2007年高考全国1卷数学理科试卷含答案

2007年高考全国1卷数学理科试卷含答案

16 2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件AB，互斥，那么

球的表面积公式

()()()PABPAPB 24πSR

如果事件AB，相互独立，那么

其中R表示球的半径

16 ()()()PABPAPBgg 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么

34π3VR

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

其中R表示球的半径

()(1)(012)kknknnPkCppkn，，，…，

一、选择题

（1）是第四象限角，5tan12，则sin（ ）

A．15 B．15 C．513 D．513

（2）设a是实数，且1i1i2a是实数，则a（ ）

A．12 B．1 C．32 D．2

（3）已知向量(56)，a，(65)，b，则a与b（ ）

A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向

（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)，，(40)，，则双曲线方程为（ ）

A．221412xy B．221124xy C．221106xy

D．221610xy

16 （5）设abR，，集合10bababa，，，，，则ba（ ）

A．1 B．1 C．2 D．2

（6）下面给出的四个点中，到直线10xy的距离为22，且位于1010xyxy，表示的平面区域内的点是（ ）

A．(11)， B．(11)， C．(11)，

D．(11)，

（7）如图，正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为（ ）

A．15 B．25 C．35 D．45

（8）设1a，函数()logafxx在区间2aa，上的最大值与最小值之差为12，则a（ ）

A．2 B．2 C．22 D．4

（9）()fx，()gx是定义在R上的函数，()()()hxfxgx，则“()fx，()gx均为偶函数”是“()hx为偶函数”的（ ）

A．充要条件 B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 A B 1B 1A 1D 1C

C D

16 （10）21nxx的展开式中，常数项为15，则n（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

（11）抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl⊥，垂足为K，则AKF△的面积是（ ）

A．4 B．33 C．43 D．8

（12）函数22()cos2cos2xfxx的一个单调增区间是（ ）

A．233， B．62， C．03， D．66，

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

3．本卷共10题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共

16 20分．把答案填在横线上．

（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有

种．（用数字作答）

（14）函数()yfx的图像与函数3log(0)yxx的图像关于直线yx对称，则()fx ．

（15）等比数列na的前n项和为nS，已知1S，22S，33S成等差数列，则na的公比为 ．

（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，，2sinabA．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cossinAC的取值范围．

（18）（本小题满分12分）

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为

16  1 2 3 4 5

P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．

（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()PA；

（Ⅱ）求的分布列及期望E．

（19）（本小题满分12分）

四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD．已知45ABCo∠，2AB，22BC，3SASB．

（Ⅰ）证明SABC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．

（20）（本小题满分12分）

设函数()eexxfx．

（Ⅰ）证明：()fx的导数()2fx≥； DBCAS

16 （Ⅱ）若对所有0x≥都有()fxax≥，求a的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆22132xy的左、右焦点分别为1F，2F．过1F的直线交椭圆于BD，两点，过2F的直线交椭圆于AC，两点，且ACBD，垂足为P．

（Ⅰ）设P点的坐标为00()xy，，证明：2200132xy；

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

（22）（本小题满分12分）

已知数列na中12a，1(21)(2)nnaa，123n，，，…．

（Ⅰ）求na的通项公式；

（Ⅱ）若数列nb中12b，13423nnnbbb，123n，，，…，

证明：432nnba≤，123n，，，…．

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2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、选择题：

（1）D （2）B （3）A （4）A

（5）C （6）C

（7）D （8）D （9）B （10）D

（11）C （12）A

二、填空题：

（13）36 （14）3()xxR （15）13 （16）23

三、解答题：

（17）解：

16 （Ⅰ）由2sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，

由ABC△为锐角三角形得π6B．

（Ⅱ）cossincossinACAA

cossin6AA

13coscossin22AAA

3sin3A．

由ABC△为锐角三角形知，

22AB，2263B．

2336A，

所以13sin232A．

由此有333sin3232A，

所以，cossinAC的取值范围为3322，．

（18）解：

（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．

16 知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

2()(10.4)0.216PA，

()1()10.2160.784PAPA．

（Ⅱ）的可能取值为200元，250元，300元．

(200)(1)0.4PP，

(250)(2)(3)0.20.20.4PPP，

(300)1(200)(250)10.40.40.2PPP．

的分布列为

 200 250 300

P 0.4 0.4 0.2

2000.42500.43000.2E

240（元）．

（19）解法一：

（Ⅰ）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．

因为SASB，所以AOBO，

又45ABCo∠，故AOB△为等腰直角三角形，AOBO⊥，

由三垂线定理，得SABC⊥．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC⊥，依题设ADBC∥，

故SAAD⊥，由22ADBC，3SA，2AO，得

1SO，11SD． O

D B C

A S