5.2 离散型随机变量
一、离散型随机变量的分布列
随机变量依其取值的不同情形而分为两大类。一类是离散型随机变量，另一类是非离散型随机变量。本节讨论离散型随机变量，下节将讨论连续型随机变量。
定义1 如果随机变量X的所有可能取值为有限个或无穷可列个，则称X为离散型随机变量。
例如，第2.1节引例1中定义的随机变量X可能取的值为0和1。引例2中定义的随机变量X可能取的值为0，1，2，…。又如若用Z表示一个日光灯管的寿命，则它可能取的值充满一个区间
，是无穷不可列的，因而它是一个非散型的随机变量。
对于一个离散型随机变量X，我们关心两个问题：X的所有可能取的值以及取每一个可能值的概率。
定义2 设离散型随机变量X的所有可能取值为且X取这些值的概率依次为
即
（2.3）
则称（2.3）式为离散型随机变量X的分布列或概率分布。
离散随机变量的分布列也可写成表格形式：
… …
X
… …
根据概率的性质，易知分布列具有如下性质：
（1）；
（2）。
例1 独立地重复抛一枚均匀硬币，直到出现正面向上为止，求抛掷次数X的分布列。解：事件{X=R}表示前R-1抛掷都是反面向上，而第R次抛掷是正面向上，故
。
于是X的分布列为
例2 抛掷一枚匀称的骰子，出现的点数为随机变量X。
（1）求X的分布列；
（2）求出现的点数不小于3＂的概率；
（3）求“出现的点数不小于2又不超过4”的概率。
解：（1）。
（2）
（3）
由上例可见，若知道了离散型随机变量的分布列，就可以求出它在各个范围内取值的概率。因此，分布列全面地描述了离散型随机变量的统计规律。
如果知道了离型随机变量X的分布列，那么，就可能求出X的分布函数。
例3 设随机变量X的分布列为
0 1 2
X
0.3 0.5 0.2
试求X的分布函数。
解：当时，；
当时，；
当时，
当时，
因此
一般地，若已知X的分布列为
则其分布函数为
离散型随机变量X的分布函数是一个分段函数，其图形为阶梯形，其分界点即为X的取值点。设X的取值点为则X的分布列为
例4 设离散型随机变量X的分布函数为
求X的分布列。
解：的分界点为，即X的取值为-1，1，2。
于是，X的分布列为
-1 1 2 X
Pk
二、几种常见的离散型分布
1、两点分布
定义3 若随机变量X的取值为0，1两个值，分布列为
则称X服从两点分布（或0-1分布），记作X~B（P）。
为书写简便，常用q表示1-P，以后在离散型分布中出现q，即表示1=1-P，不再另作说明。
一般在随机试验中虽然结果可以很多，但如只关注具有某种性质的结果，则可将样本空间重新划分为：A与非A，而A出现时，定义X=1；出现时，定义X=0，此时X的分布即为两点分布。
例如，在一批产品中分次品，合格品和优质品，从中随机抽取一件，我们只关心抽到的是否是次品，则可设：当抽到的是次品时，X=1；其他情况，X=0。此时，X就服从两点分布。
2、二项分布
（1）n重佰努利（Bernouli）试验
定义4 如果一个试验有两个可能结果A与，称这个试验为一个佰努利试验。
例如，抛一枚硬币观察出现正反面的试验，射击一次观察是否命中目标的试验，某种产品检查质量是否合格的试验，等等。
定义4’ 若将一个佰努利试验重复进行n次，且每次试验结果互不影响（即各次试验是独立的），则称为n重佰努利试验，或称为佰努利概型。
注意：在n重佰努利试验中，事件A可能发生0，1，2，…，n次，若记，，则事件A拾好发生k次的概率为
或记为。
事实上，根据独立性，在n次试验中，事件A在某指定的k次试验中发生，而在其余的n-k次试验中不发生的概率为。而事件A可能发生在n次试验中的任何k次，所以n次试验中A发生k次，应有种不同情况，这些结果又是互不相容的，根据概率的加法公式，所求的概率为。
例5 对某种药物的疗效进行研究，设这种药物对某种疾病的有效率为P=0.8，现有10名患此种疾病的病人同时服用此药，求其中至少有6名病人服药有效的概率。
解：这是佰努利试验。N=10，P=0.8，设A={至少有6名患者服药有效}，则
（2）二项分布
定义5 若随机变量X的分布列为
，
其中，，则称X服从参数n，p的二项分布，记作X~B(n,p)。
从前面的讨论可知，二项分布的实际背景就是n重佰努利试验：若在单次试验中，事件A发生的概率是，则在n次独立重复试验中A发生的次数X就服从二项分布。
显然，当n=1时，二项分布即为两点分布。
容易验证，二项分布满足分布列的两条性质：
（1）
（2）
例6 有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴种6粒，求其出苗种子数的分布列。
解：对6粒种子出苗粒数的观察，可看作6重贝努利试验。以X表示出苗的种子数，则X服从n=6，P=0.67的二项分布，所以其分布列为
，。
如果用表格形式表示其分布列，则有
X 0 1 2 3 4 5 6 Pk 0.0013 0.0157 0.0799 0.2162 0.3292 0.2673 0.0904
3、泊以（Poisson）分布
定义6 若随变量X的分布列为
其中为正常数，则称X服从参数为的泊松分布，记作X~P()。
泊松分布是常用的离散分布之一，现实生活中有很多随机变量都可直接用泊松分布描述，其差别表现在参数取值不同。例如：
（1）在一定时间内，超级市场排队等候付款的顾客人数；
（2）在一定时间内，某操作系统发生故障的次数；
（3）在一段时间内，电话交换台接到的呼唤次数；
（4）500页的一本书中错别字的个数；
（5）一定的液体中微生物的个数。
这些随机变量服从或近似服从泊松分布。
它们都与计数过程相关联，并且计数是是在一特定的单位内进行的。
