非线性规划问题的求解方法[优质ppt]

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非线性规划问题的求解方法[优质ppt]

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4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法：（ 1）给定初始内点 x (0) S ，允许误差 e>0，
障碍参数 (1) ，缩小系数 b (0 ,1) ，置 k= 1 ；
（ 2）以 x (k1) 为初始点，求解下列规划问题：
end end
结果：
•
ans =
•
• 1.0000
•
•
• =
•
• -7.1594e-004
•
•
• k=
•
• 14
小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
问题的转化技巧（近似为一个无约束规划）.
（二）拉格朗日乘子法（三）可行方向法与广义简约梯度法（四）SQP方法
非线性规划问题的求解方法
Content
无约束非线性规划问题有约束非线性规划问题 Matlab求解有约束非线性规划问题
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
逐次插值逼近法近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化
内点法框图 kk1
x(0) S0 , 1 0, [0,1], 0, k 1
min

s.t.
f (x) kq(x) x S0

第4章非线性规划43PPT课件

极值点。
1
整体概述
一请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要叙述内容
三请在这里输入您的主要叙述内容
2
定理4.3.2 （极值存在的充分条件）设 f（X）是定义在n 维欧氏空间 E n 上的某一
开集R 上的实值函数，且 f（X）在R 上二次连续可微，若存在 X * R , 使得 f (X*) 0,且 2 f ( X * )
出量为Q 。若产品价格为P =4，要素投入价格分别为
PK 4 , PL 3 , 试求该企业得到最大利润时要素投投入水平。
解: 该企业的利润函数为 YP Q P K K P LL
11
12K3L24K3L
则有
11
m axY12K3L24K3L
6
由极值存在的必要条件
Y K
2 1
4K 3 L2
10
注1：定理4.3.3 表明等式约束极值问题可以转化
为求拉格朗日函数 L( X , ) 的驻点，即满足
f (X) m ihi (X) 0
i1
hi (X) 0,i 1,2, ,m
的 X 和。
（4.3.3）
11
例4.3.3 求解下列非线性规划问题
m inf(X)x12x1x2x2210x14x260
一邻域 N ( X ) 上可微，且矩阵 J ( X ) ( h 1 ( X ) , h 2 ( X ) ,, h m ( X ) ) n m （4.3.2）
的秩为 m，若 X 是最优解，则存在拉格朗日乘子
(1,2, , m ),使
m
XL (X , *) f(X ) i h i(X )0 i 1
s.t. h(X)x1x280 解：该问题为具有等式约束的非线性规划问题。

非线性规划基础.pptx

部最优解。
定理13.10 若目标函数f(x)是Rn上的连续可微凸函数，
则 f (x的) 充0分必要条件为无x 约束优化问题
（13.4）的全局最优点和局部最优点。
第19页/共35页
• 例13.5 求函数f(x)的最优值点，即。
m in
xR n
f
(
x
)
(
x12
1)2
x12
x22
2x1
解： f (x) 0 x (1,0)T
凹函数
第8页/共35页
非凸非凹函数
凸函数具有如下性质
第9页/共35页
二、凸函数的判断
• 一元函数凸性的判断
f (x) 0 f (x1) f (x2 ) f (x2 )(x1 x2 )
第10页/共35页
• 多元函数凸性的判断
梯度：
f (x) ( f (x) ,, f (x) )T
x1
xn
H(
x1,x2
)
6x1 3
23
• 判定正定的方法：当一个n×n矩阵A的任意k阶顺
序主子式大于0时，则该矩阵为正定的。
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
x12
x1x2
x1xk
2 f (x)
H
(
k
x)
x2x1
2 f (x) x22
2 f (x) x2xk
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
第13页/共35页
• 例13.4 判别下列函数的凸凹性
1） f (x1, x2 ) 2x12 x22 2x1x2 x1 1
2） f (x1, x2 ) x12 x22
解： 1）
H(
x1,x2

非线性规划培训课件.ppt

k
xk
f(xk)
||f(xk)||
pk
0

2 2

1040 100.079968
1040
1
1.901.09083572
3.803.9178054
3.844158 30.8.13895704
格局部最优解。
精品
全局最优解的充分条件
定理 4.4.4 设 f : R n R ， x* Rn ，f 是 Rn 上的可微凸函数。若有 f (x*) 0 ，则 x* 是(UMP)的全局最优解。证：因为 f 是 Rn 上的可微凸函数，由凸函数的判别定理
4.2.3，可知 x Rn ，有 f x* x x* f x f x* 。由于 f (x*) 0 ，因此 x Rn ， 0 f x f x* ，即
f x* tp f x* 。取 t 充分小，可使 x* tp N x* ，与(1)矛盾。
精品
局部最优解的充分条件
定理 4.4.3 设 f : R n R 在点 x Rn 处的 Hesse 矩阵 2 f (x*)
存在。若 f x* 0 ，并且 2 f x* 正定，则 x* 是(UMP)的严
df
小点，因此
xk tpk dt
0。
令 xk tpk x1k tp1k , xnk tpnk ,, xnk tpnk u1, u2 ,, un u ，
由复合函数求导法则，
df xk tpk f u du1 f u du2 f u dun
即， t 0, ， f x tp f x。可知 p 是 f 在 x 处的下降
方向（定义 4.1.3）。

非线性规划PPT演示文稿

正是由于局部最优解的存在，使得非线性规划问题的求解要比线性规划问题的求解复杂得多。当求得一个最优解时，常常无法确定该解是否为全局最优解。但是在某些情况下，可以保证所求得的解就是全局最优解。下面7.2节、7.3节所介绍的边际收益递减的二次规划和可分离规划就属于这种情况。
RUC, Information School, Ye Xiang
RUC, Information School, Ye Xiang
求总风险（方差）的一种简便方法
第7章非线性规划
由于目标函数“总风险（方差）”的公式是非线性的，也复杂，希望找到一种不容易出错且简便的办法
构造协方差矩阵（方差、协方差）
总风险（方差）=
❖
SUMPRODUCT（MMULT（投资组合,协方差矩阵）,投资
第7章非线性规划
这种方法是将3.2节的成本收益平衡问题非线性化。在这种情况下，成本是与投资有关的风险，收益是投资组合的预期回报。
因此，该模型的一般表达形式为：
最小化风险
约束条件预期回报≥最低可接受水平
这个模型关注投资组合的风险和预期收益之间的平衡。
RUC, Information School, Ye Xiang
例7.1 给定一根长度为400米
的绳子，用来围成一块矩形菜地，问长和宽各为多少，使菜地的面积最大？解：这是一个小学数学问题，现在把它当作一个规划问题来求解。
RUC, Information School, Ye Xiang
7.1 非线性规划基本概念第7章非线性规划
(1) 决策变量
7.2.2 运用非线性规划优化有价证券投资组合
第7章非线性规划
投资组合优化，就是确定投资项目中的一组最优投资比例。这里所说的“最优”，可以是在一定风险水平下使得投资回报最大，也可以是在一定的投资回报水平下使得风险最小。

运筹学―第六章非线性规划精品PPT课件

F1 1 Fn1 Fn2
, n 2,3,
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
23 3
…
Fn1
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Fn
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
… 233
hj (x) 0, j 1,...q
(NLP)
X
x
Rn
gi (x) hj (x)
0, i 1,..., p 0, j 1,..., q
约束集
如果(NLP)的约束集X是凸集，目标函数f是 X上的凸函数，则(NLP)叫做非线性凸规划，或简称为凸规划。
凸规划的性质
定理 6.3 对于非线性规划(NLP)，若 gi ( x), i 1,..., p 皆为 Rn 上的凸函数， h j ( x), j 1,..., q 皆为线性函数，并且 f 是 X 上的凸函数，则 NLP 是凸规划。
性质 6.2 设 S Rn 是非空凸集， f : Rn R 是凸函数， c R ，则集合
H S ( f , c) x S f ( x) c
是凸集。
凸函数的判定
定理 6.1 设 S Rn 是非空开凸集， f : S R 可微，则
（1） f 是 S 上的凸函数的充要条件是
f ( x1 )T ( x 2 x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 ) ， x1 , x 2 S
试获得 n 组与 t 之间的实验数据 (ti , i ) ，
i=1，2，…,n。试确定参数 c1 ， c 2 ， c 3 ，

《非线性规划模型》课件

一般形式的非线性规划
一般形式的非线性规划同时包含等式约束和不等式约束，目标函数和约束条件均为非线性。
非线性规划的求解方法
1
牛顿法
通过使用二阶导数信息ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ迭代逼近最优解。
2
梯度下降法
利用目标函数梯度方向确定下降方向，逐步逼近最优解。
3
共轭梯度法
结合梯度信息，迭代快速逼近最优解。
粒子群算法及其应用
多解性
非线性规划模型可能存在多个最优解，需要综合考虑问题的不同方面。
计算复杂度
非线性规划求解过程通常需要使用迭代算法，计算时间较长。
不等式约束的非线性规划
当目标函数和约束条件都包含不等式关系时，我们称之为不等式约束的非线性规划。
等式约束的非线性规划
当约束条件中包含等式关系，但目标函数仍为非线性函数时，我们称之为等式约束的非线性规划。
《非线性规划模型》PPT 课件
非线性规划是一种优化问题求解方法，本课件将介绍非线性规划的定义、特点以及不同约束形式下的求解方法，展示非线性规划在各个领域中的应用案例。
什么是非线性规划
非线性规划是一种优化问题的求解方法，它考虑目标函数和约束条件为非线性的情况。
非线性规划的特点
复杂性
非线性规划模型通常比线性规划更加复杂，涉及更多变量和限制条件。
粒子群算法模拟群体行为，通过协作和随机搜索找到最优解，广泛应用于非线性规划问题。
遗传算法及其应用
遗传算法模拟生物进化过程，通过选择、交叉和变异等操作找到最优解，在非线性规划中有着广泛的应用。

一、非线性规划问题的几种求解方法1.罚函数法(外点法)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...)
第三十五页，共五十九页。
输入(shūrù)参数的几点说明
模型中如果没有(méi yǒu)A,b,Aeq,beq,lb,ub的限制，则以空矩阵[ ]作为参数传入； nonlcon：如果包含非线性等式或不等式约束，则将这些函数
第二十八页，共五十九页。
第二步：求
最优的目标函数 (k) (mùbiāo)
function r=fungetlamada(lamada) %关于(guānyú)lamada的一元函数，求最优步长 global x0 d=fun1gra(x0); r=2*(x0(1)-lamada*d(1))^2+(x0(2)lamada*d(2))^2; %注意负号表示是负梯度
主程序main1.m（续）
while sqrt(sum(d.^2))>=yefi lamada=fminsearch(‘fungetlamada’,la mada);%求最优步长lamada
x0=x0-lamada*fun1gra(x0);%计算x0 d=fun1gra(x0);%计算梯度 k=k+1;%迭代(dié 次数 dài) end disp('x='),disp(x0),disp('k='),disp (k),disp('funobj='),disp(2*x0(1)^2+ x0(2)^2)
第八页，共五十九页。
程序3：辅助(fǔzhù)函数程序fun2min.m

非线性规划问题的求解方法60页PPT

1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。
非线性规划问题的求解方法 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮回里有你。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
பைடு நூலகம்23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
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3、问题：
4.1、外点法（外部惩罚函数法）：
如何将此算法模块化？
外点法框图： kk1
初始 x(0),1 0,1 0,k1
以x(k)为初始点 , 解
min f ( x) k p( x)
得到 x (k 1)
No
k1k
kp(x(k1)) yes
停 x (k 1) f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)
a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1) b(k+1) k f0(k+1) break; else m(k+1)=c*m(k);
非线性规划问题的求解方法
Content
无约束非线性规划问题有约束非线性规划问题 Matlab求解有约束非线性规划问题
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
逐次插值逼近法近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化
内点法框图 kk1
x(0) S0 , 1 0, [0,1], 0, k 1
min

s.t.
f (x) kq(x) x S0
从 x ( k )出发 ,
求得 x ( k 1)
No
k1 k
kq(x(k1))
yes
停
x(k1) opt
最速下降法（负梯度法） Newton法共轭梯度法拟Newton法变尺度法
二.有约束问题
（一）罚函数法（SUMT） 1、算法思想：将有约束优化问题转化为一系列无约束优化问题进行求解.(Sequential Unconstrained Minimization Technique-SUMT） 2、算法类型：外点法（外惩法）内点法（内惩法）
4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法：（ 1）给定初始内点 x (0) S ，允许误差 e>0，
障碍参数 (1) ，缩小系数 b (0 ,1) ，置 k= 1 ；
（ 2）以 x (k1) 为初始点，求解下列规划问题：
内点法的matlab程序：
m=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50); syms x1 x2 e; m(1)=1;c=0.2;a(1)=2;b(1)=-3; f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15; fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1,'x2');fx2x1 =diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2'); for k=1:100 x1=a(k);x2=b(k);e=m(k); for n=1:100 f1=subs(fx1); f2=subs(fx2); f11=subs(fx1x1); f12=subs(fx1x2);
指寻求 n元实函数f在整个n维向量空间Rn上的最优值点的方法。无约束最优化方法大多是逐次一维搜索的迭代算法。这些迭代算法的基本
思想是：在一个近似点处选定一个有利搜索方向,沿这个方向进行一维寻查,得出新的近似点。然后对新点施行同样手续，如此反复迭代, 直到满足预定的精度要求为止。根据搜索方向的取法不同，可以有各种算法。
三.Matlab求解有约束问题
运行输出：
x= 24.0000 12.0000 12.0000
fval = -3.4560e+03
（二）非负条件下线性最小二乘lsqnonneg
（三）有约束线性最小二乘lsqlin
（四）非线性最小二乘lsqnonlin
求解x,使得下式最小
运行输出：
x= 0.2578 0.2578
end end
结果：
•
ans =
•
• 1.0000
•
•
• ans =
•
• -7.1594e-004
•
•
• k=
•
• 14
小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
问题的转化技巧（近似为一个无约束规划）.
（二）拉格朗日乘子法（三）可行方向法与广义简约梯度法（四）SQP方法
min f ( x ) ( k ) B ( x )
s.t. x S
，令 x (k) 为所求极小点
（ 3）如果 (k)B (x (k) ) e ，则停止计算，得到结果x (k) ，
(k 1) b (k )
（ 4）否则令
，置 k= k+ 1 ，返回（ 2 ）。
resnorm = 124.3622
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