第2节圆与方程知识点、方法题号圆的方程1,7,9直线与圆的位置关系2,3,4,8与圆有关的最值、范围问题5,10,14与圆有关的轨迹问题6,13,15直线与圆的综合问题12,13,15圆与圆的位置关系10,111.直线y=ax+b通过第一、二、三象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=r2(r>0)的圆心位于( C )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:因为直线y=ax+b通过第一、二、三象限,所以a>0,b>0,所以圆(x+a)2+(y+b)2=r2(r>0)的圆心(-a,-b)位于第三象限.故选C.2.(2017·海口模拟)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为( C )(A)(x+3)2+(y-1)2=1 (B)(x-3)2+(y+1)2=1(C)(x+3)2+(y+1)2=1 (D)(x-3)2+(y-1)2=1解析:到直线3x-4y=0及3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组解得又两平行线之间的距离为2,所以所求圆的半径为1,从而圆M 的方程为(x+3)2+(y+1)2=1.故选C.3.(2017·保定一模)若直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切,则a的值为( D )(A)1 (B)±1 (C) (D)±解析:圆x2+(y-a)2=1的圆心坐标为(0,a),半径为1,又直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切,所以圆心(0,a)到直线的距离d=r,即=1,解得a=±.故选D.4.(2017·沈阳二模)直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为( A )(A)(B)(C)4(D)3解析:圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心到直线x-3y+3=0的距离d==,弦长为2=.故选A.5.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A )(A)5-4 (B)-1(C)6-2 (D)解析:圆C1,C2的图象如图所示.设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2| -4.作C1关于x轴的对称点C1′(2,-3),连接C1′C2,与x轴交于点P,连接PC1,可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C1′C2|,则|PM|+|PN|的最小值为5-4.故选A.6.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( A )(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设M(x0,y0)为圆x2+y2=4上任一点,PM中点为Q(x,y),则所以代入圆的方程得(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.7.(2017·东城区调研)当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α= .解析:由题意知,圆的半径r==≤1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan α=-1,又α∈[0,π),故α=.答案:8.已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是.解析:因为圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5-a,所以其圆心为(-1,2),且5-a>0,即a<5.又圆关于直线y=2x+b成轴对称,所以直线过圆心,所以2=-2+b,所以b=4.所以a-b=a-4<1.答案:(-∞,1)能力提升(时间:15分钟)9.(2017·南开区模拟)圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是( B )(A)x2+y2+10y=0 (B)x2+y2-10y=0(C)x2+y2+10x=0 (D)x2+y2-10x=0解析:圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切,所以圆心在x轴上方,设圆的圆心为(0,r),半径为r.则=r,解得r=5,所求圆的方程为x2+(y-5)2=25,即x2+y2-10y=0.故选B.10.若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是( C )(A)(-∞,1) (B)(121,+∞)(C)[1,121] (D)(1,121)解析:x2+y2+6x-8y-11=0化成标准方程为(x+3)2+(y-4)2=36.圆心距为d==5,若两圆有公共点,则|6-|≤5≤6+,所以1≤m≤121.故选C.11.若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.解析:由题意知OA⊥O1A,在Rt△OO1A中,|OA|=,|O1A|=2,所以|OO1|=5,所以由|OO1|·|AB|=|OA|·|O1A|,得|AB|=2×=4.答案:412.(2017·中卫二模)已知从☉C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取最小值时点P的坐标为.解析:如图所示,☉C:(x+1)2+(y-2)2=2,圆心C(-1,2),半径r=.因为|PM|=|PO|,所以|PM|2=|PO|2即|PC|2-r2=|PO|2,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标为(-,).答案:(-,)13.(2017·唐山调研)已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.解:(1)设点P的坐标为(x,y),则=2.化简可得(x-5)2+y2=16,此方程即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图所示.由题意知直线l2是此圆的切线,连接CQ,则|QM|==,当|QM|最小时,|CQ|最小,此时CQ⊥l1,|CQ|==4,则|QM|的最小值为=4.14.已知点(x,y)满足(x-3)2+(y-4)2=9,求:(1)3x+4y的最大值与最小值;(2)(x+1)2+y2的最小值.解:(1)法一设圆(x-3)2+(y-4)2=9的参数方程为(θ为参数),所以3x+4y=3(3+3cos θ)+4(4+3sin θ)=25+9cos θ+12sin θ=25+15sin(θ+φ),其中tan φ=,所以3x+4y的最大值为40,最小值为10.法二设3x+4y=t,把t看作常数,则3x+4y=t是一条直线,直线与圆有公共点,所以≤3⇔|t-25|≤15⇔10≤t≤40.所以t min=10,t max=40.(2)法一(x+1)2+y2=(4+3cos θ)2+(4+3sin θ)2=41+24(sin θ+cos θ)=41+24sin(θ+),所以其最小值为41-24.法二设M(x,y)是圆上的点,圆外一点M0(-1,0),则(x+1)2+y2的几何意义是|MM0|2,而|MM0|的最小值是|M0C|-r(C为圆(x-3)2+(y-4)2=9的圆心,r为半径),即(-3)2=41-24.15.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.解:(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4,设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y),由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,则(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为.。
