮温习课时标准练62离散型随机变量的均值与方差

课时标准练62 离散型随机变量的均值与方差

基础巩固组

1.(2018辽宁辽南模拟,6)某地域一模考试数学成绩X服从正态散布N(90,σ2),且P(X<70)=.从该地域参加一模考试的学生中随机抽取10名学生的数学成绩,数学成绩在[70,110]的人数记作随机变量ξ.则ξ的方差为 ( )

2.已知随机变量X+η=8,若X~B(10,,则E(η),D(η)别离是( )

和 和

和 和

3.(2018浙江杭州模拟,6)已知0

ξ -1 0 1

P 34 14-a a

当a增大时( )

(ξ)增大,D(ξ)增大 (ξ)减小,D(ξ)增大

(ξ)增大,D(ξ)减小 (ξ)减小,D(ξ)减小

4.(2018浙江绍兴模拟,7)假设随机变量ξ知足E(1-ξ)=4,D(1-ξ)=4,那么以下说法正确的选项是( )

(ξ)=-4,D(ξ)=4 (ξ)=-3,D(ξ)=3

(ξ)=-4,D(ξ)=-4 (ξ)=-3,D(ξ)=4

5.已知随机变量ξ的散布列为

ξ 1 2

3

P 12 x y

若E(ξ)=158,则D(ξ)等于( )

A.3364 B.5564 C.732 D.9326.(2018重庆三诊,6)记5个互不相等的正实数的平均值为𝑥,方差为A,去掉其中某个数后,记余下4个数的平均值为𝑥,方差为B,那么以下说法中必然正确的选项是( )

A.若𝑥=𝑥,则AB

C.若𝑥<𝑥,则AB

7.(2018广东肇庆模拟,7)已知5台机械中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机械为止.假设检测一台机械的费用为1 000元,那么所需检测费的均值为( )

200 400 500 600

8.(2018浙江教育绿色评判联盟,12)假设随机变量ξ的散布列为:

ξ -1 0 1 2

P x 13 16 y

若E(ξ)=13,则x+y= ,D(ξ)=

.

综合提升组

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