2021高考数学一轮复习课后限时集训71离散型随机变量的均值与方差正态分布理
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课后限时集训71离散型随机变量的均值与方差、正态分布建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·陕西省第三次联考)同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X ，则X 的数学期望是( )A ．1B ．2C ．32D ．52A [∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为12×12＝14，∴X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14，∴EX ＝4×14＝1.故选A.] 2．(2019·广西桂林市、崇左市二模)在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，若P (0<ξ<1)＝0.4，则P (0<ξ<2)＝( )A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.2B [由正态分布的图像和性质得P (0<ξ<2)＝2P (0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.故选B.] 3．已知随机变量ξ的分布列为ξ －1 0 1 2Px 1316y若Eξ＝3，则Dξ＝( )A ．1B ．119C ．23D ．2B [∵Eξ＝13，∴由随机变量ξ的分布列知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋13＋16＋y ＝1，－x ＋16＋2y ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝518，y ＝29，则Dξ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－132×518＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－132×29＝119.]4．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ＝( )A ．3B ．72 C.185D ．4B [ξ的可能取值为2,3,4，P (ξ＝2)＝A 22A 25＝110，P (ξ＝3)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P (ξ＝4)＝A 33C 12C 13＋A 33C 23C 12A 45＝35，则Eξ＝2×110＋3×310＋4×35＝72，故选B.] 5．甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N (5,0.12)，如果零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)以外，我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况．现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测，尺寸如茎叶图所示：则以下判断正确的是( ) A ．甲、乙两厂生产都出现异常 B ．甲、乙两厂生产都正常 C ．甲厂生产正常，乙厂出现异常 D ．甲厂生产出现异常，乙厂正常D [由甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N (5,0.12)，得μ＝5，σ＝0.1，区间(μ－3σ，μ＋3σ)，即区间(4.7,5.3)，根据茎叶图可知，甲厂生产的零件有1件尺寸超出上述区间，乙厂生产的零件尺寸均在上述区间，所以甲厂生产出现异常、乙厂生产正常．故选D.]二、填空题6．设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的均值EX ＝2，则P (X ＝2)等于________．80243 [由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，EX ＝2，得 np ＝13n ＝2，∴n ＝6，则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.]7．(2019·海口模拟)某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X (单位：kg)服从正态分布N (25,0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4 kg 的概率为________．(附：若Z ～N (μ，σ2)，则P (|Z －μ|＜σ)＝0.682 6，P (|Z －μ|＜2σ)＝0.954 4，P (|Z －μ|＜3σ)＝0.997 4)0．818 5 [∵X ～N (25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.∴P (24.8≤X ≤25.4)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋2σ)＝12×(0.682 6＋0.954 4)＝0.341 3＋0.477 2＝0.818 5.]8．2019年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N (95,82)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________．38[由题意可知每名学生的英语成绩ξ～N (95,82)， ∴P (ξ＞95)＝12，故所求概率P ＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38.]三、解答题9．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：(1)2个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考， 方案1：不分类卖出，单价为20元/kg . 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望EX .[解] (1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则P (A )＝20100＝15，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则X ～B (4，15)，所以恰好抽到2个礼品果的概率为P (X ＝2)＝C 24(45)2(15)2＝96625.(2)设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为Eξ＝16×110＋18×310＋22×410＋24×210＝16＋54＋88＋4810＝20.6，因为Eξ>20，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．(3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝C 36C 310＝16；P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12；P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310；P (X ＝3)＝C 34C 310＝130，所以X 的分布列如下：X 0 1 2 3 P1612310130所以EX ＝0×6＋1×2＋2×10＋3×30＝5.10．某市高中某学科竞赛中，某区4 000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求这4 000名考生的平均成绩x (同一组中数据用该组区间中点值作代表)； (2)认为考生竞赛成绩Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差s 2，那么该区4 000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求P (ξ≤3)．(精确到0.001)附：①s 2＝204.75，204.75≈14.31；②Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.954 4；③0.841 34≈0.501. [解] (1)由题意知：中间值 45 55 65 75 85 95 概率0.10.150.20.30.150.1∴x ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)， ∴这4 000名考生的平均成绩x 为70.5分．(2)由题知Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ＝x ＝70.5，σ2＝204.75，σ≈14.31，∴Z 服从正态分布N (μ，σ2)，即N (70.5,14.312)． 而P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝P (56.19＜Z ＜84.81)＝0.682 6， ∴P (Z ≥84.81)＝1－0.682 62＝0.158 7.∴竞赛成绩超过84.81分的人数大约为0.158 7×4 000＝634.8≈634. (3)全市参赛考生成绩不超过84.81分的概率为1－0.158 7＝0.841 3. 而ξ～B (4,0.841 3)，∴P (ξ≤3)＝1－P (ξ＝4)＝1－C 44×0.841 34≈1－0.501＝0.499.1．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ 0 1 2Pab c其中a ，b ，c( )A.16 B ．13 C.12D ．56B [由题意知a ，b ，c ∈[0,1]，且⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13，又函数f (x )＝x 2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x 2＋2x ＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P (ξ＝1)＝13.]2．(2019·浙江高考)设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是X 0 a1 P131313则当a 在(0,1)内增大时，( ) A ．DX 增大 B ．DX 减小 C ．DX 先增大后减小 D ．DX 先减小后增大 D [法一：由分布列得EX ＝1＋a3，则 DX ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 3－02×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 3－a 2×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 3－12×13＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋16，则当a 在(0,1)内增大时，DX 先减小后增大．故选D.法二：则DX ＝EX 2－EX ＝0＋a 23＋13－a ＋129，＝2a 2－2a ＋29＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34，则当a 在(0,1)内增大时，DX 先减小后增大．故选D.]3．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p (0＜p ＜1)，发球次数为X ，若X 的数学期望EX ＞1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C [由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则EX ＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3＞1.75，解得p ＞52或p ＜12.由p ∈(0,1)，可得p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.] 4．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[解] (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )＝C 220p 2(1－p )18.因此f ′(p )＝C 220[2p (1－p )18－18p 2(1－p )17]＝2C 220p (1－p )17(1－10p )．令f ′(p )＝0，得p ＝0.1.当p ∈(0,0.1)时，f ′(p )＞0； 当p ∈(0.1,1)时，f ′(p )＜0. 所以f (p )的最大值点为p 0＝0.1. (2)由(1)知，p ＝0.1.①令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B (180,0.1)，X ＝20×2＋25Y ，即X ＝40＋25Y . 所以EX ＝E (40＋25Y ) ＝40＋25EY ＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于EX ＞400，故应该对余下的产品作检验．1．某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A ．3B ．83C ．2D ．53B [在一轮投篮中，甲通过的概率为p ＝89，通不过的概率为19.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X 的取值分别为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫193＝1729；P (X ＝1)＝C 13×89×⎝ ⎛⎭⎪⎫192＝24729； P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫892×19＝192729； P (X ＝3)＝512729. ∴随机变量X 的分布列为：数学期望EX ＝0×729＋1×729＋2×729＋3×729＝3，或由二项分布的期望公式可得EX＝83.] 2．在一次随机试验中，事件A 发生的概率为p ，事件A 发生的次数为ξ，则数学期望Eξ＝________，方差Dξ的最大值为________．p 14[记事件A 发生的次数ξ可能的值为0,1.数学期望方差Dξ＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p (1－p )≤14.故数学期望Eξ＝p ，方差Dξ的最大值为14.]。
