2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第4章 三角函数 第1节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编三角函数、解三角形一、选择题【2017，11】△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，2，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【2016，4】ABC △的角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知5a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ） A ．2 B 3．2 D ．3 【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【2014，2】若tan 0α>，则（ ）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>【2013，10】已知锐角△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5 【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ） A ．4πB ．3π C ．2πD ．34π 【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称 二、填空题【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．【2014，16】如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角 45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒． 已知山高100BC m =，则山高MN = m ． 【2011，15】ABC △中，120B =，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为 ． 三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=，且2a =ABC △的面积．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC 3，求b ，c ．解 析一、选择题【2017，11】△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，2，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解法】解法一：因为sin sin (sin cos )0B A C C +-=，sin sin()B A C =+，所以sin (sin cos )0C A A +=，又sin 0C >，所以sin cos A A =-，tan 1A =-，又0A π<<，所以34A π=，又a =2，c 222=即1sin 2C =．又02C π<<，所以6C π=，故选B ．解法二：由解法一知sin cos 0A A +=2)04A π+=，又0A π<<，所以34A π=．下同解法一．【2016，4】ABC △的角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知5a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ） A ．2 B 3．2 D ．3解析：选D ．由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即245243b b +-=， 整理得()28113033b b b b ⎛⎫--=-+= ⎪⎝⎭，解得3b =．故选D ． 【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解析：选D ．将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期，即向右平移π4个单位， 故所得图像对应的函数为ππ2sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D ． 【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 解：选D ．依图，153++4242ππωϕωϕ==且，解得ω=π，=4πϕ， ()cos()4f x x ππ∴=+， 224k x k πππππ<+<+由，，解得132244k x k -<<+，故选D ． 【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解：选A ．由cos y x =是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x ，最小正周期为π；②y=|cos x |的最小正周期也是π；③中函数最小正周期也是π；正确答案为①②③，故选A【2014，2】若tan 0α>，则（ ）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>解：选C ．tan α>0，α在一或三象限，所以sin α与cos α同号，故选C【2013，10】已知锐角△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D ．由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125．∵A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos A ＝15．∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ）A ．4πB ．3π C ．2πD ．34π【解析】选A ．由直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，得()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期52()244T πππ=-=，从而1ω=．由此()sin()f x x ϕ=+，由已知4x π=处()sin()f x x ϕ=+取得最值，所以sin()14πϕ+=±，结合选项，知ϕ=4π，故选择A ．【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【解析】设(,2)(0)P t t t ≠为角θ终边上任意一点，则cosθ=当0t >时，cos θ=0t <时，cos θ=．因此223cos 22cos 1155θθ=-=-=-．故选B ．【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称【解析】因为ππππ()sin 2cos 2224444f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当π02x <<时，02πx <<，故()f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．又当π2x =π22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭π2x =是()y f x =的一条对称轴．故选D ．二、填空题【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【解析】10．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin tan 22sin 2cos cos ααααα=⇒=⇒=，又22sin cos 1αα+=，解得sin α=，cos α=，cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭．【基本解法2】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，∴角α的终边过(1,2)P ，故sin y r α==，5cos x r α==，其中225r x y =+=2310cos sin )4πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭ 【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ． 解析：43-．由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ，所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z ， 从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 方法2：还可利用ππtan tan 144θθ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭来进行处理，或者直接进行推演，即由题意4cos 45θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan 44θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭143tan 4θ-=-π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．答案：解析：25． ∵f (x )＝sin x －2cos x 5x －φ)，其中sin φ25，cos φ5当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)．∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－sin φ＝25．【2014，16】16．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及 75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN = m ．解：在RtΔABC 中，由条件可得1002AC =， 在ΔMAC 中，∠MAC=45°；由正弦定理可得sin60sin 45AM AC =︒︒，故310032AM AC =RtΔMAN 中，MN=AM sin60°=150．【2011，15】ABC △中，120B =，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为 ．【解析】由余弦定理知2222cos120AC AB BC AB BC =+-⋅，即249255BC BC =++，解得3BC =．故11sin1205322ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△．．三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=，且a =ABC △的面积．解析：（1）由正弦定理得，22b ac =．又a b =，所以22a ac =，即2a c =．则22222212cos 2422a a a a cb B a ac a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⋅．（2）解法一：因为90B ∠=，所以()2sin 12sin sin 2sin sin 90B A C A A ===-， 即2sin cos 1A A =，亦即sin 21A =．又因为在ABC △中，90B ∠=，所以090A <∠<，则290A ∠=，得45A ∠=．所以ABC△为等腰直角三角形，得a c ==112ABC S ==△． 解法二：由（1）可知22b ac =，① 因为90B ∠=，所以222a cb +=，② 将②代入①得()20a c -=，则a c ==，所以112ABC S ==△． 解：(Ⅰ) 因为sin 2B =2sin A sinC ． 由正弦定理可得b 2=2ac ．又a =b ，可得a=2c ， b=2c ，由余弦定理可得2221cos 24a cb Bac． (Ⅱ)由(Ⅰ)知b 2=2ac ．因为B=90°，所以a 2+c 2=b 2=2ac ． 解得a =． 所以ΔABC 的面积为1．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC，求b ，c ． 【解析】（1）根据正弦定理2sin sin a cR A C==，得A R a sin 2=， C R c sin 2=，因为sin cos c C c A =-，所以2sin sin )sin 2sin cos R C R A C R C A =-⋅， 化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-， 因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即21)6sin(=-πA ， 而π<<A 0，6566πππ<-<-A ，从而66ππ=-A ，解得3π=A ． （2）若2a =，△ABC1）得3π=A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+=43cos 233sin 21222a bc c b bc ππ，化简得⎩⎨⎧=+=8422c b bc ， 从而解得2=b ，2=c ．。

第四章 三角函数第3节 三角恒等变换题型55 两角和与差公式的证明1.（2015陕西文）“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 1.解析 当sin cos αα=时，()()22cos2cos sin cos sin cos sin 0ααααααα=-=+-=，即sin cos cos20ααα=⇒=； 当cos20α=时，有()()cos sin cos sin 0αααα+-=，所以cos sin 0αα+=或cos sin 0αα-=.即cos20α=不能推出sin cos αα=.故选A.命题意图 考查三角函数恒等变形以及命题相关.题型56 化简求值1.（2014陕西文13）设π02θ<<，向量()()sin 2cos 1cos θθθ==，，，-a b ， 若0⋅=a b ，则=θtan _______.2.（2014江苏15）已知,2απ⎛⎫∈π⎪⎝⎭，sin 5α=． （1）求sin 4απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求cos 26α5π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．3.（2014天津文16）（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin =. (1)求A cos 的值；(2)求πcos 26A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.4.（2015重庆文）若1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则tan β=（ ）.A.17 B.16 C.57 D.564.解析 由两角差的正切公式知()()()tan tan 1tan tan 1tan tan 7αβαβαβαααβ+-=+-==⎡⎤⎣⎦++.故选A.5.（2015四川文）已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是__________. 5.解析 由题意可得tan 2α=-，222222sin cos cos 2tan 1412sin cos cos 1sin cos tan 141αααααααααα-----====-+++6.（2015江苏文）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为． 6.解析解法一：()tan tan βαβα=+-()()tan tan 1tan tan αβααβα+-=++⋅1273217+==-． 解法二：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⋅2tan 112tan 7ββ-+==+，故tan 3β=．解法三：()tan tan αβαβ=+-()()tan tan 1tan tan αββαββ+-=++⋅1tan 7211tan 7ββ-==-+，故tan 3β=．7.（2015江苏）设向量cos ,sin cos 666k k k k πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a ()0,1,2,,12k =…，则()11+10k k k =⋅∑a a 的值为．7.解析解法一（强制法）：由题意得()()0cos0,sin0cos01,1=+=a，11,22⎛⎫+= ⎪⎝⎭a，211,22⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，()30,1=a，411,22⎛⎫=- ⎪⎝⎭a，5122⎛⎫=- ⎪⎝⎭a ，()61,1=--a，7122⎛⎫-=- ⎪⎝⎭a，811,22⎛⎫=- ⎪⎝⎭a ，()90,1=-a，1011,22⎛⎫= ⎪⎝⎭a，11122⎛⎫-= ⎪⎝⎭a ，()121,1=a .从而()11+101111222222k k k =⎛⎫⎛⎫⋅=++⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑a a1122⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111222222⎛⎫⎛⎫-+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭11111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111222222⎛⎫⎛⎫⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=（恰当整理化简即可）. 解法二（部分规律法）：由题意6cos ,sin cos 666k k k k +⎛πππ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+π+π++π=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a cos ,sin cos 666k k k k πππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭a ，从而671k k k k +++=a a a a ，即1k k +a a 的结果呈现以6T =为周期的变化， 故()11+10kk k =⋅∑aa ()0112233445562=⨯++a a +a a a a a a +a a +aa =.解法三（通用规律法）：由题意得：()()()1111cos ,sin cos cos ,sin cos 666666k k k k k k k k ++π+π+π⎛⎫πππ⎛⎫⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a ()()()111coscos sin cos sin cos 666666k k k k k k +π+π+π⎛⎫πππ⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()111coscos cos cos sin sin 666666k k k k k k +π+π+π⎡⎤πππ+++⎢⎥⎣⎦()()11sincos cos sin 6666k k k k +π+πππ+= ()()()()1111coscos cos sin cos cos sin 66666666k k k k k k k k +π+π+π+π⎡⎤ππππ+-++=⎢⎥⎣⎦ ()()()111coscos sin sin cos cos 666666k k k k k +π+π+π⎡⎤πππ+++=⎢⎥⎣⎦11cos cos sin sin cos 626262626k k k k k ⎤πππππ-+++⎥⎣⎦1sin sin 626262k k k ⎤πππ-+=⎥⎣⎦22111sin cos cos1cos266226262k k k k⎛⎫ππππ⎫⎛⎫++--+=⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭211sin1cos432622k k⎛ππ++-+=⎝⎭1cos113sin1432222kkπ+⎛⎫π++-+=⎪⎪⎝⎭33k kππ，sin3kyπ=，cos3kyπ=的周期为263Tπ==π，在一个周期内其和为0，故()11+1124k kk=⋅=⨯=∑a a解法四（部分规律法）：()()() 1111cos,sin cos cos,sin cos666666 k kk k kk k k++π+π+π⎛⎫πππ⎛⎫⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a()()()() 1111 cos cos cos sin cos cos sin 66666666 k k k k k k k k+π+π+π+π⎡⎤ππππ+-++=⎢⎥⎣⎦()()11cos cos cos sin66666k kk k+π+π⎡⎤πππ+++=⎢⎥⎣⎦()1cos cos sin26636kk k+ππππ⎛⎫+++⎪⎝⎭．则()()11111111+100001cos cos sin26636k kk k k kkk k====+ππππ⎛⎫⋅=+++⎪⎝⎭∑∑∑a a，设()1cos cos66nnnb+ππ=，由诱导公式()()334cos cos66nn nb++π+π=()1sin sin66nn+ππ=，故()()311sin sin cos cos6666n nn nn nb b++π+πππ+=+cos62π==，从而分组求和()111cos cos6662kkk=+ππ=⨯=∑设sin 36n n c ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由诱导公式()33sin sin 3636n n n n c c ++π⎛⎫πππ⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故30n nc c ++=，从而分组求和11sin 036k k =ππ⎛⎫+=⎪⎝⎭∑．又1112k ===()11+10k k k =⋅=∑a a 评注解法一、二虽然足够复杂，但只要罗列清楚并逐步解决，就会发现其实比较简单，从一般法角度进行解决思路难寻，便可以从具体值的角度思考，这给了江苏考区的大部分普通考生以希望．解法三侧重对三角公式的化简，侧重从一般的角度找到问题的突破口．但解法三中化化简()1coscos 66k k +ππ使用积化和差简化过程，即()1cos cos =66k k +ππ()21cos+cos 662k +ππ，但高中阶段该公式已不要求掌握，因此此题顺利化简确实也比较麻烦． 解法四在解法三的基础之上进行了优化，不化到最简形式也可解决问题．也有学生考虑构造cos ,sin cos 666k k k k πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭a cos ,sin +66k k ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,cos 6k π⎛⎫= ⎪⎝⎭+k k b c ，则k b 和+1k b 都是单位向量且夹角为6π，即+12k k ⋅=b b ． 8.（2015广东文）已知tan 2α=． （1）求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．8.解析（1）πtan tanπtan 1214tan 3π41tan 121tan tan 4ααααα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭-. （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα==+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=. 9.（2017全国3文4）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ）.A ．79-B ．29-C ． 29D ．799.解析216167(sin cos )12sin cos 1sin 2sin 21999αααααα-=-=-==-=-，. 故选A.评注 考点为三角函数的恒等变换，有一定难度，关键在于对正弦二倍角公式的运用.失分的原因在于解题的思路是否清晰以及计算错误.10.（2017山东文4）已知3cos 4x =，则cos2x =（ ）. A.14- B.14 C.18- D. 1810.解析 291cos 22cos 121168x x =-=⨯-=.故选D.11.（2017全国1文15）已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.11.解析 由tan 2,sin 2cos ααα==得.又22sin cos 1αα+=， 所以21cos 5α= . 因为0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α=，sin α= 所以cos cos cos sin sin 444αααπππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭22== 12.（2017江苏5）若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=． 12.解析 解法一（角的关系）：tan tan 44ααππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7tan 1746551tan 64ααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故填75．解法二（直接化简）：πtan 11tan 41tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以7tan 5α=．故填75． 题型57 三角函数综合1.(2013广东文16）已知函数π()12f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．(1) 求π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (2) 若3cos 5θ=，3π,2π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求π6f θ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 1.分析 （1）把π3x =代入函数解析式，借助特殊角的三角函数值求π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由cos θ求出sin θ，利用两角差的余弦公式求π6f θ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解析 （1）因为()π12f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以ππππ33124f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12==. （2）因为3π3,2π,cos 25θθ⎛⎫∈=⎪⎝⎭，所以4sin 5θ===-.所以ππππ66124f θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos cos sin 22θθθθ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭341555=-=-. 2. (2013湖南文16已知函数()πcos cos 3f x x x ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭. （1） 求2π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2） 求使1()4f x <成立的的取值集合. 2.分析 （1）利用三角恒等变形公式将()f x 变形为只含一个角的一种三角函数形式后求解.（2）根据余弦函数的性质变形为关于自变量的不等式求解.解析 （1）2π2ππcos cos 333f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ππcos cos 33=-⋅21124⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（2）()πcos cos 3f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1cos cos 22x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭21cos cos 22x x x =+()11cos 2244x x =++1π1cos 2234x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.()14f x <等价于1π11cos 22344x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即πcos 203x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭.于是ππ3π2π22π,232k x k k +<-<+∈Z .解得5π11πππ,1212k x k k +<<+∈Z . 故使()14f x <成立的的取值集合为5π11πππ,1212x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z . 3.（2014江西文16）（本小题满分12分）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中a ∈R ，()0θ∈π，. （1）求θ，a 的值； （2）若2452f ααπ⎛⎫⎛⎫=-∈π⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，求sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 4. （2014广东文16）（12分）已知函数()πsin ,3f x A x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R，且5π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求A 的值；（2）若()()f f θθ--=π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求π6f θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.（2014湖南文21）（本小题满分13分） 已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>. （1）求()f x 的单调区间； （2）记i x 为()f x 的从小到大的第*()i i ∈N 个零点，求证：对一切*n ∈N ，有2221211123n x x x +++<. 6.（2014辽宁文21）（本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin2f x x x x =π---，2()(1xg x x =-π+-π.求证：（1）存在唯一00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使0()0f x =； （2）存在唯一1,2x π⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，使1()0g x =，且对（1）中的0x ，有01x x +>π.7.（2014四川文17）(本小题满分12分) 已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos sin αα-的值.8.（2017全国1文11）ABC △的内角A，B ，C 的对边分别为，，，已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=，2a =，c =C =（ ）.A ．π12B ．π6C ．π4D ．π38.解析 由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即sin (sin cos )sin 04C A A C A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以34A π=.由正弦定理sin sin a c A C =，得23sin sin4C=π，即1sin 2C =，得6C π=.故选B.9.（2017北京文16）已知函数()22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求证：当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x -．9.解析(1)()22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 2cos sin 2sin sin 233x x x ππ⎤=+-=⎥⎦1cos22sin 22x x x ⎫-=⎪⎪⎭3cos 2sin 2sin 222x x x +-=1cos 2sin222x x +=sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以22T π==π，所以()f x 的最小正周期为.(2)当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52636x πππ-+，令23t x π=+，则5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.因为t y sin =在,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以1sin 12t -，所以()12f x -.。

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8.【2015 高考福建，文 6】若 sin 5 ，且 为第四象限角，则 tan 的值等于（
）
13
A． 12 B． 12
5
5
【答案】D
C． 5 D． 5
12
12
【考点定位】同角三角函数基本关系式．
【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在 sin 、cos 、tan 三个值之间， 知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角 的象限，从而决定正负符号的取舍，
右
平
移
个
单
位
长
得
函
数
12
y 2 cos 3(x ) 2 cos(3x ) 2 sin( 3x ) 2 sin(3x ) ，即得函
12
4
2
4
4
数 y sin 3x cos 3x 的图象，选 A.
考点：三角函数的图象的平移变换，公式 sin x cos x 2 sin(x ) 的运用，容易题. 4
A. π
B. 2π
C. π
D. 2π
2
3
【答案】C
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【考点】三角变换及三角函数的性质
【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx ＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为|2ωπ|,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为|πω|.③
【名师点睛】本题考查了 y Asin x 的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙
述方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选
项：当 x 5 时， 2 5 ，满足题意， 2 5 11 ，不合题意，B 选

第二节 三角函数的图象与性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 2.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 3.(2016·四川，4)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向上平行移动π3个单位长度D.向下平行移动π3个单位长度4．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z5.(2015·山东，4)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位6.(2014·天津，8)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π7.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B.π C.2π D.4π8.(2014·四川，3)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π12个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π4个单位10.(2014·安徽，7)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π411.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③ 12.(2014·福建，7)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A.y ＝f (x )是奇函数B.y ＝f (x )的周期为πC.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D.y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 13.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.14.(2015·天津，11)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 15.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．16.(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.17.(2014·重庆，13)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 18.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．19.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．20.(2014·四川，17)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 21.(2014·福建，18)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．22.(2014·北京，16)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B.g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D.g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 2.(2016·山西四校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π2⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π6，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z3.(2015·石家庄模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C.0D.－π44.(2015·黄冈模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A.奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D.偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称 5.(2015·河南焦作市统考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称 B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称D.关于直线x ＝π12对称6.(2015·怀化市监测)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间为________.7.(2015·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx (ω＞0)的周期为4. (1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，P ，Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.答案 D2.解析 由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选A.答案 A3.解析 由y ＝sin x 得到y ＝sin(x ±a )的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A4.解析 由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确． 答案 D5.解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．答案 B6.解析 由题意得函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)， 又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3， 由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3， 即2π3ω＝π3，解得ω＝2， 所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω＝π.答案 C7.解析 由余弦函数的复合函数周期公式得T ＝2π2＝π.答案 B8.解析 由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案 A9.解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象．答案 A10.解析 方法一 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ，由该函数为偶函数可知2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ， 所以φ的最小正值为3π8.方法二 f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π，k ∈Z ，所以φ的最小正值为3π8.答案 C11.解析 ①y ＝cos|2x |，最小正周期为π；②y ＝|cos x |，最小正周期为π；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最小正周期为π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，最小正周期为π2，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案 A12.解析 函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，排除A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x ＝π2对称，排除C ；故选D.答案 D13.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，由y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到. 答案 π314.解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 由－π2＋2k π≤ωx ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤ωx ≤π4＋2k π，由题意f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k ＝0，ω≥π2， 又函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称， 所以sin(ω2＋π4)＝1，ω2＋π4＝π2，所以ω＝π2. 答案π215.解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5， ∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 816.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx ，知sin ωx ＝cos ωx ，即sin ωx －cos ωx ＝0， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4＝0，∴ωx ＝π4＋k π，x ＝1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π(k ∈Z )，∴两函数交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，2(k ＝0，2，4，…)，或⎝⎛⎭⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，－2(k ＝…，－3，－1，1，3，…)∴最短距离为（22）2＋π2ω2＝23，∴π2ω2＝4， ∴ω＝π2.答案 π217.解析 把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.答案2218.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0. 19.解 (1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32 ＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 20.解 (1)由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)． 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54. 由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52. 21.解 f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 22.解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0. 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3. B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，则有g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 答案 B2.解析 依题意得T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，ω＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＝1， 又|φ|<π2，因此φ＝－π6，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3. 当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3取得最小值时，2x －π3＝2k π－π，k ∈Z ，即x ＝k π－π3，k ∈Z ， 答案 B3.解析 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，又g (x )的函数图象关于y 轴对称，所以g (x )为偶函数，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选B.答案 B4.解析 当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4(A ＞0)，所以y ＝f (3π4－x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＋3π4＝－A cos x ，所以函数为偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，选D.答案 D5.解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，π＋2k π≤2x ＋π6≤2π＋2k π，k ∈Z ，即5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z .答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )6.解析 由于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，故2πω＝π，ω＝2. 把其图象向右平移π12个单位后得到函数的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋φ，为奇函数， ∴－π6＋φ＝k π，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∴φ＝π6，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2－π12，k ∈Z ， 故函数的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z ). 故点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0是函数的一个对称中心. 答案 C 7.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin ωx cos π3＋cos ωx sin π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. ∵T ＝4，ω＞0，∴ω＝2π4＝π2. ∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3. (2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )＝3sin π2x . ∵P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴P (1，3)，Q (3，－3).∴OP ＝2，PQ ＝4，OQ ＝12，∴cos ∠OQP ＝OQ 2＋PQ 2－OP 22OQ ·QP ＝32. ∵∠OQP 是△OPQ 的一个内角，∴∠OQP ＝π6.。