2020版高考数学一轮复习课后限时集训62离散型随机变量的均值与方差正态分布理含解析北师大版2

课后限时集训(六十二)　离散型随机变量的均值与方差、正态分布
(建议用时：60分钟)A 组　基础达标
一、选择题
1．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X 为取出3个球的总分值，则EX ＝( )
A. B ． C ．4 D ．185215245
B [由题意知，X 的所有可能取值为3,4,5，且P (X ＝3)＝＝，P (X ＝4)＝＝，P (X
C 3C 35110C 23·C 1
2
C 3
535＝5)＝
＝，所以EX ＝3×＋4×＋5×＝.]C 13·C 2C 3531011035310215
2．已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：正态分布N (μ，σ2)中，P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.3%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.4%)
A ．0.045 5
B ．0.135 9
C ．0.271 8
D ．0.317 4
B [因为P (－3＜ξ＜3)＝0.683，P (－6＜ξ＜6)＝0.954，所以P (3＜ξ＜6)＝×(0.954－0.683)＝0.135 5，故选B ．]
1
23．已知随机变量ξ的分布列为
ξ－1012
P
x 13
16
y
若Eξ＝，则Dξ＝( )
1
3A ．1 B ．
C. D ．21192
3
B [∵Eξ＝，∴由随机变量ξ的分布列知，Error!∴Error!则Dξ＝2
×＋13(－1－13)518(0－
1
3
)
2
×＋2×＋2
×＝.]13(1－13)16(2－13)
2911
9
4．(2018·合肥二检)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ＝( )
A ．3
B ． C.
D ．4
72185
B [ξ的可能取值为2,3,4，P (ξ＝2)＝＝，P (ξ＝3)＝＝，P (ξ＝4)＝A 2A 25110A 3＋
C 12C 1
3A 2A 3
53
10＝，则Eξ＝2×＋3×＋4×＝，故选B ．]A 3C 12C 13＋A 3C 23C 1
2
A 4
5
35110310357
2
5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p (0＜p ＜1)，发球次数为X ，若X 的数学期望EX ＞1.75，则p 的取值范围是( )
A. B ．
(0，
712
)(712
，1)C. D ．(0，12)
(12，1
)
C [由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则EX ＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3＞1.75，解得p ＞或p ＜.由p ∈(0,1)，
521
2可得p ∈.]
(0，1
2
)
二、填空题
6．设X 为随机变量，X ～B ，若随机变量X 的均值EX ＝2，则P (X ＝2)等于________．
(n ，1
3)
　[由X ～B ，EX ＝2，得80243(n ，1
3
)
np ＝n ＝2，∴n ＝6，
1
3
则P (X ＝2)＝C 2
4
＝
.]26(13)(1－13
)
802437．(2019·海口模拟)某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X (单位：kg)服从正态分布N (25,0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4 kg 的概率为________．(附：若Z ～N (μ，σ2)，则P (|Z －μ|＜σ)＝0.682 6，P (|Z －μ|＜2σ)＝95.4%，P (|Z －μ|＜
3σ)＝99.7%)
0．818 5　[∵X ～N (25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.
∴P (24.8≤X ≤25.4)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋2σ)＝×(0.683＋0.954)＝0.818 5.]
1
28．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则EX ＝________.
4．5　[X 的取值为3,4,5.
又P (X ＝3)＝＝，P (X ＝4)＝＝，1
C 35110C 2
3
C 3
5310
P (X ＝5)＝＝.
C 2
4
C 3535
所以随机变量X 的分布列为
X 345P
0.1
0.3
0.6
∴E (X )＝3×0.1＋4×0.3＋5×0.6＝4.5]三、解答题
9．(2018·武汉模拟)某市高中某学科竞赛中，某区4 000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．
(1)求这4 000名考生的平均成绩(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；
x (2)认为考生竞赛成绩z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩
和考生成绩的方差s 2，那么该区4 000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为
x 多少？
(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P (ξ≤3)．(精确到0.001)
附：①s 2＝204.75，≈14.31；
204.75②Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝68.3%，
P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝95.4%；
③0.841 54≈0.501.[解]　(1)由题意知：中间值455565758595概率
0.1
0.15
0.2
0.3
0.15
0.1
∴＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，x ∴这4 000名考生的平均成绩为70.5分．
(2)由题知Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ＝＝70.5，
x σ2＝204.75，σ≈14.31，
∴Z 服从正态分布N (μ，σ2)，即N (70.5,14.312)．而P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝P (56.19＜Z ＜84.81)＝0.683，。