Banach空间及其相关定理

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课 程 现代分析基础

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二Ｏ一五年 十二月 四日 实用标准文档

文案大全 目 录

1 绪论..................................................................... 1

2 Banach空间基本概念 ................................................. 1

2.1拟范数定义及例子 ..................................................... 1

2.2 Banach空间 .......................................................... 2

2.3 Banach空间中线性变换及其性质 ........................................ 3

3 一致有界定理及其推论 ............................................... 4

3.1问题 ................................................................. 4

3.2基本概念 ............................................................. 4

3.3一致有界定理及其推论 ................................................. 5

3.4一致有界性定理及其推论的应用 ......................................... 6

4 Hahn-Banach定理与凸集分离定理 ................................... 7

4.1实线性空间上的Hahn-Banach定理 ....................................... 7

4.2复线性空间上的Hahn-Banach定理 ....................................... 8

4.3赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 ..................................... 9

4.4有关Hahn-Banach定理的一些推论 ....................................... 9

4.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 ............................. 9

5 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 ............. 10

5.1开映射定理 .......................................................... 10

5.2逆算子定理 .......................................................... 12

5.3闭图像定理 .......................................................... 12

6 总结................................................................... 14

参考文献 ................................................................ 16

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文案大全 Banach空间及其相关定理

南京理工大学自动化学院，江苏 南京

摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理。首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域。然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明。

关键词： Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理

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文案大全 1 绪论

巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从魏尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们久已十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末，G.阿斯科利就得到[a，b]上一族连续函数之列紧性的判断准则，后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。1909年里斯，F.(F.)给出[0，1]上连续线性泛函的表达式，这是分析学历史上的重大事件。还有一个极重要的空间，那就是由所有在[0，1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间。在1910～1917年，人们研究它的种种初等性质；其上连续线性泛函的表示，则照亮了通往对偶理论的道路。人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间，并且引进全连续算子的概念。当然还该想到希尔伯特空间。正是基于这些具体的、生动的素材，巴拿赫，S.与维纳，N.相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念，并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论[1]。由于其在数学和其他学科中的广泛运用，在20世纪30年代就得到了很大的发展，并很快成为一门独立的学科[2]。Banach空间理论还是泛函分析的主要组成部分，是泛函分析涵盖的其他三个主要研究方向：算子理论，应用泛函分析以及Banach代数的理论基础，影响着他们的发展[3]。20世纪60年代以后，不仅Banach空间理论本身有了深入的发展，更值得注意的是它在量子力学，物理学等许多领域都获得了广泛的应用，已经成为自然科学与工程技术理论不可缺少的重要研究工具。

接下来本文将用四章的内容对Banach空间以及Banach空间中的相关定理做一个介绍。本文从第二章的Banach空间的概念开始讲起，逐步引出Banach空间中的相关定理，这其中包括一致有界性定理、Hahn-Banach定理、开映射、闭图像定理以及逆算子定理。泛函科学体系的建立正是得益于20世纪初Banach空间这几个定理的提出。

2 Banach空间基本概念

在探讨Banach空间之前，本文先用一些定义来解释一下Banach空间并就相关的基本概念做一个介绍。

2.1 拟范数定义及例子

定义2.1.1 线性空间：设X为一个线性空间，则在X中对加法满足：

(1)x+y=y+x （交换律）

(2)(x+y)+z=x+(y+z) （结合律）

(3)存在零元θ，使θ+x=x

(4)存在逆元x`使得x`+x=θ，x`记为-x

对数乘满足：

(5)1·x=x，θ·x=θ 实用标准文档

文案大全 (6)λ(μx)= λμx （结合律）

(7) (λ+μ)x=λx+μx （数乘分配律）

(8) λ(x+y)= λx+λy

定义2.1.2 设K是实数域R或复数域C，X为数域K上的一个线性空间，若||·||是X到R的映射并且满足：

(1)||x||=0当且仅当x=0，x∈X

(2)存在C≥1对所有的x，y∈X，||x+y||≤C||x||+C||y||

(3)若x∈X而α∈K，则||αx||=|α| ||x||

其中(2)中的常数C不依赖于x，y，则称||·||为X上拟范数，而||x||称为x的拟范数，这时，称(X，||·||)为拟赋范线性空间[4]。

定义2.1.3 设(X，||·||)为拟赋范线性空间，||x||为x的拟范数，则有

||-x||=||x||，limαn→0||αn||=0，lim||xn||→0||αxn||=0[5]

下面给出拟赋范线性空间的例子：

例2.1.1 对于0≤p＜1，lp={(xi)|xi∈K，∑|xi|p<∞∞i=1}在拟范数||x||=(∑|xi|∞i=1p)1p下是拟赋范线性空间。

2.2 Banach空间

定义2.2.1 在定义2.1.2的条件下，明显的，若C=1，则(X，||·||)为线性赋范空间。一般的，拟范数||x||不一定就是X上的范数。

定义2.2.2 赋范（拟赋范）线性空间X中若

limn,m→∞||xn−xm||=0

则称点列{xn}为柯西点列。

定义2.2.3 赋范（拟赋范）线性空间X如果是完备的，即X中的每一个柯西点列{xn}在X中强收敛于某一点x0：

limn→∞||xn−x0||=0

则称线性空间X为Banach空间。（有关强收敛的定义见定义2.2.4）

下面给出Banach空间的例子：

例2.2.1 (1)在C[a，b]中，||x||=maxt∈[a,b]|x(t)|，x(t)∈C[a，b]。

(2)在m中，||x||=sup1<𝑖<∞|ξi|，x=(ξ1,ξ2…ξn,…)∈m。

则C[a，b]，m都是Banach空间。

其中范数||x||可以理解为距离，有了范数的概念，我们可以引入任意的点之间的距离。显然，由d(x，y)=||x-y||定义了X上的一个距离。容易验证，这个距离满足距离的三条公实用标准文档

文案大全 理。第一第二公理是显然的，现给出第三公理—三角不等式的证明：

设x，y，z∈X，有

d(x，y)=||x-y||=||x-z+z-y||≤||x-z||+||z-y||=d(x，z)+d(x，y)，证毕。

定义2.2.4 若limn→∞d(xn，x)=0，则称点列{xn}强收敛于点x，记为s-limn→∞xn=n。

命题2.2.1 在赋范（拟赋范）线性空间X中，有

(1)若s-limn→∞xn=x，则s-limn→∞||xn||=||x||，

(2)若s-limn→∞xn=x，s-limn→∞αn=α，则s-limn→∞αnxn=αx，

(3)若s-limn→∞xn=x，s-limn→∞yn=y，则s-limn→∞(xn+yn)=x+y。

下面给出命题2.2.1的证明：

只需证明在实的拟范数意义下(2)成立即可。事实上，由于

||αx-αnxn||≤||(α-αn)x||+||αn(x-xn)||

故只要证明limn→∞||xn||=0意味着limn→∞||αxn||=0对任意关于α的有界集中的α一致成立。(1)

记pn(α)=||αxn||是定义在实数集R1上的函数，则由(c`)知pn(α)在R1上是连续的，因此由(c`)，limn→∞pn(α)=0及Egorov定理，存在Lebesgue测度大于零的可测集A，使得

limn→∞pn(α)=0