高中数学第一章坐标系第4节第2课时球坐标系教学案新人教A版选修4-4

第2课时 球坐标系

[核心必知]

1．球坐标系

建立空间直角坐标系O xyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π．

在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r，φ，θ)的方位角，90°－φ称为高低角．

2．空间直角坐标与球坐标的转化

空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为x＝rsin φ·cos θ，y＝rsin φ·sin θ，z＝rcos φＷ.

[问题思考]

1．在球坐标系中，方程r＝r0(r0为正常数)表示什么图形？

提示：在空间的球坐标系中，方程r＝r0(r0为正常数)表示球心在原点，半径为r0的球面．

2．在球坐标系中，方程θ＝θ0(0≤θ0<2π)表示什么图形？

提示：在球坐标系中，方程θ＝θ0(0≤θ<2π)表示过z轴的半平面，它与zOx坐标面的夹角为θ0.

3．在球坐标系中，方程φ＝φ0(0≤φ0≤π)表示什么图形？

提示：在球坐标系中，方程φ＝φ0(0≤φ0≤π)表示顶点在原点，半顶角为φ0的圆锥面，它的中心轴是z轴，φ0＜π2时它在上半空间，φ0＞π2时它在下半空间，φ0＝π2时它是xOy平面(如图所示)．

已知点M的球坐标为5，5π6，4π3，求它的直角坐标．

[精讲详析] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系，解答本题需要先搞清球坐标(5，5π6，4π3)中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．

∵M的球坐标为(5，5π6，4π3)，

∴r＝5，φ＝5π6，θ＝4π3.

由变换公式x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ 得x＝5sin 5π6cos

4π3＝－54，y＝5sin

5π6sin

4π3＝－534，z＝5cos 5π6＝－532.

故它的直角坐标为(－54，－534，－532)．

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已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.

1．已知点P的球坐标为4，3π4，π4求它的直角坐标．

解：由变换公式得：

x＝rsin φcos θ＝4sin 3π4cos π4＝2.

y＝rsin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2.

z＝rcos φ＝4cos 3π4＝－22.

∴它的直角坐标为(2，2，－22)．

设点M的直角坐标为(1，1，2)，求它的球坐标．

[精讲详析] 本题考查直角坐标与球坐标的变换关系，解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意θ与φ的取值范围．

由坐标变换公式，可得

r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋（2）2＝2.

由rcos φ＝z＝2， 得cos φ＝2r＝22，φ＝π4.

又tan

θ＝yx＝1，θ＝π4(x>0，y>0)，

从而知M点的球坐标为(2，π4，π4)．

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由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，θ，φ)，再利用变换公式x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ求出r、θ、φ

代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝yx，cos φ＝zr.特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．

2．设点M的直角坐标为24，64，－22，求它的球坐标．

解：由变换公式得

r＝x2＋y2＋z2＝216＋616＋24＝1，

由rcos φ＝z＝－22得cos φ＝－22，φ＝3π4.

又tan θ＝yx＝3(x>0，y>0)，

得θ＝π3.

∴M的球坐标为(1，3π4，π3)．

在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A(R，π4，π6)，B(R，π4，2π3)，飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．

[精讲详析]

本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离问题．解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法．

如图所示，因为A(R，π4，π6)，B(R，π4，2π3)，

可知∠AOO1＝∠O1OB＝π4，

∴∠O1AO＝∠O1BO＝π4.

又∠EOC＝π6，∠EOD＝2π3，

∴∠COD＝2π3－π6＝π2.

∴∠AO1B＝∠COD＝π2.

在Rt△OO1B中，∠O1BO＝π4，OB＝R，

∴O1B＝O1A＝22R.

∵∠AO1B＝π2，

∴AB＝R.

在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝π3.

故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为π3R.

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我们根据A、B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A、B两地的大圆飞行时，飞机最快，求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A、B两地的球面距离．

3.

用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A8，π4，θA、B8，3π4，θB，求出这两个截面间的距离．

解：由已知，OA＝OB＝8，∠AOO1＝

π4，∠BOO1＝3π4，

∴在△AOO1中，OO1＝42.

在△BOO2中，∠BOO2＝π4，OB＝8，

∴OO2＝42，

则O1O2＝OO1＋OO2＝82.

即两个截面间的距离O1O2为82.

本课时考点在近几年的高考中未出现过．本考题以空间两点间的距离为载体考查了空间直角坐标与球坐标的转化．

[考题印证]

在球坐标系中A2，π4，π4和B(2，3π4，3π4)的距离为________．

[命题立意] 本题考查空间球坐标与直角坐标的转化及空间两点间的距离公式．

[解析] A、B两点化为直角坐标分别为：A(1，1，2)、B(－1，1，－2)．

∴|AB|＝[1－（－1）]2＋（1－1）2＋[2－（－2）]2

＝23. 答案：23

一、选择题

1．已知一个点的球坐标为2，3π4，π4，则它的高低角为(

)

A．－π4 B.3π4

C.π2 D.π3

解析：选A ∵φ＝3π4，∴它的高低角为π2－φ＝－π4.

2．已知一个点的球坐标为1，π6，π3，则它的方位角为( )

A.π3 B.π6

C.2π3 D.5π6

解析：选A θ＝π3，即它的方位角为π3.

3．点P的球坐标为1，π2，π，则它的直角坐标为( )

A．(1，0，0) B．(－1，－1，0)

C．(0，－1，0) D．(－1，0，0)

解析：选D x＝rsin φcos θ＝1·sin π2·cos π＝－1，

y＝rsin φsin θ＝1·sin π2sin π＝0，

z＝rcos φ＝1·cos π2＝0，

∴它的直角坐标为(－1，0，0)． 4．在直角坐标系中，点P的坐标为1，33，2，则其球坐标为(

)

A.433，π3，π6 B.433，π6，π6

C.233，π3，π3 D.233，π6，π3

解析：选B r＝x2＋y2＋z2＝12＋（33）2＋22＝433

cos φ＝zr＝2433＝32.

∴φ＝π6.

tan θ＝yx＝33

又y＞0，x＞0，∴θ＝π6.

∴球坐标为(433，π6，π6)．

二、填空题

5．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图所示，若某地在西经60°，南纬

45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．

解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为(R，3π4，5π3)．

答案：(R，3π4，5π3)

6．已知点M的球坐标为4，π4，3π4，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________． 解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．

答案：(－2，2，22)

(22，3π4，22)

7．设点M的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为________．

解析：由坐标变换公式，

得r＝x2＋y2＋z2＝1＋1＋2＝2，

cos φ＝zr＝22，∴φ＝π4.

∵tan θ＝yx＝－1－1＝1，

又∵x<0，y<0，

∴θ＝5π4.

∴M的球坐标为(2，π4，5π4)．

答案：(2，π4，5π4)

8．在球坐标系中，方程r＝1表示________，方程φ＝π4表示空间的________．

解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．

答案：球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面顶角为π2的圆锥面

三、解答题

9．

如图，请你说出点M的球坐标．

解：由球坐标的定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(R，φ，θ)表示．

∴M点的球坐标为：M(R，φ，θ)．