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初中几何48个模型及题型讲解一、直线和角1. 平行线和垂直线的性质平行线的性质包括对应角相等、内错角相等、同旁内角相等，垂直线的性质包括互补角相等、邻补角相等等等。
2. 直线的夹角与邻角两条直线之间的夹角等于它的补角，夹角的补角叫相邻角。
3. 同位角与对顶角同位角相等、对顶角相等。
4. 角的大小关系锐角、直角、钝角的大小关系。
5. 角和角度角的性质包括平分角等。
6. 角的运算法则相等角相加还是相等角；补角与角补加为90°。
7. 顶角和底角的性质同位角相等、顶底角相等。
二、等腰三角形、等边三角形1. 等腰三角形的性质两底角相等，两底边相等等。
2. 等边三角形的性质三边相等、三角也相等等等三、全等三角形1. 全等三角形的基本判定条件AAA、SAS、SSS、ASA四种判定条件。
2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边和对应角相等等等。
四、相似三角形1. 相似三角形的基本判定条件AA、SAS、SSS、AAS四种判定条件。
2. 相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等等等。
五、直角三角形1. 直角三角形的性质勾股定理、边角关系、三边关系等。
2. 解直角三角形的基本方法利用三角函数解决实际问题等。
六、三角形的面积1. 三角形的面积计算公式面积公式S=1/2×底×高等。
2. 多边形的面积计算公式正多边形、梯形、平行四边形、菱形等多边形的面积公式。
七、四边形1. 平行四边形的性质对角线互相平分等。
2. 矩形的性质对角相等、对边相等等。
3. 菱形的性质对角相等、对边相等、对角平分等。
4. 正方形的性质矩形和菱形的结合。
五、圆1. 圆的基本概念圆心、圆周、半径、直径等。
2. 圆的周长和面积周长C=2πr，面积S=πr^2等。
3. 圆中角和弧的关系圆心角、圆周角、同弧对应角等。
4. 切线与切点切线与圆相切于一个点等。
六、坐标系1. 直角坐标系和平面直角坐标系横坐标和纵坐标等。
模型【07】图形变化类【模型分析】解决图形规律题的步骤：（1）标序数——按图号标序；（2）找规律——观察图形，随着序号增加，后一个图形与前一个图形相比，找出图形变化规律，注意变量与不变量，将每个图中所求量的个数表示成与序数有关的式子；（3）验证——代入序号验证所归纳的式子是否正确；【经典例题】例1．（2021·重庆渝北区·八年级期末）如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形……，依此规律，第⑧个图案中有（）个三角形．A．19B．21C．22D．25【分析】由题意可知：第①个图案有3＋1＝4个三角形，第②个图案有3×2＋1＝7个三角形，第③个图案有3×3＋1＝10个三角形，…依此规律，第n个图案有（3n＋1）个三角形，代入n＝8即可求得答案．【解析】∵第①个图案有3＋1＝4个三角形，第②个图案有3×2＋1＝7个三角形，第③个图案有3×3＋1＝10个三角形，…∴第n个图案有（3n＋1）个三角形．当n＝8时，3×8＋1＝25，选D．【小结】考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的变化规律，利用规律解决问题．例2．（2021·北京东城区·八年级期末）如图，30MON ∠=︒，点1234,,,A A A A ，…在射线ON 上，点123,,B B B ，…在射线OM 上，且112223334,,A B A A B A A B A △△△，…均为等边三角形，以此类推，若11OA =，则202120212022A B A △的边长为_______．【分析】根据30MON ∠=︒，11OA =，112A B A △是等边三角形，得11260∠=︒B A A ，进而得1130∠=︒OB A ，1111A O B A ==，可得22OA =，以此类推即可求解．【解析】∵30MON ∠=︒，11OA =，112A B A △是等边三角形，∴11260∠=︒B A A ∴1130∠=︒OB A ∴1111A OB A ==∴22OA =同理：223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形，2222B A OA ==，233342B A OA ===…则202120212022A B A △的边长为20202．【小结】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．例3．（2021·安徽芜湖市·七年级期末）如图，同一行的两个图形中小正方形的个数相等，但它们的排列方式不一样，根据不同的排列方式可以得到一列等式．(12)223+⨯=⨯(123)234++⨯=⨯(1234)245+++⨯=⨯（1）第n 个图形中对应的等量关系是()21231n +++⋯++⨯=⎡⎤⎣⎦______．（2）根据（1）的结论，求24650+++⋅⋅⋅+的值．【分析】（1）根据前三幅图可知右边的式子等于左边括号内最大的数与比它大1数的积；（2）先逆用乘法分配律变形，然后根据（1）中结论计算即可；【解析】（1）∵(12)223+⨯=⨯，(123)234++⨯=⨯，(1234)245+++⨯=⨯，…，∴[]123(1)2(1)(2)n n n +++++⨯=++ （2）246501(5)2322+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+⨯2526650=⨯=【小结】本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．也考查了有理数的混合运算．【巩固提升】1．（2020·浙江台州市·七年级期末）如图，用大小相等的黑色三角形按一定规律拼成如图的图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…，依照此规律，第⑩个图案中黑色三角形的个数为（）A ．50B ．55C ．58D ．61【分析】根据前3个图案中黑色三角形的个数找出规律，利用规律解题即可．【解析】第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，312=+，第③个图案中有6个黑色三角形，6123=++，……第⑩个图案中黑色三角形的个数为1234567891055+++++++++=，选B【小结】本题注意考查图形类规律探索，找到规律是解题的关键．2．（2021·北京房山区·八年级期末）如图甲，直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，……，按此规律作等腰直角三角形n n OA B （1n ≥，n 为正整数），则22A B 的长及20212021OA B 的面积分别是（）A ．2，20202B ．4，20212C ．20202D ．2，20192【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出22A B 的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解20212021OA B 的面积即可．【解析】由题意可得：11OA AB AB ===，12OB =，∵11OA B 为等腰直角三角形，且“直角三角形ABC 三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 关系”，∴根据题意可得：111OA A B ==，∴212OB OA ==，∴22222OA A B ===， ，∴总结出n n OA =，∵111122△OAB S =⨯⨯=，11112△OA B S =，2212222△OA B S =⨯⨯=，∴归纳得出一般规律：1122n n n n n OA B S -=⨯⨯= ，∴2021202120202OA B S = ，选A【小结】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键．3．（2021·山东青岛市·七年级期末）下列图形均是用长度相同的火柴棒按一定的规律搭成，搭第1个图形需要4根火柴棒，搭第2个图形需要10根火柴棒，…，依此规律，搭第10个图形需要________根火柴棒．【分析】由题意，分别求出前面几个的火柴棒数量，然后得到数量的规律，再求出第10个图形的数量即可．【解析】根据题意可知：第1个图案需4根火柴，()4113=⨯+，第2个图案需10根火柴，()10223=⨯+，第3个图案需21根火柴，()18333=⨯+，……，第n 个图案需()3n n +根火柴，则第10个图案需：()10103130⨯+=（根）．【小结】此题考查了平面图形，图形变化规律，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．4．（2021·全国七年级）如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作C 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的周长记作C 2．照此规律作下去，则C 2020＝__．【分析】先计算出C 1、C 2的长，进而得到规律，最后求出C 2020的长即可．【解析】∵E 是BC 的中点，ED ∥AB ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12，AD ＝12AC ＝12，∵EF ∥AC ，∴四边形EDAF 是菱形，∴C 1＝4×12，同理C 2＝4×12×12=4×212，…C n ＝4×12n ，∴20202020201811422C =⨯=．【小结】本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，根据题意得到规律是解题关键．5．（2021·山东青岛市·七年级期末）（问题提出）以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的n 个点，共(4)n +个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？（问题探究）为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手：（探究一）以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的1个点P （如图①），共5个点为顶点显然，此时可把长方形ABCD 分割成________个互不重叠的小三角形．（探究二）以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的2个点P 、Q ，共6个点为顶点，可把长方形ABCD 分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形ABCD 的内部，再添加1个点Q ，那么点Q 的位置会有两种情况：一种情况是，点Q 在图①分割成的小三角形的某条公共边上不妨设点Q 在PB 上（如图②）；另一种情况是，点Q 在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q 在PAB △的内部（如图③）．显然，不管哪种情况，都可把长方形ABCD 分割成________个互不重叠的小三角形．（探究三）长方形ABCD 的4个顶点和它内部的3个点P 、Q 、R ，共7个点为顶点，可把长方形ABCD 分割成________个互不重叠的小三角形请在图④中画出一种分割示意图.（问题解决）以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的n 个点，共(4)n +个点作为顶点，可把原长方形分割成________个互不重叠的小三角形．（实际应用）以梯形的4个顶点和它内部的2021个点作为顶点，可把梯形分割成________个互不重叠的小三角形．（拓展延伸）以五边形的5个顶点和它内部的m 个点，共(5)m +个点作为顶点，可把原五边形分割成________个互不重叠的小三角形．【分析】探究一：根据图形可回答；探究二：根据图形可回答；探究三：根据图形可回答；n ，进而解决问题；问题解决：由探究活动可得规律为2(1)实际应用：把2021代入所得规律，求值即可；拓展延伸：由四边形的规律可得五边形的规律．【解析】探究一：以长方形ABCD的4个顶点和它内部的1个点P，共5个点为顶点显然，此时可把长方形ABCD 分割成4个互不重叠的小三角形．故答案为：4；探究二：如图，不管哪种情况，都可把长方形ABCD分割成6个互不重叠的小三角形．故答案为；6；探究三：长方形ABCD的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形ABCD分割成8个互不重叠的小三角形问题解决：以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的1个点，共5个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：4=2（1+1）．以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的2个点，共6个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：6=2（2+1）．以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的3个点，共7个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：8=2（3+1）．所以，以长方形ABCD 的4个顶点和它内部的n 个点，共(4)n +个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：2（n +1）．实际应用：当n =2021时，以梯形的4个顶点和它内部的2021个点作为顶点，可把梯形分割成互不重叠的小三角形2（2021+1）=4044个．拓展延伸：根据前面的解决问题可知：以五边形的5个顶点和它内部的m 个点，共(5)m +个点作为顶点，可把原五边形分割成互不重叠的小三角形个数为（2m +3）个．故答案为：（2m +3）【小结】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键．6．（2021·青岛实验学校九年级期末）在平面直角坐标系中，点A 从原点O 出发，沿x 轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点1234,,,A A A A 的坐标分别为()()()()12340,0,1,12,03,1A A A A -，按照这个规律解决下列问题：()1写出点5678,,,,A A A A 的坐标；()2点2018A 的位置在_____________(填“x 轴上方”“x 轴下方”或“x 轴上”)；()3试写出点n A 的坐标(n 是正整数)．【分析】()1可根据点在图形中的位置及前4点坐标直接求解；()2根据图形可知点的位置每4个数一个循环，20184504...2÷=，进而判断2018A 与2A 的纵坐标相同在x 轴上方，即可求解；()3根据点的坐标规律可分4种情况分别写出坐标即可求解．【解析】（1）由数轴可得：()54,0A ，()65,1A ，()76,0A ，()87,1A -；（2）根据图形可知点的位置每4个数一个循环，20184504...2÷=，2018A ∴与2A 的纵坐标相同，在x 轴上方，故答案为：x 轴上方；（3）根据图形可知点的位置每4个数一个循环，每个点的横坐标为序数减1，纵坐标为0、1、0、-1循环，∴点n A 的坐标(n 是正整数)为A （n -1,0）或()1,1A n -或()1,0A n -或()1,1A n --．【小结】本题主要考查找点的坐标规律，点的坐标的确定，方法，根据已知点的坐标及图形总结点坐标的变化规律，并运用规律解决问题是解题的关键．。
高考数学中的空间立体几何问题解析在高考数学中，空间立体几何是考试中出现频率比较高的一类题型。
空间立体几何的基础是空间坐标系和三维图形的构造，主要包括点、线、面、体及其相互关系的研究，其中点之间的位置关系是空间立体几何的核心。
在考场上要想熟练地解决这些问题，需要掌握一定的思维方法和解题技巧。
一、空间立体几何的基础1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系是立体坐标系的一种，它把三维空间分成了三个相互垂直的坐标轴：x轴、y轴和z轴。
在立体坐标系中，一个点的位置用三个有序实数来表示，这三个实数分别代表这个点到三条坐标轴的距离。
2. 点、线、面、体：点是空间最基本的要素，它是一个没有大小的点。
线是两个点间最短距离的轨迹，其长度可以用两点间的距离表示。
面是三个或三个以上不共线的点所决定的平面。
体是由若干个平面围成的空间几何图形，常见的体有球、立方体、棱锥等。
3. 空间几何图形的构造：空间几何图形的构造是解决空间立体几何问题的第一步，这需要我们根据题目所描述的条件，构造出相应的点、线、面、体。
二、重要的空间直线和平面1. 方向余弦：空间直线的方向可以用方向余弦来表示。
方向余弦是指由一条直线的方向向量在坐标轴上的投影所组成的数列。
如一条直线的方向向量为(a,b,c)，则它在x轴、y轴、z轴上的方向余弦分别为a、b、c。
2. 平面的解析式：平面方程的解析式就是由平面上的一点和该平面的法向量所组成的方程。
常见的平面方程包括一般式、点法式、两点式和截距式。
3. 空间直线的位置关系：空间直线有共面、平行和相交等三种位置关系。
两条直线共面的条件是它们的方向向量能够表示出一个平面。
三、空间几何图形的计算1. 空间几何图形的面积和体积：空间几何图形的面积和体积是解决空间立体几何问题的关键。
求一些固定图形的面积和体积可以用公式解决，如正方体的面积和体积、正三角形的面积、球体的表面积和体积等等。
2. 点到线段的距离：点到线段的距离是解决空间立体几何问题的常见问题，它可以用勾股定理和向量相乘来求解。
空间解析几何空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它是研究空间内点、直线、平面等几何元素的相互关系和性质的数学分支。
在空间解析几何中，我们通过向量和坐标等工具来描述和分析空间内的几何问题。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常用方法和一些实际应用。
基本概念在空间解析几何中，我们通常使用三维笛卡尔坐标系来描述空间内的几何元素。
点在空间中用其三维坐标(x,y,z)来表示，直线可用参数方程、点向式方程或标准式方程等来表示，平面则通常用点法式方程表示。
在空间解析几何中，向量是一个非常重要的概念，它能够很好地描述空间内的方向和长度。
方法和技巧解析几何中有很多方法和技巧可以应用到空间解析几何中。
例如，我们可以通过向量的线性运算来求解点到直线的距离，通过向量的数量积和向量积来判断点和直线、平面的位置关系，通过方向比值来判断两直线的平行性或垂直性等。
此外，我们还可以利用三角函数和投影的概念来解决一些空间几何中的问题。
实际应用空间解析几何不仅仅是一种理论工具，它在实际应用中也具有广泛的意义。
在工程建筑中，空间解析几何可以帮助工程师设计和规划建筑物的结构和布局；在航天航空领域，空间解析几何可以帮助科学家研究轨道、飞行路径等问题；在计算机图形学中，空间解析几何是实现三维模型和动画的重要基础。
总的来说，空间解析几何是一门极具实用性的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过掌握空间解析几何的基本概念和方法，我们可以更好地理解和解决空间内的几何问题，为我们的工程设计和科学研究提供有力的支持。
以上是关于空间解析几何的简要介绍，希望对读者理解和学习空间解析几何有所帮助。
愿大家在空间解析几何的世界中能够不断探索、学习和创新，为数学事业的发展贡献自己的力量。
空间解析几何应用题解析解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中的点、直线、平面和曲面等几何元素之间的关系和性质。
空间解析几何的应用题是解析几何的一种实际问题，通常需要运用坐标系、向量和方程等方法进行求解。
本文将通过几个空间解析几何应用题来探讨其解题方法和思路。
题目一：过点A(1,2,3)且平行于直线l1：x-1/2=y/3=z-5/4的平面方程。
解析：要求解过点A(1,2,3)且平行于直线l1：x-1/2=y/3=z-5/4的平面方程。
首先，我们需要确定平面的法向量。
由于平面平行于直线l1，故直线l1的方向向量也是平面的法向量。
直线l1的方向向量为(1/2, 1/3, 5/4)。
知道平面的法向量后，我们可以利用点法式求解平面方程。
设平面的法向量为n=(A,B,C)，平面上一点为P(x,y,z)，则平面方程可表示为Ax+By+Cz+D=0，其中D为常数。
由于平面过点A(1,2,3)，代入平面方程得到：A*1 + B*2 + C*3 + D= 0，即A + 2B + 3C + D = 0。
然后，将平面的法向量(1/2, 1/3, 5/4)代入，得到方程：1/2 * A + 1/3 * B + 5/4 * C = 0。
我们可以得到一个平面方程的方程组：A + 2B + 3C +D = 01/2 * A + 1/3 * B + 5/4 * C = 0进一步化简方程组，可以求解出平面方程的解。
题目二：已知点A(1,2,3)和点B(-1,3,4)，求直线AB的方程。
解析：要求直线AB的方程，我们可以用两点确定一条直线的方法。
点A(1,2,3)和点B(-1,3,4)确定了直线AB。
直线上两点的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)。
我们可以使用参数方程表示直线的方程：x = x1 + t(x2-x1)y = y1 + t(y2-y1)z = z1 + t(z2-z1)这里，t是一个参数，可以取任意实数。
解说立体几何中的“坐标法”江苏省姜堰中学张圣官（225500）空间直角坐标系是现行高中数学新增加的内容，在使用上就是把空间的点、向量先用坐标表示，然后利用坐标来计算有关角的大小与线段的长度，或者判断与证明线线、线面以及面面的位置关系。
利用“坐标法”解（证）立体几何题，所作的辅助线明显比纯几何推理需要作的要少，且思路简单明了，更易于程序化来解题。
用“坐标法”解题是数与形结合的典范，它特别适用于易于建立空间直角坐标系的图形（如正方体等）。
下面分别介绍在空间直角坐标系中如何确定点的坐标、常见特殊点的坐标特点及利用“坐标法”解（证）立体几何题的步骤。
一、如何确定空间点的坐标空间点的坐标是有序实数对(x,y,z)，其中的三数x,y,z包含坐标的符号与坐标的绝对值。
要确定一个点的坐标，应先判断三个坐标的符号，然后再确定三个坐标的绝对值。
1．点的坐标的符号判断点在坐标平面上的射影位于坐标轴的正方向，则这点对应的坐标的符号为正，否则符号为负。
如点位于x轴正方向，则横坐标为正；点位于z轴负方向，则竖坐标为负。
2．点的坐标的绝对值确定过这个点向三个坐标平面作垂线，看垂线段平行于哪个轴，则这条线段的长度就是该点的绝对值。
如这条垂线段平行于y轴且长度为a，则点的纵坐标的绝对值是a；如这条垂线段平行于z轴且长度为a，则点的竖坐标的绝对值是a 。
二、常见特殊点的坐标特点1．坐标轴上点的坐标的特点①x轴上的点的纵坐标和竖坐标均为0，形如（a，0，0）；②y轴上的点的横坐标和竖坐标均为0，形如（0，a，0）；③z轴上的点的横坐标和纵坐标均为0，形如（0，0，a）。
2．坐标平面上点的坐标的特点①XOY平面上所有点的竖坐标是0，形如（a，b，0）；②YOZ平面上所有点的横坐标是0，形如（0，a，b）；③ZOX平面上所有点的纵坐标是0，形如（a，0，b）。
三、利用“坐标法”解（证）立体几何题的步骤第一步，建立坐标系通常取垂直且相交于同一点的三条直线作为三条坐标轴，它们的交点作为原点，并选取适当的单位长度；第二步，表示点的坐标将题中相关点（即在问题中出现的且要求的点）用坐标表示，这一步是解（证）题的关键；第三步，表示向量的坐标根据点的坐标可以求出所需要的向量的坐标，即用向量终点的坐标减去起点的坐标；第四步，求出问题的解将点或向量的坐标代入公式（如两向量的夹角公式等）；第五步，作出结论根据上一步所求得的结果，作出问题的正确结论。
雅可比坐标形式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述雅可比坐标形式（Jacobian coordinates）是一种坐标表示方法，常用于描述几何图形中的点和曲线。
它在计算机图形学、计算机辅助设计以及几何问题求解中发挥着重要的作用。
随着计算机技术的不断发展，几何计算成为了各个领域中必不可少的一部分。
而雅可比坐标形式作为一种基础的数学工具，可以帮助我们更方便地描述和计算几何图形中的点和曲线的性质。
雅可比坐标形式的定义是通过引入一个额外的坐标来表示原来曲线上的点，从而将原来的二维或三维坐标系扩展到更高维度。
在该坐标系下，我们可以使用一组参数来表示点的位置，而不再局限于传统的笛卡尔坐标系。
雅可比坐标形式有很多优势。
首先，它可以简化曲线和点的运算。
在传统的笛卡尔坐标系下，我们需要复杂的计算公式来描述点的运动和变形，而在雅可比坐标形式下，这些计算可以通过简单的矩阵运算来实现。
此外，雅可比坐标形式还可以用来描述射影几何和非欧几何空间中的点，这些在传统的坐标形式中很难表示。
它为我们研究和解决各种复杂几何问题提供了一种新的方法。
本文将详细介绍雅可比坐标形式的定义和背景，并探讨其在几何问题求解和计算机图形学中的应用。
我们将详细解释雅可比矩阵的性质和计算方法，并举例说明雅可比坐标形式在点和曲线的运算中的实际应用。
在正文部分，我们将对具体的子章节进行讨论，以更深入地了解雅可比坐标形式的各个方面。
最后，在结论部分，我们将对本文进行总结，讨论结果并展望雅可比坐标形式在未来的发展前景。
通过本文的学习，读者将能够掌握雅可比坐标形式的基本概念和相关算法，从而在相关领域中运用这一工具解决实际问题。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行叙述。
首先，在引言中，我们将对雅可比坐标形式的定义和背景进行概述。
接下来，我们将详细介绍雅可比矩阵及其性质，以便读者能够更好地理解雅可比坐标的应用。
然后，我们将在正文部分分别讨论雅可比坐标形式的四个子章节，这些子章节将介绍不同方面的应用实例和相关概念。
建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．常用公式：1、求线段的长度：AB AB x2y2z2x2x12y2y12z2z12|PM n|2、求P点到平面的距离：PN ，（N为垂足，M为斜足，n 为平面的法向量）|n||PM n|3、求直线 l 与平面所成的角：|sin |，（PM l , M , n 为的法向量）|PM| |n||AB CD|4、求两异面直线AB 与CD的夹角：cos|AB| |CD||n1 n2 |5、求二面角的平面角：|cos | ，（n1，n2为二面角的两个面的法向量）|n1| |n2 |S射影6、求二面角的平面角：cos ，（射影面积法）S7、求法向量：①找；②求：设a,b 为平面内的任意两个向量，n （ x, y,1）为的法向量，a n 0则由方程组，可求得法向量n ．b n 0高中新教材9（B）引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。
而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。
一﹑直接建系。
当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。
例1. （2002 年全国高考题）如图，正方形ABCD﹑ABEF的边长都是1，而且平面ABCD﹑ABEF互相垂直。
点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN（=a0 a 2 ）。
（1）求MN的长；（2）当a 为何值时，MN的长最小；（3）当MN最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小。
解：（1）以B为坐标原点，分别以BA﹑BE﹑BC为x﹑y﹑z 轴建立如图所示的空即M﹑N 分别移动到AC﹑BF的中点时，MN的长最小，最小值为2 （3）取MN的中点P，连结AP﹑BP，因为AM=A，N BM=B，N 所以AP⊥MN，BP⊥MN，∠ APB即为二面角α的平面角。
1【知识梳理】一、空间向量的概念及相关运算1、空间向量基本定理、空间向量基本定理如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p xa yb zc =++u r r r r,,a b c r r r称为基向量。
称为基向量。
2、空间直角坐标系的建立、空间直角坐标系的建立分别以互相垂直的三个基向量k j i ρρρ,,的方向为正方向建立三条数轴：x 轴，y 轴和z 轴。
则轴。
则a xi y j zk =++r r r r（x,y,z ）称为空间直角坐标。
）称为空间直角坐标。
注：假如没有三条互相垂直的向量，需要添加辅助线构造，在题目中找出互相垂直的两个面，通过做垂线等方法来建立即可。
建立即可。
3、空间向量运算的坐标表示、空间向量运算的坐标表示(1)若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==r r ，则：()121212,,a b x x y y z z ±=±±±r r()111,,a x y z λλλλ=r 121212a b x x y y z z ⋅=++r r 错误!未找到引用源。
121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===r r r r222111a a a x y z =⋅=++r r r ．a b ⋅r r =a rcos ,b a b 〈〉r r r ．cos ,a b a b a b ⋅〈〉=r r r r r r121212222222111222cos ,x x y y z za b a b ab x y z x y z ++⋅〈〉==++⋅++r r r r r r (2)(2)设设()()111222,,,,,A x y z B x y z ==则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---u u u r r r(3)()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则()()()222212121d x x y y z zAB =AB =-+-+-u u u r二、应用：平面的法向量的求法：1、建立恰当的直角坐标系、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n =（x ，y ，z ）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a =（a1，a2, a3） b =（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n*a =0 ②n*b =05、解方程组，取其中一组解即可。
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何图形和其性质。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常见图形以及解析方法，帮助读者更好地理解和应用空间解析几何。
一、基本概念在空间解析几何中，我们使用坐标系来描述点、直线、平面等几何对象。
一般常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
直角坐标系中，我们使用三个坐标轴x、y、z来确定一个点的位置。
柱面坐标系中，我们使用极坐标和一个垂直轴来确定一个点的位置。
通过坐标系，我们可以得到点的坐标、距离和角度等信息。
二、常见图形1. 点：空间中的一个点可以通过其坐标表示。
例如，点A(2,3,4)表示空间中的一个点，它的x坐标为2，y坐标为3，z坐标为4。
2. 直线：空间中两个不重合的点可以确定一条直线。
直线可以用参数方程、对称式、一般式等形式表示。
3. 平面：平面是由三个不共线的点所确定的。
平面可以用一般式、点法式等形式表示。
4. 球：由空间中的一个固定点和到该点距离等于定值的所有点构成的集合称为球。
5. 圆柱体：由一个闭合的曲线和平行于该曲线的直线段所围成的曲面称为圆柱体。
圆柱体可以通过其底面半径、高和母线方程等参数表示。
三、解析方法在空间解析几何中，我们可以使用向量、点法式、平面截距式等方法来求解各种几何问题。
1. 向量：向量是空间解析几何中一个重要的工具。
它可以用来表示线段、直线的方向和长度等信息。
通过向量，我们可以进行向量加法、减法、内积、外积等运算，用来求解直线的夹角、垂直平分线等问题。
2. 点法式：点法式是求解平面方程的一种方法。
它通过平面上的一点和法向量来表示平面的方程。
利用点法式，我们可以求解平面的交点、两平面的夹角等问题。
3. 平面截距式：平面截距式可以用来表示平面上与坐标轴相交的三个截距，通过截距可以确定平面的位置和方程。
我们可以利用平面截距式来求解平面的方程、直线与平面的交点等问题。
通过以上的解析方法，我们可以将空间解析几何中的各种问题转化为代数方程或方程组求解，从而得到几何图形的性质和关系。
如何用坐标法解空间几何题专题（中保高中2017届1，2班） 徐学松 2017.5模型思考空间几何中涉及的定义、定理和性质比较多，在解决综合问题时，运用多个定义、定理和性质形成的综合题时，遇到多种多样的题型，每一种题型的解法又有多种.学习和记忆名目繁多的题型和解法直接影响了学习立体几何的兴趣和效率.有没有一种比较统一的方法，能够使得解题过程比较一致，变化不多的模型呢？使得学生解题流程固定，方法比较简单，从而使学生解题思路流畅，正确率提高呢.坐标法作为一种工具，在解决立体几何问题中有着无比的优越性．运用坐标法解题，可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路直观明了，模式固定，流程明了. 模型例析例1.（线线平行）已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，求满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标．解模与识模:这道题是一道线与线平行的问题.可设点D 坐标为(x ，y ，z)， 则−→−DB = (－x ，1－y ，－z)，−→−AC = (－1，0，2)，−→−DC = (－x ，－y ，2－z)，−→−AB = (－1，1，0)．∵DB ∥AC ，DC ∥AB ，∴−→−DB ∥−→−AC ，−→−DC ∥−→−AB ．即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=--.02,11,01,21z y x y z x⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=.2,1,1z y x ，即此时点D 的坐标为(－1，1，2)．从这道题的推理过程可以看到在建立了坐标系的情况下,得到各点的坐标后,就能得到有关向量的坐标,根据向量的平行,利用公式建立方程组.这里的公式是若()111,,z y x a =→,()222,,z y x b =→,且222,,z y x 均不为零,→→b a //⇔212121z zy y x x ==.进而达到求解的目的. 例2（线线垂直）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，求证：1OA ⊥AM ．解模与识模: 直线与直线的垂直可以转化为直线的方向向量互相垂直.设直线a ,b 的方向向量分别是()111,,z y x a =→,()222,,z y x b =→,a ⊥b ⇔→a⊥→b ⇔0212121=++z z y y x x .要想利用坐标法解决这一问题首先要建立空间坐标系.常见几何体的建系方法：1.找两条互相垂直且相交的直线确定“水平面”（即x O y 平面），一条为x 轴，一条为y 轴；2.找与“水平面”垂直的直线确定为z 轴.通常做法：（1）直接找到与“水平面”垂直的直线为z 轴；（2）找与“水平面”垂直的平面，垂面内与“水平面”交线的垂线即为z 轴； （3）过两垂线的交点直接作出“水平面”的垂线；（4）过两垂线的交点构造“水平面”的两个两个垂面，两垂面的交线为z 轴.在建系的过程中，一般的借助正方体、侧棱和底面垂直的棱锥、直棱柱等等. 如图建立右手直角坐标系.设正方体的棱长为1个单位，则A(1，0，0)，A 1(1，0，1)，M(0，0，21)，O(21，21，0)．∴−→−1OA =−→−1DA －−→−DO = (21，－21，1)， −→−AM =−→−DM －−→−DA = (－1，0，21)， xCC 1D 1 ABA 1B 1DOM yzxy zO（1）xyzO（2）xyzO（3）Oxy z（4）∵−→−1OA ·−→−AM =21×(－1)＋(－21)×0＋1×21= 0，∴−→−1OA ⊥−→−AM ，∴1OA ⊥AM ．例3(线面垂直)如图，已知四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是CD 、SC 的中点，SA ⊥底面ABCD ，SA =AD =1，AB =2．求证：MN ⊥平面ABN ． 解模与识模:第（I ）问是证明直线与平面垂直问题,又直线与平面垂直的判定定理可知,只需要证明这条直线与平面内两条相交直线垂直就可以了,转化为证明这条直线的方向向量垂直于平面内两条直线的方向向量.以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AD 为z 轴的空间直角坐标系，如图所示. 则依题意可知相关各点的坐标分别是：A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，1，0），D （0，1，0），S （0，0，1）).21,21,22(),0,1,22(N M ∴ ).21,21,22(),0,0,2(),21,21,0(==-=∴AN AB MN .,.0,0AN MN AB MN AN MN AB MN ⊥⊥∴==⋅==⋅∴∴MN ⊥平面ABN .例4（线面平行、面面垂直、二面角）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E为侧棱SC 上一点. （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由.解模与识模:本题第（Ⅰ）问是解决线面平行问题. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2，建立如图直角坐标系.则(0, 0, 0)O ，(0, 0, 2)S ，()2, 0, 0A，()0, 2, 0B ，()2, 0, 0C -，()0, 2, 0D -.所以()22, 0, 0AC =-，()0, 22, 0BD =-.因为1=CE ，由已知可求得45ECO ∠=︒.OS ABCDE所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22,0,222E ，=BE ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-22,2,222. 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，则0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0222222,0z y x y 令1z =，得n =()1,0,1. ()2,0,2-=AS .n ·0202=++-=AS .所以n ⊥AS . 所以SA ∥平面BDE .这一问完整地体会了坐标法的整个过程. 第一步,建立恰当的空间直角坐标系; 第二步求出相关点的坐标: 第三步,写出向量的坐标; 第四步,选择适当的公式进行论证、计算; 第五步,转化为几何结论.第四步中着重计算了面BDE 法向量,n ·AS =0推出SA ∥平面BDE .求法向量的步骤：第一步,找平面内的任意两个不共线向量,设a ，b 为平面α内的任意两个向量;第二步,设n=（x, y, 1）为α的法向量，则由方程组⎩⎨⎧=⋅=⋅00n b n a ,求得法向量n ．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）中坐标易知SO ABCD ⊥面，AC BD ⊥.设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=︒. 所以22(2, 0, )22E a a -+，22(2, 2, )22BE a a =-+-. 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，则0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0, 22(2)20.22y a x y az =⎧⎪⎨-+-+=⎪⎩ 令1z =，得(, 0, 1)2aa=-n . 易知()0, 22, 0BD =-是平面SAC 的法向量.Oyz xSABCDE因为(, 0, 1)(0, 22, 0)02aBD a⋅=⋅-=-n ， 所以BD ⊥n ，所以平面BDE ⊥平面SAC .本题的解决可以总结出利用向量法证明面与面垂直的过程中的第四部核心是证明一个平面的法向量垂直于另一个平面内的一条直线,同时也可以证明两个平面的法向量的数量积为零去证明两个平面互相垂直.（Ⅲ）设二面角βα--l 中,平面α、β的法向量是),,(111z y x a =,),,(222z y x b =， 则222222212121212121||||cos z y x zy x z z y y x x b a b a b a ++++++=∙>=<,，设二面角βα--l 的大小为θ，则=θcos ><b a ,cos 或=θcos -><b a ,cos . 设CE a =（02a <<），由（Ⅱ）可知，平面BDE 法向量为(, 0, 1)2aa=-n . 因为SO ABCD ⊥底面，所以(0, 0, 2)OS =是平面ABCD 的一个法向量. 由已知二面角E BD C --的大小为45︒. 所以2cos , cos 452OS 〈〉=︒=n ， 所以2222()122a a=+⋅-，解得1a =. 所以点E 是SC 的中点.例5（线线成角）如图，在三棱锥ABC D -中,ACB ADC ∆∆,均为等腰直角三角形CD AD =2=，,90 =∠=∠ACB ADC M 为线段AB 的中点，侧面⊥ADC 底面ABC . 求异面直线BD 与CM 所成 角的余弦值；解模与识模: 如果两异面直线AB 与CD 的方向向量分别是AB 、CD ，直线AB 与CD 的夹角为θ，就有||||||cos CD AB CD AB ∙∙=θ．取AC 的中点为O ，连结OM DO ,.建立空间直角坐标系xyz O -如图所示.则)0,0,1(A ，)0,0,1(-C ，)1,0,0(D ，)0,2,1(-B ，).0,1,0(M)0,1,1(),1,2,1(=-=CM BD ，6326021||||,cos -=⋅+-=⋅>=<CM BD CM BD CM BD所以异面直线BD 与CM 所成角的余弦值为.63 例6（线面成角）如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ，侧棱长为a 2. （1）建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； （2）求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.解模与识模:建立如图的坐标系，来确定所求点的坐标.取A 1B 1中点M ，因为三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱,则CM 是平面ABB 1A 1的一个法向量, 求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角转化为求1AC 与CM 的夹角的余角.于是求直线l 与平面α所成的角：|||||||sin |n PM n PM ∙∙=θ，（P 、M ∈l ，n 为α的法向量）．（1）以A 为坐标原点，AB 所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，以过原点且垂直于平面的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图3.则A （0，0，0）、B （0，a ，0）、A 1（0，0，a 2）、C 1（a a2,2,23-） （2）取A 1B 1的中点M ，则M （0，2a，a 2）连AM 、MC 1，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,0,231a MC ， a MC 23||1=，因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a AC 2,2,231， a AC 31=;设AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角θ.于是有a a a a a a MC AC 32320202323,cos sin 11⋅⋅+⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=><=θ=21. 所以AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.例7（异面直线距离、线面之间的距离）已知：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为AB 中点， Q 为BC 中点，AA 1=a, O 为正方形ABCD 的中心. （1）求PQ 与C 1O 间的距离； （2）求BC 到面A 1D 1P 的距离解模与识模：P 和O 分别是异面直线PQ 与C 1O 上两点,设与异面直线PQ 与C 1O 的方向向量都垂直的向量1n 叫做异面直线PQ 与C 1O 的法向量,那么,OP 在异面直线PQ 与C 1O 的法向量1n 上的投影就是异面直线PQ 与C 1O的距离.即就是11n n OP d ∙=.由此可以推出,要求平行于平面A 1D 1P 的直线BC 到平面A 1D 1P 的距离,即就是求BP 在平面A 1D 1P 的法向量2n 上的投影22n n BP d ∙=.⑴异面直线PQ 与C 1O 的法向量)0,1,1(1=n ，OP =(2a,0,0)，∴异面直线PQ 与C 1O 的距离4211an n OP d =∙=⑵点B 到平面A 1D 1P 的距离等于BC 到面A 1D 1P 的距离,ABC D A 1 B 1C 1D 1PQOxyz面A 1D 1P 的一个法向量2n =(0,2,1)，BP =(0,2a -,0) ∴BC 到面A 1D 1P 的距离5522an n BP d =∙=. 模型归纳:坐标法确实是处理立体几何问题的重要方法．作为坐标法的主要技巧，是将相关向量表示为坐标的形式，把问题转化为代数的运算，这与把空间图形关系转化为平面图形关系的传统解法相比，显然是更高的思维方式，它抓住了空间的主要特征和其内在规律，使“纷繁复杂的现象变得井然有序．”利用坐标法的解题流程是：说明： 步骤（1）：常见几何体的建系方法：借助正方体、侧棱和底面垂直的棱锥、直棱柱等等.1.找两条互相垂直且相交的直线确定“水平面”（即x O y 平面），一条为x 轴，一条为y 轴；2.找与“水平面”垂直的直线确定为z 轴.通常做法（1）直接找到与“水平面”垂直的直线为z 轴；（2）找与“水平面”垂直的平面，垂面内与“水平面”交线的垂线即为z 轴.（3）过两垂线的交点直接作出“水平面”的垂线，（4）过两垂线的交点构造“水平面”的两个两个垂面，两垂面的交线为z 轴. 步骤（2）：和结论相关的点就是直接的相关点，在求解过程中需要求坐标的点也可以认为是相关点. 步骤（3）：得到相关点以后，由相关点坐标就得到了有关的向量的坐标.步骤（4）空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量的平行与垂直问题来. 解决．（1）设a ，b 分别为直线a ，b 的一个方向向量，那么a ⊥b ⇔a ⊥b ⇔ a ·b =0；（2）若()111,,z y x a =→,()222,,z y x b =→,且222,,z y x 均不为零,→→b a //⇔212121z z y y x x == （3）设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，那么l ⊥α⇔a ∥b ；（1）建立恰当的空间直角坐标系 （2）求出相关点的坐标 （3）写出向量的坐标 （4）选择适当的公式进行论证、计算(在以上的模型中选择) （5）转化为几何结论（4）设a ，b 分别为平面α，β的一个法向量，那么α⊥β⇔a ⊥b ⇔ a ·b =0． （5）设a ，b 为平面α内的任意两个向量，n =（x , y , 1）为α的法向量，则由方程组⎩⎨⎧=⋅=⋅0n b n a 可求得法向量n ． 空间线线成角、线面成角和二面角可以转化为向量成角的问题来解决.（1）如果两异面直线AB 与CD 的方向向量分别是AB 、CD ，直线AB 与CD 的夹角为θ，就有||||||cos CD AB CD AB ∙∙=θ．（2）直线l 与平面α所成的角为θ：|||||||sin |n PM n PM ∙∙=θ，（P 、M ∈l ，n 为α的法向量）.（3）二面角βα--l 中,平面α、β的法向量是),,(111z y x a =,),,(222z y x b =，则222222212121212121||||cos z y x zy x z z y y x x b a b a b a ++++++=∙>=<,，设二面角βα--l 的大小为θ，则=θcos ><b a ,cos 或=θcos -><b a ,cos .空间中点到面的距离、异面直线间的距离以及线到面的距离可以转换成某一向量在法向量上的射影.（1）P 是平面α外一点，O 在平面α内，向量n 是平面α的一个法向量,P 到平面α的距离nn OP d ∙=.（2）异面直线a ,b 上各有一点O 、P , 向量n 是异面直线a ,b 的一个法向量, 异面直线a ,b的距离nn OP d ∙=.（3）直线AB//平面α,点O 在平面α内, 向量n 是平面α的一个法向量,直线AB 到平面α的距离nnAO d ∙=.。
