1. 非线性规划
我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。
非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。
非线性规划举例
[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。假设该商店啤酒的年销售量为A箱,每箱啤酒的平均库存成本为H元,每次订货成本都为F元。如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。
我们以Q表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为QAF。由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2QH,年库存成本可以表示为:
-32- 第三章 非线性规划
§1 非线性规划
1.1 非线性规划的实例与定义
如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问
题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有
单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都
有自己特定的适用范围。
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本
概念。
例1 （投资决策问题）某企业有n
个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个
项目投资。已知该企业拥有总资金A
元，投资于第),,1(niiL=
个项目需花资金
ia
元，
并预计可收益
ib
元。试选择最佳投资方案。
解 设投资决策变量为
⎩⎨⎧
=
个项目决定不投资第，个项目决定投资第
ii
x
i
0,1
，ni,,1L=
，
则投资总额为∑
=n
iiixa
1，投资总收益为∑
=n
iiixb
1。因为该公司至少要对一个项目投资，并
且总的投资金额不能超过总资金A
，故有限制条件
∑
=≤
iiiAxa
10
另外，由于),,1(nix
iL=
只取值0或1，所以还有
.,,1,0)1(nixx
iiL==−
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归
结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因此，其数学模型为：
∑∑
===
n
iiin
iii
xaxb
Q
11max
s.t. ∑
=≤
iiiAxa
10
.,,1,0)1(nixx
iiL==−
上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问
题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式
)(minxf
qjxh
j,,1,0)(s.t.L=≤
(NP)
pixg
i,,1,0)(L==
-33- 其中T
nxxx][
1L=
称为模型（NP）的决策变量，f
称为目标函数，
ig),,1(piL=
和),,1(qjh
２００８年６月 第２２卷第２期总７２期 北京联合大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｕｎｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｊｕｎ．２００８ Ｖｏ１．２２ Ｎｏ．２ Ｓｕｍ Ｎｏ．７２
无约束非线性规划的共轭梯度法研究综述
张 静
（１．北京联合大学基础部，北京 １００１０１；２．首都师范大学数学科学学院，北京 １０００３７）
［摘 要］ 共轭梯度法是５０多年来算法研究的热点课题，它最初是基于求解对称正定线性方程
组提出的，随后推广到求解非线性无约束优化问题。现在，它已经成为数值最优化领域的一类重
要方法，具有所需存储量小、局部和全局收敛性好的特性。综述了求解无约束非线性规划问题的
共轭梯度法，总结了它近年来的研究状况，展望了未来的发展趋势。
［关键词】 共轭梯度法；无约束优化；非线性规划；算法；迭代
［中图分类号］０ ２２１．２ ［文献标识码］ Ａ ［文章编号］ １００５．０３１０（２００８）０２－００７２—０５
Ａ Ｓｕｍｍａｒｉｚｅｒ ｏｆ Ｃｏｎｊｕｇａｔｅ Ｇｒａｄｉｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ Ｓｏｌｖｉｎｇ
Ｕｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ Ｐｒｏｂｌｅｍ
ＺＨＡＮＧ Ｊｉｎｇ ・ （１、Ｂａｓｉｃ Ｃｏｕｒｓｅｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｕｎｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １００１０１，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｃａｐｉｔａｌ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００３７，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｃｏｎｊｕｇａｔｅ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｔｈｅ ｓｕｂｊｅｃｔ ｏｆ ｈｏｔ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｆｏｒ ｍｏｒｅ ｔｈａｎ ５０ ｙｅａｒｓ．Ｉｔ ｓｔａｒｔｅｄ ｏｕｔ ａｓ
第四章 非线性规划
教学重点：凸规划及其性质，无约束最优化问题的最优性条件及最速下降法，约束最优化问题的最优性条件及简约梯度法。
教学难点：约束最优化问题的最优性条件。
教学课时：24学时
主要教学环节的组织：在详细讲解各种算法的基础上，结合例题，给学生以具体的认识，再通过大量习题加以巩固，也可以应用软件包解决一些问题。
第一节 基本概念
教学重点：非线性规划问题的引入，非线性方法概述。
教学难点：无。
教学课时：2学时
主要教学环节的组织：通过具体问题引入非线性规划模型，在具体讲述非线性规划方法的求解难题。
1、非线性规划问题举例
例1 曲线最优拟合问题
已知某物体的温度 与时间t之间有如下形式的经验函数关系：
312ctccte （*）
其中1c，2c，3c是待定参数。现通过测试获得n组与t之间的实验数据),(iit，i=1，2，…,n。试确定参数1c，2c，3c，使理论曲线(*)尽可能地与n个测试点),(iit拟合。
n1i221)]([ min3itciietcc
t例 2 构件容积问题
通过分析我们可以得到如下的规划模型：
0,0 2 ..)3/1( max212121222211221xxSxxxxaxxtsxxaV
基本概念
设nTnRxxx),...,(1，RRqjxhpixgxfnji:,...,1),(;,...,1),();(,
如下的数学模型称为数学规划(Mathematical Programming, MP)：
qjxhpixgtsxfji,...,1,0)( ,...,1,0)( ..)( min
约束集或可行域
Xx MP的可行解或可行点
MP中目标函数和约束函数中至少有一个不是x的线性函数，称(MP)为非线性规划
