二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.
1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝ ．
2．使得不等式
981715
n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则PAC ∠= ．
4．已知n 为正整数，且432
261225n n n n ++++为完全平方数，则n ＝ ．
第二试
一、（本题满分20分）设b 为正整数，a 为实数，记22
11
45224
M a ab b a b =-++-+
，在,a b 变动的情况下，求M 可能取得的最小整数值，并求出M 取得最小整数值时,a b 的值．
二．（本题满分25分）在直角△ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，
90EDF ∠=︒，已知4CE =，2AE =，3
2
BF CF -=
，求AB .
三．（本题满分25分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足
222
1222bc ac ab
a bc
b a
c c ab
++=+++，求a b c ++的值.。
2014 年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00）一、选择题（共 6 小题，每小题 6 分，共36 分）以下每小题均给出了代号为A ，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则（A）2013 答】D．B)2014的值为【】C）2015 （D）0解：最大的负整数是－1，1；绝对值最小的有理数是0, •••=0；倒数等于它本身的自然数是1=1.=0.2. 已知实数满足则代数式的值是【A ）（B）3 （C）（D）7 答】A．解：两式相减得3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2 所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图 2 中的对应线段是【】A) B)C)D)【答】C . 解：将图1中的平 面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设 图1中完整的正方形 为完整面，△ AMN 和 △ ABM 所在的面为组 合面，则△ AMN 和与AM 重合，MN 与线段c 重合.△ ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图 2,首先确定B 点，所以线段d4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列7 个代数式12 / 75)3个 (C ) 4个】 (D) 4个以上答】C．解：由图象可得：抛物线与轴有两个交点，=118 /75即21 / 75. 从图象可得，抛物线对称轴在直线=1 的左边.因此7 个代数式中，其值为正的式子的个数为 4 个.5.如图，Rt A OAB的顶点O与坐标原点重合，/ AO=90°,AO=2BQ当A(x>0)的图象上移动点在反比例函数时， B 点坐标满足的函数解析式为【】x<0)B) x<0)C) x<0)D)x<0)答】B．轴的垂线那么28 / 756．如图，四边形ABHK 是边长为6 的正方形，点C、D 在边AB 上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP, E、F分别为MN、QR的中点，连接EF,设EF 的中点为G,则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【】（A）1 （B）2 （C）3 （D）6【答】B.解：设KH 中点为S ,连接PE 、ES SF 、PF 、PS ,可证明四边形 PESF 为平行四边形，••• G 为PS 的中点，即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所 以G 的运行轨迹为△ CSD 的中位线，••• CD=AB — AC — BD=6 — 1 — 1 = 4 , •••点 G 移动的路径长为=2.、填空题（共6小题，每小题6分，共36 分）A【答】原式=8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为个为红色玻璃球的概率为___________ ，那么，随机摸出一答】解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得=10,所以P （摸出一个红色玻璃球）9. 若【答】8.10. _______________________________________ 如图，在Rt A OAB 中，/ AOB=30° AB=2,将Rt△ OAB 绕O 点顺时针旋转90°得到Rt△ OCD，则AB扫过的面积为______________________________________ .【答】解：T Rt A OAB 中，/ AOB=30°, AB=2,，BO=DO=4，AO=CO=阴影部分面11. 如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4，点E是AD上一个动点，把△ BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A i恰落在/ BCD的平分线上时, CA i= __________答】．解：过A i 作A i M 丄BC,垂足为M，设CM=A i M=x,贝U BM=4 —X, 在Rt△ A i BM 中，E=A i M =•••在等腰Rt△ A i CM 中，C A i =12. 已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5,若m是关于x 的方程(x—a)(x—b)(x—c)(x —d) =2014 中大于a、b、c、d 的一个整数根，贝U m的值为_______ .【答】20.解：•••( m—a)( m—b)( m—c)( m—d) =2014,且a、b、c、d 是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，二(m—a)、( m—b)、( m—c)、( m —d)是四个不同的正整数. v2014=1 >2X19>53, /•( m—a) + (m—b) + (m—c) + (m—d) =1+2+19+53=75.又v a+b+c+d =5，二m =20.三、解答题(第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分)13. 某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，易知0< x w 69, 0< y w 49, 0< z w 34,••• x, y, z均为正整数，>0，即0V z< 14••• z只能取14,9和4. (8)分① 当z 为14 时，=2，=28.② 当z 为9 时，=26，=18.③ 当z 为 4 时，=50 ，=8.综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支• ............................................................ 14分14. 如图，在矩形ABCD中, AD=8,直线DE交直线AB于点E,交直线BC于F，AE=6.(1)若点P是边AD上的一个动点(不与点A、D重合)，设DP为x,四边形AEHP勺面积为y,试求y与x的函数解析式；(2) 若AE=2EB①求圆心在直线BC上，且与直线DE AB都相切的。
2014年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，错误！未找到引用源。
则x y +的可能的值有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ）A ．47B ．59C ．916D ．12253．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则错误！未找到引用源。
＝ （ ）A B C D4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．345．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B ．3 C ．1(32 D ．16．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒错误！未找到引用源。
，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△A D E 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ ）A ．4-B ．2C ．11)2 D 1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．2．使得不等式981715n n k <<+错误！未找到引用源。
对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ．3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．第二试 （A ）一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b +的值．二．（本题满分25分）如图，已知O 为△ABC 的外心，AB AC =，D 为△OBC 的外接圆上一点，过点A 作直线OD 的垂线，垂足为H .若7BD =，3DC =，求AH .N三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？。
2014 年全国初中数学比赛初赛试题及参照答案（比赛时间： 2014 年 3 月 2 日上午 9:00--11:00）一、选择题（共 6 小题，每题 6 分，共 36 分）以下每题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，此中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）是倒数等于它自己的自然数，1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则的值为【】（A）2013（B）2014（C）2015（D）0【答】 D．解：最大的负整数是－ 1，∴=－1；绝对值最小的有理数是0，∴=0；倒数等于它自己的自然数是1，∴=1.∴==0.2.已知实数知足则代数式的值是【】（A）（B）3（C）（D）7【答】 A．解：两式相减得3．如图，将表面睁开图（图1）复原为正方体，按图 2 所示摆放，那么，图1中的线段 MN在图2中的对应线段是【】（A）（B）（C）（D）【答】 C．解：将图 1 中的平面图折成正方体，MN和线段 c 重合.不如设图1中完整的正方形为完好面，△AMN和△ABM所在的面为组合面，则△AMN和△ ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图2，第一确立B点，所以线段d与AM重合，MN与线段c重合 .4.已知二次函数的图象如下图，则以下7 个代数式，，，，，，中，其值为正的式子的个数为【】（A）2个（B）3个（C）4个（D）4 个以上【答】 C．解：由图象可得：，，，∴，，.抛物线与轴有两个交点，∴. 当=1 时，，即.当=时，，即. 从图象可得，抛物线对称轴在直线=1 的左侧，即，∴. 所以 7 个代数式中，其值为正的式子的个数为 4 个.5.如图，Rt△OAB的极点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当 A 点在反比率函数（x>0）的图象上挪动时，B点坐标知足的函数分析式为【】（A）（x<0）（B）（x<0）（C）（x<0）（D）（x<0）【答】 B．解：如图，分别过点分别做轴的垂线，那么∽，则，故.6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点 C、D在边AB上，且 AC=DB=1，点P是线段 CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段 AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F 分别为 MN、QR的中点，连结EF，设 EF的中点为 G，则当点 P 从点 C 运动到点D 时，点挪动的路径长为【】G（A）1（B）2（C）3（D）6【答】 B．解：设 KH中点为 S，连结 PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，∴G为 PS的中点,即在点P 运动过程中，G一直为PS 的中点，所以G的运转轨迹为△ CSD的中位线,∵ CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点 G挪动的路径长为=2.二、填空题（共 6 小题，每题 6 分，共 36 分）7．已知，化简得.【答】．解：∵，∴，，原式=.8.一个不透明的袋子中有除颜色外其他都同样的红、黄、蓝色玻璃球若干个，此中红色玻璃球有 6 个，黄色玻璃球有 9 个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为.【答】．解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得，即=10，所以 P（摸出一个红色玻璃球） =.9.若，则=.【答】 8．解：∵，∴.则，即.∴10．如图，在 Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将 Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°获得 Rt△OCD，则AB扫过的面积为.【答】．解：∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，∴A O=CO=，BO=DO=4，∴暗影部分面积 ==== .11．如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，点 E 是 AD上一个动点，把△ BAE沿 BE 向矩形内部折叠，当点 A 的对应点 A1恰落在∠ BCD的均分线上时， CA1=.【答】．解：过 A1作 A1M⊥BC，垂足为 M，设 CM=A1 M=x，则 BM=4－x，在 Rt△A1BM中，，∴∴在等腰12．已知=，∴ x =A1M=，Rt△A1CM中，C A1=.a、b、c、d 是四个不一样的整数，且知足a+b+c+d=5，若m是对于x的方程（x－a）（ x－b）（ x－c）（ x－d）=2014中大于 a、b、c、d 的一个整数根，则m 的值为.【答】 20．解：∵（ m－a）（ m－b）（ m－c）（ m－d）=2014，且 a、b、c、 d 是四个不一样的整数，因为 m是大于 a、b、c、d 的一个整数根，∴（ m－ a）、（ m－b）、（ m－c）、（m－d）是四个不一样的正整数.∵2014=1×2×19×53，∴（ m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75.又∵ a+b+c+d=5，∴ m=20.三、解答题（第13 题 14 分，第 14 题 16 分，第 15 题 18 分，共 48 分）13. 某学校为九年级数学比赛获奖选手购置以下三种奖品，此中小笔录本每本大笔录本每本 7 元，钢笔每支 10 元，购置的大笔录本的数目是钢笔数目的5 元，2 倍，共花销346 元，若使购置的奖品总数最多，则这三种奖品的购置数目各为多少？x y z.0 x≤69 0 y≤ 49 0 z≤34,4.x y z≥00z≤14z14 9 4.8z 14=2=28..z 9=26=18..z 4=50=8..5084 .1414.ABCD AD=8DE AB E BC F AE=6.1P AD A D DP x,AEHP y, y x 2 AE=2EB.BC DEAB OBC DE ABCD.141Rt52.7DE AB AB.10DE AB AB6.136 .1615.如图 1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA= AB=BC，∠AOC=60°，连结 OB，点 P 为线段 OB上一个动点，点 E为边 OC中点.（1）连结PA、PE，求证：PA=PE；（2）连结PC，若PC+PE=，试求AB的最大值；（3）在（ 2）在条件下，当AB取最大值时，如图 2，点M坐标为（ 0，－ 1），点D为线段 OC上一个动点，当 D点从 O点向 C点挪动时，直线 MD与梯形另一边交点为 N，设 D点横坐标为 m，当△ MNC为钝角三角形时，求 m的范围.解：（ 1）证明：如图1，连结 AE.5 分(2) ∵PC+PE=，∴ PC+PA=.明显有 OB=AC≤PC+PA=.7 分在 Rt△BOC中, 设AB=OA=BC=x，则 OC=2x，OB=，∴≤，∴≤2.即 AB的最大值为2.10 分(3)当 AB取最大值时， AB=OA=BC=2，OC=4.分三种状况议论：①当 N点在 OA上时，如图2，若 CN⊥MN时，此时线段 OA上 N点下方的点（不包含N、O）均知足△ MNC为钝角三角形.过 N作 NF⊥x 轴，垂足为 F，∵A 点坐标为（1，），∴可设N点坐标为（，），则DF=a－m，NF=，FC=4－a.∵△ OMD∽△ FND∽△ FCN，∴.解得，，即当 0< <时，△ MNC为钝角三角形；14分②当 N点在 AB上时，不可以知足△ MNC为钝角三角形；15 分③当 N点在 BC上时，如图3，若 CN⊥MN时，此时 BC上 N点下方的点（不包含N、C）均知足△ MNC为钝角三角形.∴当<<4 时，△MNC为钝角三角形 .综上所述，当0< <或< <4 时，△MNC为钝角三角形 .12020-2-8。
