12级 数值计算课程设计任务书

1 华东交通大学

数值计算课程设计

信息与计算科学专业2012级

指导老师：周凤麒

基础科学学院数学与信息计算系

2015年1月

2 12级信息计算1、2班

《数值计算》课程设计

一、分组、选题：

（1）可独立完成，或分小组完成，每小组不多于3人。每个题目选题的人数不超过6人。

（2）亦可自拟题目。

二、时间安排：

19周三：上交分组名单及选题，查阅相关资料，划分模块、小组成员分工

19周四：理论分析，设计算法。编制源程序，上机调试。

19周五：编制源程序，上机调试。上交源代码；撰写、上交课程设计报告（1份/人）

上机时间安排表（地点：基础学院201机房）：

19周：

周三下午5、6、7、8节

周四上午1、2、3、4节； 周四下午5、6、7、8节

周五上午1、2、3、4节； 周五下午5、6、7、8节

提交时间：学生必须在20周周三上午12点以前交到理学院2号楼311。

用B5的纸打印课程设计报告，并购买学校的专用课程设计封面装订。

三、课程设计题目

1、最小二乘解用于蠓虫的分类识别

2、不同拟合模型的比较

3、钢包问题

4、身高分布模型

5、小行星轨道问题

6、数值积分收敛速度的比较

7、非线性方程求根

8、Runge现象

9、松驰因子对SOR法收敛速度的影响

10、自选题目

四、要求

1、开发语言及开发工具任选。

2、“课程设计报告”内容的要求：

（1）封面； （2）内容提要； （3）目录；

（4）“课程设计报告”正文：

1．课程设计目的、背景、意义，以及自己所做工作

2．理论分析（包括问题分析，理论依据，求解对策等）

3．方法详解（包括推导、求解、分析、程序框图等）

4. 问题解决（包括计算结果输出、图形演示等）

5．结果分析（含对不同方法间的图形、数值等多方位的对比分析，对所得结果的合理解释及误差分析等）。

（5）体会： 3 （6）参考文献。

3、课程设计验收要求：

（1）运行所算法的程序； （2）回答有关问题； （3）提交课程设计报告；

（4）提交代码（内容有：源程序、执行程序。有“课程设计报告”内容更好）;

（5）内容有创新的成绩要高一些。

4、凡发现抄袭，抄袭者与被抄袭者皆以零分计入本课程设计成绩并向学院报告。凡发现实验报告或源程序雷同，涉及的全部人员皆以零分计入本课程设计成绩并向学院报告。

五、课程设计问题的详细解释

1、最小二乘解用于蠓虫的分类识别

问题描述：生物学家试图对两类蠓虫（Af与Apf）进行监别，依据的资料是蠓虫的触角和翅膀的长度，已经测得9只Af和6只Apf的数据，（触角长度用X表示，翅膀长度用y表示）具体数据为：Af:

x 1.24 1.36 1.38 1.38 1.38 1.40 1.48 1.54 1.56

y 1.27 1.74 1.64 1.82 1.90 1.70 1.82 1.82

2.08

Apf:

x 1.14 1.18 1.20 1.26 1.28 1.30

y 1.78 1.96 1.86 2.00 2.00 1.96

现需要解决三个问题：（1）如何凭借原始资料（15对数据，被称之为学习样本）制定一种方法，正确区分两类蠓虫；（2）依据确立的方法，对题目提供的三个样本：（1.24,1.80）,(1.28,1.84),(1.40,2.04)加以识别；（3）设Af是宝贵的传粉益虫，Apf是某种疾病的载体，是否应该修改分类方法。

2、不同拟和模型的比较

在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下表，求浓度y与时间t的拟和曲线)(tFy

时间t(分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

浓度310y 4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 10.00 10.20 10.32 10.42 10.50 10.55

15 16

10.58 10.60

按下述方案求最小二乘拟合函数，并求出所得结果的误差和mRMSEm)(22221，从而 4 比较拟合曲线的优劣。

方案I 拟合函数取为如下形式的双曲线型)(batty

方案I 拟合函数取为如下形式的指数形式tbaey

3、钢包问题

炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包，在使用过程中由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀，使其容积不断增大，经过试验，钢包的容积与相应的使用次数的数据如表

使用次数x 容积y 使用次数x

容积y

2 106.42 11 110.59

3 108.26 14 110.60

4 109.58 15 110.90

5 109.50 16 110.76

7 110.00 18 111.00

8 109.93 19 111.20

10 110.49

采用两种方法拟合数据，并画出拟合曲线和数据点并比较之。

方案I 拟合函数取为如下形式：xbay1

方案II 拟合函数取为如下形式：2cxbxay

4、身高分布模型

设某城市男子的身高X~N（170，36）（单位：cm），应如何选择公共汽车门的高度H使男子与车门碰头的机会小于1%。

问题分析：由题设男子身高数据服从平均值为170（cm），方差为6（cm）的正态分布，其分布密度函数为

21(170)()exp23662xfx

按正态分布的分布规律（3原则），这个城市的男子身高超过188（cm）的人数极少。故可以对H=188，187，186，„求出概率PXH的值，观察使概率不超过1%的H，以确定公共汽车门 5 应该取的高度。概念值的计算实际上是求定积分

194()()HHPXHfxdxfxdx

（1）选用一种数值求积公式分别计算出H=180、181、„、188时定积分近似值。

（2）根据上面计算的积分值，按题目要求确定公共汽车门的高度取值（答案184cm）。如果将汽车门的高度取180cm，是否满足大多数市民的利益？

（3）用计算机模拟的方法来检验你的结论，计算机产生10 000个正态随机数（它们服从均值为170，方差为6的正态分布）来模拟这个城市中10 000个男子的身高，然后统计出这10 000人中身高超过180（cm）的男子数量所占的百分比。

5、小行星轨道问题

一个天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在五个不同的对小行星作了五次观察，测得轨道上五个点的坐标数据（单位：万公里）如下表所示：

P1 P2 P3 P4 P5

X坐标 53605 58460 62859 66662 68894

Y坐标 6026 11179 16954 23492 68894

由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，椭圆的一般方程可表示为：

012225423221yaxayaxyaxa

现需要建立椭圆的方程以供研究。

（1）分别将五个点的数据代入椭圆一般方程中，写出五个待定系数满足的等式，整理后写出线性方程组

AX = b

以及方程组的系数矩阵和右端项b；

（2）用列主元、全主元高斯-约当消元法求方程的解。比较列主元、全主元高斯-约当消元法求方程的解优缺点及分析其误差。

6、数值积分收敛速度的比较

分别按下述计算方案求积分0cosxdxeIx的近似值，并列表给出对分节点的积分值，从而比较其收敛速度。积分的准确值为：070346316.12I

方案I 复化梯形法

方案II 复化辛甫生法

方案III 龙贝格加速法

7、非线性方程求根 6 用迭代法求解方程0104)(23xxxf在]2,1[内的根。

选用不同的格式分别计算

1) 正割法格式 2) 牛顿迭代格式 3) 迭代格式：104231kkkkxxxx

4)10423xxxx，取 104)(23xxxxg，用埃特金外推加速法。

5) 410xx，取410)(xxg，用埃特金加速算法求解。

选取不同的初值，考察迭代是否收敛，若收敛，比较收敛速度(可以选取某个确定的初值，列表给出各种迭代格式每迭代一步所得到的根)。由此考虑由迭代法求解方程时需要研究的问题： 1) 收敛的条件；2) 收敛速度和误差估计；3) 如何加速收敛。

8、Runge现象

对区间 作等距划分： ， ，分别取n=10,20,30以

),,1,0(nkxk为节点对函数22511)(xxf按下述方案进行插值计算,列表部分kx的函数值、方案I算出的值和方案II 算出的值，并比较其结果。

方案I 拉格朗日插值；

方案II 分段线性插值；

方案Ⅲ 切比雪夫函数：nkkknxaxnnxT0arccoscoscos)(考虑区间[-1,1]上用切比雪夫多项式的零点作为插值节点，节点为),,2,1(212cosnknkxk画出当节点数从少变多时原曲线与插值曲线，并且进行误差分析。(n从2到30)

9、松驰因子对SOR法收敛速度的影响

编写一个用SOR法解方程组Ax = b的计算机程序，其中 7

32234114114114bAnn 要求程序中不存系数矩阵A，分别对不同的阶数（例如n = 10,100）取9.1,,15.1,1.1进行迭代，记录近似解 达到6)1()(10kkxx时所用迭代次数k，观察松驰因子对收敛速度的影响。并上机验证取

或 时会有什么结果？

《数值计算》课程设计评分标准

课程设计主要的主要目的是培养学生综合利用所学知识分析和解决实际问题的能力，提高学生的综合设计和实践能力。学生的课程设计成绩主要从出勤情况、工作量、操作演示、设计讲解、回答问题、设计能力、设计说明书等方面评定：

1． 出勤情况：能否服从指导教师安排，是否无故缺勤，有无迟到早退现象等；

2． 工作量：考查学生完成设计的工作量大小，从难度、完成情况等方面考察；

3． 算法设计：主要考查学生对算法的理解；

4． 设计讲解：考查学生对整体设计的认识和把握；

5． 回答问题：是否能够正确回答指导教师所提的问题；

6． 设计能力：是否具有独立分析、解决问题的能力，主要考查在规定时间内完成任务情况，或是否满足生产要求；

7． 设计说明书：是否认真撰写设计说明书，内容是否客观实际。

由实习指导教师对每个学生的以上七个方面分别给出成绩，出勤情况(10%)、工作量(10%)、算法设计(10%)、设计讲解(10%)、回答问题(20%)、设计能力(20%)、设计说明书(20%)，相加得到每个学生的实习成绩记入学生成绩单。