2.9 函数与方程
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§2.9 函数与方程
一、填空题
1．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
解析 设f(x)＝2x＋x－10，则由f(2)＝－4＜0，f(3)＝1＞0，所以f(x)的零点在(2,3)内．
答案 2
2．已知a是函数f(x)＝2x－log12x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足________(与零的关系)．
解析 因为f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f(a)＝0，于是由0＜x0＜a，得f(x0)＜f(a)＝0，即f(x0)＜0.
答案 f(x0)＜0
3．若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
解析 由f(x)＝ax＋b有零点2，得2a＋b＝0(a≠0)，代入g(x)，得g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，它有零点x＝0和x＝－12.
答案 0，－12
4．设函数y(x)＝13x－ln x(x＞0)，则函数f(x)在区间(0,1)，(1，＋∞)内的零点个数分别为________．
解析 设y＝13x与y＝ln x，作图象可知f(x)在区间(0,1)内无零点，在
(1，＋∞)内仅有两个零点．
答案 0,2
5．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．
解析 ∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知 －2＋3＝－a，－2×3＝b，∴ a＝－1，b＝－6，
∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0，
即－(4x2＋2x－6)＞0⇔2x2＋x－3＜0，
解集为x －32＜x＜1.
答案 x －32＜x＜1
6.已知函数()421xxfxm有且只有一个零点,则实数m的值为 .
解析 由题知:方程4210xxm只有一个零点.令2(0)xtt
∴方程210tmt只有一个正根.
∴由图象(图略)可知20240mm
∴m=-2.
答案 -2
7．已知函数f(x)＝ 2x－1，x＞0，－x2－2x，x≤0.若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析 画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即f(x)与y＝m的图象的交点有3个，
∴0＜m＜1.
答案 (0,1)
8．偶函数f(x)在区间为[0，a](a＞0)上是单调，函数，且f(0)·f(a)＜0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是________．
解析 由f(0)·f(a)＜0，且f(x)在[0，a](a＞0)上单调，知f(x)＝0在[0，a]上有一根，又函数f(x)为偶函数，f(x)＝0在[－a,0]上也有一根． 所以f(x)＝0在区间[－a，a]内有两个根．
答案 2
9．设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a.若存在x0∈R，使得f(x0)＜0与g(x0)＜0同时成立，则实数a的取值范围是________．
解析 g(x)＝ax－2a＝a(x－2)，
当a＜0时，x＞2，由f(2)＜0，得4－2a＋a＋3＜0，a＞7，舍去；
当a＞0时，x＜2，由f(2)＜0，得4－2a＋a＋3＜0，a＞7.
综上，a∈(7，＋∞)．
答案 (7，＋∞)
10.若二次函数2yaxbxc中ac<0,则函数的零点个数是______个．
解析 令20axbxc
因0a判别式240bac故函数必有两个零点.
答案 2
11．已知函数f(x)＝1＋x－x22＋x33－x44＋„＋x2 0112 011，g(x)＝1－x＋x22－x33＋x44－„－x2 0112 011，设F(x)＝f(x＋3)·g(x－3)，且函数F(x)的零点均在区间[a，b]
(a＜b，a，b∈Z)内，则b－a的最小值为________．
解析 由f′(x)＝1－x＋x2－x3＋„＋x2 010＝1＋x2 0111＋x，则f′(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)＝1＞0，f(－1)＜0，从而f(x)的零点在(－1,0)上；同理g(x)为减函数，零点在(1,2)上，∴F(x)的零点在(－4，－3)和(4,5)上，要区间[a，b]包含上述区间(b－a)min＝9.
答案 9
12．若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数f(x)的图象上；
②P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与(Q，P)看作同一个“友好点对”)． 已知函数f(x)＝ 2x2＋4x＋1，x＜0，2ex，x≥0，
则f(x)的“友好点对”有________个．
解析 根据题意：“友好点对”，可知，只须作出
函数y＝2x2＋4x＋1(x＜0)的图象关于原点对称的图象，
看它与函数y＝2ex(x≥0)交点个数即可．
如图，
观察图象可得：它们的交点个数是：2.
即f(x)的“友好点对”有：2个．
答案 2
13．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________．
解析 因为Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1∉(2,3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)·f(3)＜0，即2＜k＜3.
答案 (2,3)
二、解答题
14．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
解析 (1)当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．
(2)当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－14.
综上，当a＝0或a＝－14时，函数仅有一个零点．
15．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
解析 令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14， 依题意得 m＞0，f＜0或 m＜0，f＞0，即 m＞0，26m＋38＜0
或 m＜0，26m＋38＞0.解得－1913＜m＜0，
即实数m的取值范围是－1913，0.
16已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
思路分析 由题意可知，方程4x＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．
解析 ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，
t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
∴这种情况不符合题意．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题．
17．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间
[－1,1]上有零点，求a的取值范围．
解析 当a＝0时，函数f(x)＝2x－3的零点x＝32∉[－1,1]．
当a≠0时，函数f(x)在[－1,1]上的零点可能有一个与两个这两种情况．
①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，则有 Δ＝4－8a－3－a＞0，f－f＝a－a－或
Δ＝4－8a－3－a＝0，－1≤－12a≤1，
解得1≤a≤5或a＝－3－72.
②函数在区间[－1,1]上有两个零点，则有
a＞0Δ＝4－8a－3－a＞0，－1＜－12a＜1，f，f－
或 a＜0，Δ＝4－8a－3－a＞0，－1＜－12a＜1，f，f－，
解得a＜－3－72或a≥5.
综上，得a的取值范围是－∞，－3－72∪[5，＋∞)．
18．(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；
(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．
解析 (1)①f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.
②法一 设f(x)的两个零点分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4. 由题意，知 Δ＝4m2－m＋＞0，x1＋x2＋＞0，x1＋＋x2＋＞0⇔
m2－3m－4＞0，3m＋4－2m＋1＞0，－2m＋2＞0⇔ m＞4或m＜－1，m＞－5，m＜1，
∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．
法二 由题意，知 Δ＞0，－m＞－1，f－＞0，即 m2－3m－4＞0，m＜1，1－2m＋3m＋4＞0.
∴－5＜m＜－1.∴m的取值范围为(－5，－1)．
(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，
则|4x－x2|＝－a.
令g(x)＝|4x－x2|，
h(x)＝－a.
作出g(x)，h(x)的图象．
由图象可知，当0＜－a＜4，
即－4＜a＜0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，
