成都市东湖中学九上数学《二次函数》专题---二次函数与相似三角形

1 成都市东湖中学九上数学《二次函数cbxaxy2的图象》配方导学

一、温故知新

抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标

22xy

221xy

1212xy

2121xy

11212xy

二、配方求解

例1：画出二次函数216212xxy的图象，

解：列表得

x … 3 4 5 6 7 8 9

…

216212xxy … …

描点画图

问题：1、将二次函数216212xxy化成khxay2)(的形式。

温馨提示：一元二次方程中学习的配方法，对216212xxy右边进行配方。

解:

由此可知，抛物线216212xxy的顶点是点(___ ,___),对称轴是直线__________。

2、用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．

2 三、课堂练习

1、 直接写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y＝3x2＋2x； (2)y＝－x2－2x； (3)y＝－2x2＋8x－8； (4)y＝12x2－4x＋3

开口方向：

对称轴：

顶点坐标：

2、归纳性质：

抛物线 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性

最值

四、当堂检测

1、二次函数322xxy的顶点坐标是（ ）

A、（1，0） B、（1，2） C、（2，1） D、（―1，―2）

2、抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是_______；

3、抛物线y＝2x2－2x－52的开口_______，对称轴是_______；

4、抛物线y＝－2x2－4x＋8的开口_______，顶点坐标是_______；

5、抛物线y＝－12x2＋2x＋4的对称轴是_______；

6、二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______．

成都市东湖中学九年级数学

北师大版 九年级（上） 导练案

1

成都市东湖中学九上数学《二次函数专题之特殊角度问题》专练

1、如图所示,已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=−x2+bx+c经过A、C两点,点B是抛物线与x轴的另一个交点,当x=−12时,y取最大值254.顶点为D点

(1) 求抛物线和直线的解析式；

(2) 设点E是x轴上一点,若∠DCE=90∘，求点E的坐标；

(3) 设点F是AC上一动点,若∠AFB=90∘，求点F的坐标；

成都市东湖中学九年级数学 北师大版 九年级（上） 导练案

2

(4)若直线y=12x+t与(1)中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在t的值,使得∠MON=90∘?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(4) 设点G是x轴上一点,若∠GCB=∠GBC，求点G的坐标；

(5) 在抛物线上是否存在一点H，使得∠HAC=∠HCA，若存在，求点H的坐标，若不存在，说明理由；

成都市东湖中学九年级数学 北师大版 九年级（上） 导练案

3

(6) 在抛物线上是否存在一点P，使得∠PCA=∠BAC，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由；

(8)设直线y=-ax+3与直线AC的交点为P（不与C重合），与y轴的交点为H，若∠HPC=∠OCA，求点P的坐标及a的值；

成都市东湖中学九年级数学

北师大版 九年级（上） 导练案

4

2、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为(1,−92),且与x轴交于A、B两点,与y 轴交于C点,A点的坐标为(4,0).P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m.

(l)求抛物线所对应的二次函数的表达式；

(2)若动点P满足∠PAO不大于45∘，求P点的横坐标m的取值范围；

(3)当P点的横坐标m<0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q.问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO ?若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

1 成都市东湖中学九上数学二次函数定义导学

一、复习回顾：

1.函数的概念：

一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有__________的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是叫_____， y叫______．

2.函数的表示方法：__________、__________、__________

二、合作探究：

【探究一】

设人民币定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式（ ）．（不考虑利息税）

【探究二】

某果园有100棵橙子树，平均每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．

（1）问题中有哪些变量？哪些是自变量？哪些是因变量？

变量：____________________________________________________________

自变量：______________________________因变量：______________________________

（2）假设果园增种．．x棵橙子树，那么果园共有棵_______橙子树，这时平均每棵树结_______个橙子。

（3）如果果园橙子的总产量为y个，请你写出y与x之间的关系式。

（4）下表表示了橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况，

x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

y/个

你能根据表格中的数据做出哪些猜想吗？

2 （5）在上述问题中，种．多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？为多少？

（6）增种多少棵橙子树时，可以使果园橙子的总产量在60420个以上？

1专题05二次函数与相似三角形（知识解读）

【专题说明】

二次函数与相似三角形是中考数学的压轴题，具有一定的难度，也是中考考频比较高的，本节未

同学们提供解题途径，希望能够助同学们轻松解题。

【解题思路】

关函数与相似三角形的问题一般三个解决途径：

(1)求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角

形是否为特殊三角形．根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论；

(2)利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数来推导边的大小；

(3)若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，

之后利用相似来列方程求解．

【典例1】（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2

+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点

C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2

+bx+c上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．

【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2

﹣2x﹣3…①；

（2）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：

①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝

3，AC

＝，

过点A作AH⊥BC于点H，

S

△ABC

＝×AH×BC

＝AB×OC，解得：AH＝2

，

2则sin∠ACB

＝

＝，则tan∠ACB＝2，

则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，

联立①②并解得：x

＝

或﹣，

故点Q

（，﹣

2

）或（﹣，

2），

②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC

＝＝3＝tan∠BOQ，

则点Q（n，﹣3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，

联立①③并解得：x

＝，

故点Q

（

，

）或（

，）；

综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：