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高考数学数列题型专题汇总

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实用文档 高考数学数列题型专题汇总

一、选择题

1、已知无穷等比数列na的公比为q，前n项和为nS，且SSnnlim.下列条件中，使得NnSSn2恒成立的是（ ）

（A）7.06.0,01qa （B）6.07.0,01qa

（C）8.07.0,01qa （D）7.08.0,01qa

【答案】B

2、已知等差数列{}na前9项的和为27，10=8a，则100=a

（A）100 （B）99 （C）98 （D）97

【答案】C

3、定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意2km，12,,,kaaaL中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有

（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个

【答案】C

4、如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且1122,,nnnnnnAAAAAAn*N，

1122,,nnnnnnBBBBBBn*N，（PQPQ表示点与不重合）.

若1nnnnnnndABSABB，为△的面积，则

A．{}nS是等差数列 B．2{}nS是等差数列

C．{}nd是等差数列 D．2{}nd是等差数列

【答案】A

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二、填空题

1、已知{}na为等差数列，nS为其前n项和，若16a，350aa，则6=S_______..

【答案】6

2、无穷数列na由k个不同的数组成，nS为na的前n项和.若对任意Nn，3,2nS，则k的最大值为________.

【答案】4

3、设等比数列{}na满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2鬃?an的最大值为 .

【答案】64

4、设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1= ，S5= .

【答案】1 121

三、解答题

1、设数列A：1a ，2a ,…Na (N).如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有ka ＜na ，则称n是数列A的一个“G时刻”.记“)(AG是数列A的所有“G时刻”组成的集合.

（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出)(AG的所有元素；

（2）证明：若数列A中存在na使得na>1a，则)(AG ；

（3）证明：若数列A满足na-1na ≤1（n=2,3, …,N）,则)(AG的元素个数不小于Na -1a.

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如果iG，取iiGmmin，则对任何iimnkiaaamk,1.

从而)(AGmi且1iinm.

又因为pn是)(AG中的最大元素，所以pG.

2、已知数列na 的前n项和Sn=3n2+8n，nb是等差数列，且1.nnnabb

（Ⅰ）求数列nb的通项公式；

（Ⅱ）令1(1).(2)nnnnnacb 求数列nc的前n项和Tn.

【解析】(Ⅰ)因为数列na的前n项和nnSn832，

所以111a，当2n时，

56)1(8)1(383221nnnnnSSannn，

又56nan对1n也成立，所以56nan． 精品文档

实用文档 又因为nb是等差数列，设公差为d，则dbbbannnn21．

当1n时，db1121；当2n时，db1722，

解得3d，所以数列nb的通项公式为132ndabnn．

(Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(nnnnnnnnnnnbac，

于是14322)33(2122926nnnT，

两边同乘以２，得

21432)33(2)3(29262nnnnnT，

两式相减，得

214322)33(23232326nnnnT

2222)33(21)21(2323nnn

222232)33()21(2312nnnnnnT．

3、若无穷数列{}na满足：只要*(,)pqaapqN，必有11pqaa，则称{}na具有性质P.

（1）若{}na具有性质P，且12451,2,3,2aaaa，67821aaa，求3a；

（2）若无穷数列{}nb是等差数列，无穷数列{}nc是公比为正数的等比数列，151bc，5181bc，nnnabc判断{}na是否具有性质P，并说明理由；

（3）设{}nb是无穷数列，已知*1sin()nnnabanN.求证：“对任意1,{}naa都具有性质P”的充要条件为“{}nb是常数列”.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件，得到678332aaaa，结合67821aaa求解．

（2）根据nb的公差为20，nc的公比为13，写出通项公式，从而可得520193nnnnabcn． 精品文档

实用文档 通过计算1582aa，248a，63043a，26aa，即知na不具有性质．

（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．

试题解析：（1）因为52aa，所以63aa，743aa，852aa．

于是678332aaaa，又因为67821aaa，解得316a．

（2）nb的公差为20，nc的公比为13，

所以12012019nbnn，1518133nnnc．

520193nnnnabcn．

1582aa，但248a，63043a，26aa，

所以na不具有性质．

（3）[证]充分性：

当nb为常数列时，11sinnnaba．

对任意给定的1a，只要pqaa，则由11sinsinpqbaba，必有11pqaa．

充分性得证．

必要性：

用反证法证明．假设nb不是常数列，则存在k，

使得12kbbbb，而1kbb．

下面证明存在满足1sinnnnaba的na，使得121kaaa，但21kkaa．

设sinfxxxb，取m，使得mb，则

0fmmb，0fmmb，故存在c使得0fc．

取1ac，因为1sinnnaba（1nk），所以21sinabcca，

依此类推，得121kaaac．

但2111sinsinsinkkkkababcbc，即21kkaa．

所以na不具有性质，矛盾． 精品文档

实用文档 必要性得证．

综上，“对任意1a，na都具有性质”的充要条件为“nb是常数列”．

4、已知数列{na }的首项为1，nS 为数列{na }的前n项和，11nnSqS ，其中q>0，*nN .

（I）若2322,,2aaa 成等差数列，求an的通项公式；

(ii)设双曲线2221nyxa 的离心率为ne ，且253e ，证明：121433nnnneee.

【答案】（Ⅰ）1=nnaq-；（Ⅱ）详见解析.

解析：（Ⅰ）由已知，1211,1,nnnnSqSSqS+++=+=+ 两式相减得到21,1nnaqan++=?.

又由211SqS=+得到21aqa=，故1nnaqa+=对所有1n³都成立.

所以，数列{}na是首项为1，公比为q的等比数列.

从而1=nnaq-.

由2322+2aaa，，成等比数列，可得322=32aa+，即22=32,qq+，则(21)(2)0q+q-=，

由已知,0q>，故 =2q.

所以1*2()nnan-=?N.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1nnaq-=.

所以双曲线2221nyxa-=的离心率 22(1)11nnneaq-=+=+ .

由2513qq=+=解得43q=.

因为2(1)2(1)1+kkqq-->，所以2(1)1*1+kkqqk-->?N（）.

于是11211+1nnnqeeeqqq--++鬃?>+鬃?=-，

故1231433nnneee--++鬃?>.

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实用文档 5、已知na是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的,bnnN是na和1na的等比中项.

(Ⅰ)设22*1,nnncbbnN，求证：nc是等差数列；

(Ⅱ)设 22*11,1,nnnnkadTbnN，求证：2111.2nkkTd

【解析】⑴22112112nnnnnnnnCbbaaaada

21212()2nnnnCCdaad为定值．

∴nC为等差数列

⑵2213211(1)nknknkTbCCC21(1)42nnnCd212(1)nCdnn（*）

由已知22212123122122()4Cbbaaaadadadd

将214Cd代入（*）式得22(1)nTdnn

∴2111112(1)nnkkkTdkk212d，得证

6、nS为等差数列na的前n项和，且17=128.aS，记=lgnnba，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0lg99=1，．

（Ⅰ）求111101bbb，，；

（Ⅱ）求数列nb的前1 000项和．

【解析】⑴设 na的公差为d，74728Sa，

∴44a，∴4113aad，∴1(1)naandn．

∴11lglg10ba，1111lglg111ba，101101101lglg2ba．

⑵ 记nb的前n项和为nT，则1000121000Tbbb

121000lglglgaaa．

当0lg1na≤时，129n，，，；

当1lg2na≤时，101199n，，，；

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高考数学专题—数列求前n项和的5种常用方法总结

高考数学专题—数列求前n项和的5种常用方法总结

高考数学专题——数列（求𝑺𝒏）

求𝒔𝒏的四种方法总结

常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。

1、倒序相加法：实质为等差数列求和。

例1、【2019·全国2·文T18】已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=log2an.求数列{bn}的前n项和.

【解析】(1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4.

因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.

(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.

2、错位相减法：实质为等差×等比求和。

错位相减法的万能公式及推导过程：

公式：数列𝒄𝒏=(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏−𝟏，(𝒂𝒏+𝒃)为等差数列，𝒒𝒏−𝟏为等比数列。

前𝐧项和𝑺𝒏=(𝑨𝒏+𝑩)𝒒𝒏+𝑪

𝑨=𝒂𝒒−𝟏，𝑩=𝒃−𝑨𝒒−𝟏，𝑪=−𝑩

𝑺𝒏=(𝒂+𝒃)+(𝟐𝒂+𝒃)𝒒+(𝟑𝒂+𝒃)𝒒𝟐+⋯[(𝒏−𝟏)𝒂+𝒃]𝒒𝒏−𝟐+(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏−𝟏 ①

𝒒𝑺𝒏=(𝒂+𝒃)𝒒+(𝟐𝒂+𝒃)𝒒𝟐+(𝟑𝒂+𝒃)𝒒𝟑+⋯[(𝒏−𝟏)𝒂+𝒃]𝒒𝒏−𝟏+(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏 ②

②-①得：

(𝒒−𝟏)𝒔𝒏=−(𝒂+𝒃)−𝒂(𝒒+𝒒𝟐+⋯𝒒𝒏−𝟏)+(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏

=−(𝒂+𝒃)−𝒂⋅𝒒(𝟏−𝒒𝒏−𝟏)𝟏−𝒒+(𝒂𝒏+𝒃)𝒒𝒏

=(𝒂𝒏+𝒃−𝒂𝒒−𝟏)𝒒𝒏−(𝒃−𝒂𝒒−𝟏) 𝑺𝒏=(𝒂𝒒−𝟏⋅𝒏+𝒃−𝒂𝒒−𝟏𝒒−𝟏)⋅𝒒𝒏−𝒃−𝒂𝒒−𝟏𝒒−𝟏

(完整版)高考数学专题《数列》超经典

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高考复习序列-----

高中数学

数列

2

一、数列的通项公式与前n项的和的关系

①11,1,2nnnsnassn （注：该公式对任意数列都适用）

②1(2)nnnSSan （注：该公式对任意数列都适用）

③12nnSaaaL （注：该公式对任意数列都适用）

④sn+1−sn−1=an+1+an （注：该公式对任意数列都适用）

二、等差与等比数列的基本知识

1、等差数列

⑴ 通项公式与公差：

定义式：daann1

一般式：qpnadnaann11

推广形式： ()nmaanmdmnaadmn；

mnmSnSdnmn2项和与公差的关系：前；

⑵ 前n项和与通项na的关系：

前n项和公式：1()2nnnaas1(1)2nnnad211()22dnadn.

前n项和公式的一般式： daBdABnAnSn21,2,12其中

应用：若已知nnnf22，即可判断nf为某个等差数列na的前n项和，并可求出首项及公差的值。

na与nS的关系：1(2)nnnaSSn（注：该公式对任意数列都适用）

例：等差数列12nSn，1nnaa （直接利用通项公式作差求解）

⑶ 常用性质：

①若m+n=p+q ，则有 mnpqaaaa ；特别地：若,mnpaaa是的等差中项，则有2mnpaaan、m、p成等差数列；

②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,aaa456,aaa789aaa，）仍是等差数列；

③na为公差为d等差数列，nS为其前．n．项和．．，则232,,mmmmmSSSSS，43mmSS，．．．也成等差数列,

A、 构成的新数列公差为D=m2d，即m2d=(S2m-Sm)- Sm；

高考数学解答题(新高考)数列求和(奇偶项讨论求和)(典型例题+题型归类练)(解析版)

高考数学解答题(新高考)数列求和(奇偶项讨论求和)(典型例题+题型归类练)(解析版)

专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）(典型例题+题型归类练)

一、必备秘籍

有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．

类型一：

通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：nnnancbn为奇数为偶数

角度1：求nnnancbn为奇数为偶数的前2n项和2nT

角度2：求nnnancbn为奇数为偶数的前n项和nT

类型二：

通项含有(1)n的类型；例如：(1)nnnca

类型三：

已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题

二、典型例题

类型一：通项公式分奇、偶项有不同表达式

通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：nnnancbn为奇数为偶数

角度1：求nnnancbn为奇数为偶数的前2n项和2nT 例题1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知公差不为零的等差数列na满足24692,,,aaaa成等比数列．数列nb的前n项和为nS，且满足22NnnSbn

(1)求na和nb的通项公式；

(2)设数列nc满足211,,nnnnnnaacanb为奇数为偶数，求数列nc的前2n项和2nT．

第（2）问解题思路点拨：由（1）知：,，可代入到第（2）问中，求出的通项公式：

，即：注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.

奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧

，由于奇偶项通项比较复杂，可设；，则 （注意到本例求解的为偶数项和，最后一项一定是代入偶数的通项公式，否则，若是求，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，则需要讨论）

分组求和

当为奇数 当为偶数

，

2024年高考真题汇总 数列(学生版)

2024年高考真题汇总 数列(学生版)

1专题数列

一、单选题

1(全国甲卷数学(文))

等差数列a

n的前n项和为S

n，若S

9=1，a

3+a7=()

A.-2B.7

3C.1D.2

9

2(全国甲卷数学(理))等差数列a

n的前n项和为S

n，若S

5=S

10，a

5=1，则a

1=()

A.-2B.7

3C.1D.2

3(新高考北京卷)记水的质量为d=S-1

lnn，并且d越大，水质量越好．若S不变，且d

1=2.1，d

2=2.2，

则n

1与n

2的关系为()

A.n

1

2B.n

1>n

2

C.若S<1，则n

1

2；若S>1，则n

1>n

2；D.若S<1，则n

1>n

2；若S>1，则n

1

2；

二、填空题

4(新课标全国Ⅱ卷)记S

n为等差数列{a

n}的前n项和，若a

3+a4=7，3a

2+a

5=5，则S

10=.

5(新高考上海卷)无穷等比数列a

n满足首项a

1>0,q>1，记I

n=x-yx,y∈a

1,a

2∪a

n,a

n+1，

若对任意正整数n集合I

n是闭区间，则q的取值范围是．

三、解答题

6(新课标全国Ⅰ卷)设m为正整数，数列a

1,a

2,...,a

4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a

i

和a

ji

后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a

1,a

2,...,

a

4m+2是i,j

-可分数列．

(1)写出所有的i,j

，1≤i

1,a

2,...,a

6是i,j

-可分数列；(2)当m≥3时，证明：数列a

1,a

2,...,a

4m+2是2,13

-可分数列；

(3)从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和ji

，记数列a

1,a

2,...,a

4m+2是i,j

-可分数列的概率为P

m，

证明：P

m>1

8．

7(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=mm>0

，点P

15,4

在C上，k为常数，0

如下方式依次构造点P

nn=2,3,...

，过P

n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q

n-1，令P

n为Q

n-1关于

y轴的对称点，记P

n的坐标为x