当前位置：文档之家 › (完整版)立体几何坐标法教师版

(完整版)立体几何坐标法教师版

  • 格式：doc
  • 大小：1.63 MB
  • 文档页数：18

1 立体几何坐标法：

一：一般的公式：

1、空间角

(1)（线线）设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.

(2)（线面）设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|.

(3)（面面）求二面角的大小

(ⅰ)如图①，AB、CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉．

(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．

2、距离

（1）点面距的求法：设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝|AB→·n||n|.

（2）线面距、面面距均可转化为点面距

（3）两异面直线的距离求法：d＝|AB→·n||n|.（AB是异面直线上任意两点）

二：如何选择建系： 2 8、在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且2ACBCBDAE，M是AB的中点．

（Ⅰ）求证：CMEM；

（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．

11年重庆

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）

如题（19）图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，ADCD，CAD．

（Ⅰ）若AD，ABBC，求四面体ABCD的体积；

（Ⅱ）若二面角CABD为，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)

如图，在三棱锥PABC中，90APB，60PAB，ABBCCA，点PE D

C

M A

B 3 在平面ABC内的射影O在AB上。ABCP

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；

（Ⅱ）求二面角BAPC的大小。

三：添加Z轴，通过公式算出来的：S点。

全国的

19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）

如图，四棱锥SABCD中， ABCD∥,BCCD，侧面SAB为等边三角形，2,1ABBCCDSD．

（Ⅰ）证明：SDSAB平面;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小．

4 三：经典练习;

26.【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上．．．．．作答无效．．．．）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，22AC，2PA，E是PC上的一点，2PEEC。

（Ⅰ）证明：PC平面BED；

（Ⅱ）设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小。

成都二诊：

ECBDAP 5

19．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为8，E、F分别为AD1，CD1中点，G、H分别为棱DA，DC上动点，且EH⊥FG．

（1）求GH长的取值范围；

（2）当GH取得最小值时，求证：EH与FG共面；并求出此时EH与FG的交点P到直线1BB的距离.

19、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=2，45CDA．

（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；

（II）设AB=AP．

（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长；

（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。

6 OC1B1A1CBA

22. 在三棱柱111ABCABC中,已知15,4ABACAABC,在1A在底面ABC的投影是线段BC的中点O。

（1）求点C到平面11AABB的距离；

(2)求二面角11ABCB的余弦值;

(3)若M,N分别为直线11,AABC上动点,求MN的最小值。

用向量法做几何题： 7 2010 年河南 预赛：

6.已知一个正三棱柱的底面边长为1,两个侧面的异面对角线互相垂直.该正三棱柱的侧棱长为

．

解:填22.

设三棱柱111,ABCABC侧棱长为,a侧面的异面对角线11,ABBC互相垂直,则

1111111111111120()()00cos6002.2ABBCBBBABBBCBBBBBBBCBABBBABCaa

9、如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形.

已知60,22,2,2,3PABPDPAADAB.

（Ⅰ）证明AD平面PAB；

（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角ABDP的大小.

8 A B

C A1 B1

C1

O 59、已知斜三棱柱111CBAABC的各棱长均为2， 侧棱1BB与底面ABC所成角为3，

且侧面11AABB底面ABC.

（1）证明：点1B在平面ABC上的射影O为AB的中点；

（2）求二面角BABC1的大小 ；

（3）求点1C到平面ACB1的距离.

9

答案：

28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)

如图，在三棱锥PABC中，90APB，60PAB，ABBCCA，点P在平面ABC内的射影O在AB上。ABCP

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；

（Ⅱ）求二面角BAPC的大小。

命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.

【答案】

【解析】 10

11 19．解法一：

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，

连结SE，则,3.SEABSE

又SD=1，故222EDSESD，

所以DSE为直角。 …………3分

由,,ABDEABSEDESEE，

得AB平面SDE，所以ABSD。

SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以SD平面SAB。 …………6分

（II）由AB平面SDE知，

平面ABCD平面SED。

作,SFDE垂足为F，则SF平面ABCD，

3.2SDSESFDE

作FGBC，垂足为G，则FG=DC=1。

连结SG，则SGBC，

又,BCFGSGFGG，

故BC平面SFG，平面SBC平面SFG。 …………9分

作FHSG，H为垂足，则FH平面SBC。

37SFFGFHSG，即F到平面SBC的距离为21.7

由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有21.7

设AB与平面SBC所成的角为α，

则2121sin,arcsin.77dEB …………12分

解法二：

以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。

设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。

又设(,,),0,0,0.Sxyzxyz则

（I）(2,2,),(,2,)ASxyzBSxyz，(1,,)DSxyz，

由||||ASBS得

合集下载

空间向量在立体几何中的应用教案(教师使用)

空间向量在立体几何中的应用教案(教师使用)

优质资料 欢迎下载

空间向量在立体几何中的应用（一）

授课时间：2014年5月11日第7节课

授课班级：高二（9）班

授课教师：高志华

教学目标

1、知识与技能

(1) 进一步理解向量垂直的充要条件；

(2)利用向量法证明线线、线面垂直；

(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法；

2、过程与方法

通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。

3、情感态度与价值观

通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感，

从而激发学数学、用数学的热情。

教学重点

建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。

教学难点、关键

建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。

教学方法

启发式教学、讲练结合

教学媒体

ppt课件

学法指导

交流指导，渗透指导.

课型

新授课

教学过程 一、知识的复习与引人

自主学习

1.若OP=xi+yj+zk，那么（x，y，z）叫做向量OP的坐标，也叫点P的坐标.

2. 如图，已知长方体DCBAABCD的边长为AB=2,AD=2,

1AA．以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AAADAB,,分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及AC中点G的坐标．

3.设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），那么

ba=（x1±x2，y1±y2， ）， a⊥b⇔ ba=x1x2+y1y2+ =0.

4.设M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2），则 12MM（2121,xxyy， ）

[探究]

1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个．

新教材2025版高中数学第一章空间向量与立体几何1

新教材2025版高中数学第一章空间向量与立体几何1

1．2.1 空间中的点、直线与空间向量

[课标解读] 1.能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量.2.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线位置关系的判定定理.4.体会向量方法在探讨几何问题中的作用．

教材要点

学问点一 用向量表示直线或点在直线上的位置

在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的随意一点P，则有＝ta，上面对量等式叫做空间直线的________．向量a称为该直线的方向向量．

学问点二 用向量方法证明直线与直线平行

1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔________．

2．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面对量定理，可得l∥α或l在α内⇔存在两个实数x，y，使v＝________．

3．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔________．

学问点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2⇔________，cos

θ＝________．

基础自测

1.直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(3，0，1)，v2＝(－1，0，m)，若l1∥l2，则m等于( )

A．1 B．3

C． D．－

2．若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )

A．(2，2，6) B．(1，1，3)

C．(3，1，1) D．(－3，0，1)

3．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是120°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )

A．150° B．120°

C．60° D．30°

4．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量为v1＝(－1，1，2)，直线l2的方向向量v2＝(2，0，1)，则直线l1与l2的位置关系是________．

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义

3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题

1．用向量方法证明空间中的平行关系

(1)证明线线平行

设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．

(2)证明线面平行

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，

平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，

则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

(3)证明面面平行

①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．

②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．

2．用向量方法证明空间中的垂直关系

(1)证明线线垂直

设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

(2)证明线面垂直

设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．

(3)证明面面垂直

若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )

(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )

(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )

第34讲 利用坐标法解决立体几何的角度与距离问题(解析版)

第34讲 利用坐标法解决立体几何的角度与距离问题(解析版)

第34讲 利用坐标法解决立体几何的角度与距离问题

参考答案与试题解析

一．选择题（共1小题）

1．（2021•南岗区校级期中）如图，三棱锥ABCD中，90DABDACBAC，1ABADAC，M，N分别为CD，BC的中点，则异面直线AM与DN所成角余弦值为( )

A．16 B．36 C．56 D．56

【解答】解：三棱锥ABCD中，90DABDACBAC，建立空间直角坐标系，

如图所示：

由于1ABADAC，M，N分别为CD，BC的中点，

所以(0A，0，0)，11(0,,)22M，(0D，0，1)，11(,22N，0)，

则11(0,,)22AM，11(,,1)22DN，

所以异面直线AM与DN所成角余弦值3cos||6||||AMDNAMDN．

故选：B．

二．解答题（共21小题）

2．（2021•凉山州模拟）如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，//ADBC，90BAD，PA底面ABCD，且2PAADABBC，M、N分别为PC，PB的中点．

（1）求证：PBDM；

（2）求二面角AMDC的正弦值．

【解答】解：（1）证明：PA面ABCD，AD面ABCD，ADPA，

90BAD，ADAB，

PAABA，PA，AB面PAB，AD面PAB，

PB面PAB，ADPB，

又PAB中，APAB，N为PB的中点，ANPB，

ANADA，AN，AD平面AND，PB面AND，

又N，M分别为PB，PC的中点，

//MNBC，//BCAD，//MNAD，

N面AND，M面AND，MN面AND，

PBDM．

（2）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

设22PAADABBC，

则(0A，0，0)，(0P，0，2)，(2C，1，0)，(0D，2，0)，(1M，12，1)，