高考文科数学不等式选讲考点精细选

第2讲 选修4－5 不等式选讲

[做小题——激活思维]

1．已知正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2的最小值为________．

[答案] 13

2．不等式|3x－1|≤2的解集为________．

[答案] －13，1

3．若关于x的不等式|x－3|＋|x－4|

[答案] (1，＋∞)

4．已知a>b>c，若1a－b＋1b－c＋nc－a≥0恒成立，则n的取值范围是________．

[答案] (－∞，4]

5．函数y＝5x－1＋10－2x的最大值为________．

[答案] 63

[扣要点——查缺补漏]

1．|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法

(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．如T2.

(2)利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想.

(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

2．不等式的证明

(1)绝对值三角不等式

||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.如T3.

(2)算术—几何平均不等式

如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．如T1，T4.

(3)证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点．

含绝对值不等式的解法(5年8考)

[高考解读] 绝对值不等式的解法是每年高考的热点内容，主要为含两个绝对值的不等式的求解，难度适中.

[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．

切入点：将g(x)＝|x＋1|＋|x－1|的解析式化为分段函数的形式．

高三数学不等式选讲试题

1. 设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是

， 此时a+b+c= . 【答案】 【解析】由柯西不等式得， 所以， 当且仅当且，即， 所以的最大值是 ，此时 . 【考点】柯西不等式. 2. 已知函数. （1）解不等式：； （2）当时， 不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）

【解析】（1）由函数，及解不等式，通过将x的区间分为3类可解得结论.

（2）由当时， 不等式恒成立，令函数.所以原题等价于，由.通过绝对值不等式的公式即可得到函数的最大值，再通过解绝对值不等式可得结论.

（1）原不等式等价于：

当时，，即.

当时，，即

当时，，即.

综上所述，原不等式的解集为. 4分

（2）当时，

=

所以 7分

【考点】1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.

3. 若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ．

【答案】

【解析】因为对任意正实数，不等式恒成立，所以，因此

【考点】不等式恒成立

4. 设,则的最小值为 。

【答案】9

【解析】由柯西不等式可知。

5. 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:

(1)ab+bc+ca≤

(2).

【答案】（1）见解析；

（2）见解析．

【解析】(1)由得.

由题设得,即.

所以3(ab+bc+ca)≤1,即.

(2)因为+b≥2a,+c≥2b，+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即

≥a+b+c，所以.

6. 已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;

(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.

新数学高考《不等式选讲》复习资料

一、14

1．不等式21xxa的解集是区间3,3的子集，则实数a的取值范围是（ ）

A．5a B．554a C．574a D．7a

【答案】A

【解析】

【分析】

原不等式等价于210xxa，设21fxxxa，则由题意得350370fafa，解之即可求得实数a的取值范围.

【详解】

不等式等价于210xxa，设21fxxxa，因为不等式21xxa的解集是区间3,3的子集，所以350370fafa，解之得5a.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.

2．猜测使2nan对任意正整数n恒成立的最小正整数a的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意结合选项利用特殊值排除选项A，然后利用数学归纳法证明选项B正确即可.

【详解】

注意到当2,4an时，2nan不成立，则2a不合题意，

当3a时，不等式即23nn，

当1n时，不等式即31，

当2n时，不等式即94，

下面用数学归纳法证明该式对于*,3nNn成立，

当3n时，不等式即279，明显成立，

假设*3,nkkkN时不等式成立，即23kk,

则当1nk时，123333kkk， 而222*31221kkkkkN，

结合二次函数的性质可知，当2k时，22221222210kk，

故当*3,kkN时，2222310,31kkkk.

综上可得，23nn对任意的n均成立.

则最小正整数a的值为3.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

考点52不等式选讲

1.(2022·浙江高考数学科·T9)(4分)已知a,b∈R,若对任意x∈R,a|x-b|+|x-4|-|2x-5|≥0,则()

A.a≤1,b≥3B.a≤1,b≤3C.a≥1,b≥3D.a≥1,b≤3

【命题意图】本题考查绝对值不等式恒成立问题,考查学生的直观想象能力.

【解析】选D.由题意有:对任意的x∈R,有a|x-b|≥|2x-5|-|x-4|恒成立.

设f(x)=a|x-b|,g(x)=|2x-5|-|x-4

|=1−𝐬≤5

2

3𝐭9,5

2<<4

𝐭1,≥4,

即f(x)的图象恒在g(x)的上方(可重合),如图所示:

从b入手考查f(x)图象情况,b>3或b<1时,f(x)图象不可能恒在g(x)图象上方.可将选项A,C排除;对

B,a≤1,b≤3时,f(x)图象不可能恒在g(x)图象上方,在1≤b≤3,a≥1时,满足题意,应选D.

2.(2022·全国甲卷文科)(同2022·全国甲卷理科T23)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明:

(1)a+b+2c≤3;

(2)若b=2c,则1

+1≥3.

【命题意图】本题考查不等式的证明,考查柯西不等式与权方和不等式的应用

【证明】(1)由柯西不等式有2+2+2212+12+12≥++22,

所以a+b+2c≤3,当且仅当a=b=2c=1时,取等号,所以a+b+2c≤3;

(2)因为b=2c,a>0,b>0,c>0,由(1)得a+b+2c=a+4c≤3,

即0

由权方和不等式知1

+1

=12

+22

4≥1+22

𝐫4=9

𝐫4≥3,当且仅当1=24,即a=1,c=1

2时取等号,所以1

+1

≥3.

3.(2022·全国乙卷理科·T23)(同2022·全国乙卷文科T23)

已知a,b,c都是正数,且3

2+3

2+3

2=1.证明:

(1)abc≤19;

(2)

𝐫+

𝐫+

𝐫≤1

2𝐵.【命题意图】考查3个正数的算术平均数与几何平均数之间的大小关系即基本不等式,考查不等式