【恒心】(2014哈三中二模)黑龙江省哈三中2014届高三下学期第二次高考模拟考试数学(理科)试题及参考答案
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哈尔滨市第三中学二模考试数学（理）参考答案
1-12 CDBBC,BCCBD,BA 13-16 6- 35
9 83 n
109⨯
17题
（I ）3)6
2sin(2)(+-
=π
x x f ………3分
最大值为32+，x 集合为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+=
Z k k x x ,3ππ
………6分 （II ）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈-
65,662πππ
x ，若有两个零点，则[)
32,31++∈m ………12分 18题
（I ）无论点F 运动到何处时，总有AE BF ⊥，则⊥AE 平面BCE ，………6分 所以平面⊥ADE 平面BCE
（II ）
如图建立直角坐标系,
)0,1,0(-A ,)2,1,0(-D ,)2,1,0(C ,)0,0,1(E , )0,2,0(=DC ,)2,1,1(--=CE ,)0,1,1(=AE
平面EDC 的法向量为)1,0,2(=n ………..8分 平面EAC 的法向量为)1,1,1(-=m ………..10分
5
15
,cos >=
<n m ………..12分 19题 （I ）804800(100160)
8000(160200)
X X Y X -≤≤⎧=⎨
≤≤⎩ ………..4分
（II ）120,(120)0.9X P X ≥∴≥= ………..6分 （III ）根据题意得 获得利润Y 的分布列是 Y 4000 5600 7200 8000 P
0.1
0.2
0.3
0.4
所以数学期望为()6880E Y =（元）………..12分 20题
A
B
C
E
D F
O x y
z
（I ）设椭圆上点00(,)P x y 且点(,),(,)M m n N m n --在椭圆上
22
22
0022221,1,x y m n a b a b
∴+=+=做差得22222220002222
200,x m y n y n b a b x m a ---+=∴=-- 2
2222000222000144
PM PN
y n y n y n b k k a b x m x m x m a -+-∴⋅=⋅==-=-∴=-+- 又(),0F c 在直线230x y --=上，令0y =，得3c =，
所以椭圆方程为2
21
4x y +=
…..4分 （II ）2
1=
y ()22
22
2141612014
y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩ 1222
122163140,,12414k x x k k x x k ⎧
+=-⎪⎪+∆>∴>⎨⎪
⋅=⎪+⎩
取直线2y x =+与椭圆2214x y +=交于两点()64,,T 2,055S ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
直线1211:1,:162B S y x B T y x =
+=--，两条直线的交点为113,2Q ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
取直线2y x =-+与椭圆2214x y +=交于两点()64,,T 2,055S ⎛⎫
⎪⎝⎭
直线1211:1,:162B S y x B T y x =-
+=-，两条直线的交点为213,2Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
若交点在一条直线上则此直线只能为1
:2
l y = 验证对任意的33
,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-
+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，直线1B S 与直线2B T 的交点Q 都在定直线1:2l y =
上，设直线直线1B S 与直线1:2l y =交点为()000,Q x y ，直线2B T 与直线1
:2
l y =
交点为()
''000',Q x y ，设点()()1122,,T ,S x y x y 直线121212
11:y 1,:1y y B S x B T y x x x -+=+=- 1111011:y 111,2121
2y B S x x x Q y y -⎧=+⎪⎛⎫⎪⇒⋅⎨ ⎪-⎝⎭⎪=⎪⎩；2121021:y 131',21212
y B S x x Q y y +⎧=-⎪⎛⎫⎪⇒⋅⎨ ⎪+⎝⎭⎪=⎪⎩ ()()()()()
22121200212112164343111414'0211211k k kx x x x k k x x y y y y -⋅+⋅++++-=⋅=⋅=+-+- 所以点()000,Q x y 与()
''000',Q x y 重合，所以交点在直线1:2l y =上……12分 21题 解：（I ）x e a ax x f ⋅+-=)2()(，x
e ax x
f ⋅+=)2()('，……………………1分
当0≥a 时)('x f 在[]2,0上恒正，最大值为2)2()2(e a f += ……………………2分 当0<a 时，令0)('=x f ，得a
x 2-= 所以当01<≤-a 时，仍有)(x f 在[]2,0上为增函数，最大值为2)2()2(e a f +=
当1-<a 时，)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a 2,0上为增函数，在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2,2a 上为减函数 最大值为=-)2(a f a ae 2-- 综上有，⎪⎩⎪⎨⎧-<--≥+=-1,1,)2()(22max a ae
a e a x f a ……………………6分 （II ）3013)(22--=ax x a x g ＝)15)(2(-+ax ax
所以只需要152->ax e x 即可，
记=)(x h 152+-ax e x ，则=)('x h a e x -2
故)(x h 在)2ln ,0(a 减，),2(ln +∞a 增，则152
ln )(m in +-=a a a x h
记152ln )(+-=x x x x k ，则2
ln )('x x k -= 故)(x k 在)2,0(增，),2(+∞减
在),2(+∞上取22e ，有0215)2(22>-=e e k 又0)215ln
2(15)15(<-=k ，故存在0x ()15,22e ∈使0)(0=x k 而22e )15,14(∈,所以当14=a 时可保证0)(m in >x h ，有)()(2'x g x f >恒成立 当15=a 时0)(m in <x h ，不能有)()(2'x g x f >恒成立 所以a 所能取到的最大正整数为14
22题
（I ）因为PB PE ,分别是⊙2O 割线，所以PB PD PE PA ⋅=⋅① 又PB PA ,分别是⊙1O 的切线和割线，所以PB PC PA ⋅=2② 由①②得PC PE PD PA ∙=∙ ………5分
（II ）连接DE AC ,，设DE 与AB 相交于点F ，因为BC 是⊙1O 的直径，所以︒=∠90CAB ，所以AC 是⊙2O 的切线，由（1）得DE AC //，所以DE AB ⊥，所以AE AD = ………10分 23解（I ）)4cos(22π
θρ-= ………5分
（II ）2=a 或23=a ． ………10分
24
（I ）⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+-=-∴≤≤-+≤≤-∴≤-32,5151,m a m a m a x m a x m a m a x ………5分
（II ）
].22,2,0,2202,20,20,2222+∞-∴∴-≥+-<+≤
≤∴≥+-<≤∴<≤≥+-≥≥+-∴=t x t x x t x x t x x t x t x x x
t x a 解集为（成立
时当成立时当舍去
时，当 ………10分。
