高二数学最新教案-§7.7.4圆的方程(4) 精品

专题：圆的方程（★★）

教学目标

（1）掌握圆的标准方程和一般方程；

（2）会判断直线与圆的位置关系：相交、相切、相离；

（3）会求圆的切线方程

知识梳理

5 min.

圆的标准方程与一般方程

1.圆心为),(baC，半径为r的圆的标准方程为：)0()()(222rrbyax.

特殊地，当0ba时，圆心在原点的圆的方程为：222ryx.

2.圆的一般方程022FEyDxyx，圆心为点)2,2(ED，半径2422FEDr，

其中0422FED.

3.二元二次方程022FEyDxCyBxyAx，表示圆的方程的充要条件是：

①、2x项2y项的系数相同且不为0，即0CA；

②、没有xy项，即0B；

③、0422AFED.

直线和圆位置关系的判定方法

方法 一：方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成一元二次方程组，利用判别式来讨论位置关系．

①0，直线和圆相交；

②0，直线和圆相切；

③0，直线和圆相离．

方法 二：几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.

①Rd，直线和圆相交；

②Rd，直线和圆相切；

③Rd，直线和圆相离．

当直线与圆相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.

典例精讲

例1.（★★）根据下列条件求圆的方程：

（1）以点(1,2)C为圆心，与直线:20lxy相切的圆的方程；

（2）求过三点(3,2)A、(1,1)B、(2,1)C的圆的方程。

高二数学选修4-4教案06

圆的参数方程

教学目的：学习圆的参数方程，理解参数θ的几何意义；会用圆的参数方程解题。

教学重点：圆的参数方程的推导及应用。

教学难点：参数θ的几何意义及应用。

教学方法：师生互动，培养创新思维。

教学过程：

一、问题情景：

【1】已知1yx22，怎样求22yxy2x的最大与最小值？

【2】函数cos2sin2y的值域怎么求？你知道有哪几种方法？

二、数学构建.

从上面的问题可以看到：圆的方程1yx22与方程组sinycosx之间有着一定的对应关系，那么我们怎样来认识和理解它们的这种关系呢？事实上：

1．设点P在圆O：222ryx上，从点P0开始按逆时针方向运动到达点P，且设∠P0OP=θ.

若设点P的坐标是(x,y)，由三角函数的定义不难发现，点P的横坐标x、纵坐标y都是θ的函数，即sinry,cosrx ①

另一方面，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P（x,y）都在圆O上.

这表明，方程①也可用来表示圆。那么，我们就把方程组①叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。其中θ是参数.

注意：根据点与角的一一对应性质，我们一般设定)2,0[。

2．对于圆心为O（a,b）、半径为r的圆(x-a)2+(y-b)2=r2，可以看成由圆心为原点O，半径为r的圆222ryx按向量=(a,b)平移得到的（如右图）.

不难求出，圆心在（a,b）、半径为r的圆的参数方程为：

.sinrby,cosrax (θ为参数且)2,0[）②

注意：若将方程组①、②中的参数θ消去，则可得到这一圆的标准方程，即：222ryx和（x-a)2+(y-b)2=r2。反之，由圆的标准方程也可直接采用三角换元的方法得到圆的参数方程。这表明圆的参数方程与标准方程是圆的两种不同的数学形式，它们可以互相转化。

7.7.1圆的标准方程（二）

教学要求：掌握圆的切线方程，能熟练地运用圆的标准方程，并能解答实践应用。

教学重点：熟练运用圆的方程及切线方程。

教学过程：

一、复习准备：

1.已知两点A(3,-5)、B(-1,-1)，求以线段AB为直径的圆。

2.求圆心在y轴上，且过点(3,1)，并与x轴相切的圆。

二、讲授新课：

1.教学例题：

①出示例：圆心在原点，半径为r，求过圆上一点P(a,b)的切线方程。

②由学生分析解答思路，并讨论多种思路。

思路一：先求切线斜率k，再写点斜式方程；

思路二：设动点轨迹法，利用斜率乘积为－1。

③出示例：某圆拱桥如图所示，跨度AB＝20米，拱高OP＝4米，建造时每隔4米一个支柱，求与支柱A1P1的长度。

④分析：如何建立坐标系？

圆的方程如何设？如何求b、r？

由所求的圆的方程，如何求A1P1的长度?

⑤师生共求解→小结思路：待定系数法。

⑥练习：

求在圆x2＋y2＝4上与直线4x＋3y－12＝0距离最小的点的坐标。

2.练习： ①求圆心在点(4,7)，且与直线4x＋3y－12＝0相切的圆的方程。

②求圆心在直线2x－y＝3上，且与两坐标轴相切的圆的方程。

三、巩固练习：

1.已知圆x2＋y2＝8,定点P(4,0)，过点P的直线的倾斜角α在什么范围内取值，直线与圆：

①相切；

②相交；

③相离？

2.求过点P(4,6)且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相切的直线方程。

3.实数x、y满足(x－2)2＋y2＝3,求xy的最大值和最小值。

4.课堂作业：书P81 1、2题。

P1 P

A A1 O B

高二同步课程数学讲义

“圆的方程”

学员： 年级： 授课日期：

讲师： 授课方式（在线或线下）： 授课教学点（线下填）：

知识定位

圆的方程是在学生掌握了求曲线方程方法的基础上进一步研究的，属于高中数学解析几何的基础知识，是研究二次曲线的开始，具有承前启后的作用，故学好本章节就是为后续的解析几何的学习打下坚实基础。

本章节将注重下述几点进行教学：

1．圆的一般方程于与圆的标准方程的转化问题

使学生掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径，能运用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

2．配方法、待定系数法解决圆的方程的实际问题

配方法和待定系数法在解析几何中有着极其关键的作用，本章节将会通过训练学生熟练使用配方法和待定系数法，进而为之后的学习扎实根基。

知识诊断

1．求圆心在直线l:x+y=0上，且过两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程。

2.ABC三个顶点坐标分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5)，求其外接圆的方程。

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知识梳理

 知识点一：圆的标准方程

 1：圆心为（a,b）,半径为r的圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r>0）

*特别地，圆心在原点，半径为r的圆的方程为x²+y²=r²

确定圆需要两个独立的条件：①圆心坐标（a,b）②半径r

 2：点与圆的位置关系

已知点M（x0，y0）及圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²（r>0）

① 点M在圆C外 ↔ |CM|>r ↔ （x0-a）²+（y0-b）²>r²

② 点M在圆C内 ↔ |CM|

③ 点M在圆C上 ↔ |CM|=r ↔ （x0-a）²+（y0-b）²=r²

 知识点二：圆的一般方程

 1：圆的一般方程：方程x²+y²+Dx+Ey+F=0

当D²+E²-4F>0时，表示圆的方程，圆心坐标为（2D，2E），半径为22142DEF的圆。