因动点产生平行四边形问题
- 格式：doc
- 大小：628.06 KB
- 文档页数：14
.
. 例1 2015年成都市中考第28题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 5 4 ，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
图1 备用图
思路点拨
1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．
2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．
满分解答
（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．
由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4, 5a)．
由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．
（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．
设E(x, ax2－2ax－3a)，F(x, ax＋a)，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．
由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝11()()22EAECEFxxEFxx
＝1()2CAEFxx＝21(34)2axaxa＝21325()228axa，
得△ACE的面积的最大值为258a．解方程25584a，得25a．
（3）已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：
①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．
由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．
当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4, 21a)．
由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P(1, 26a)． .
. 由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．
整理，得7a2＝1．所以77a．此时P267(1)7，．
②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．
由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．
由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．所以P(1, 8a)．
由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．
整理，得4a2＝1．所以12a．此时P(14)，．
图1 图2 图3
考点伸展
第（3）题也可以这样解．设P(1,n)．
①如图2，当AD时矩形的边时，∠QPD＝90°，所以AMDNMDNP，即5553ana．
解得235ana．所以P235(1,)aa．所以Q3(4,)a．
将Q3(4,)a代入y＝a(x＋1)(x－3)，得321aa．所以77a．
②如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,－3a)．
由∠AQD＝90°，得AGQKGQKD，即32335aaa．解得12a．
.
. 例2 2014年陕西省中考第24题
如图1，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？
图1
思路点拨
1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．
2．平行四边形的面积为16，底边MN＝4，那么高NN′＝4．
3．M′N′＝4分两种情况：点M′在点N′的上方和下方．
4．NN′＝4分两种情况：点N′在点N的右侧和左侧．
满分解答
（1）将A(－3,0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得
930,3.bcc 解得b＝－2，c＝3．
所以抛物线C的表达式为y＝－x2－2x＋3．
（2）由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得顶点M的坐标为(－1,4)．
（3）抛物线在平移过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．
因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN′＝4．
那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种情况：
抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；
抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）； .
. 抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′（如图3）；
抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′（如图3）．
图2 图3
考点伸展
本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么△MM′D的面积S关于m有怎样的函数关系？
如图4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m, 4)，可得点D的横坐标为22m．
将22mx代入y＝－(x＋1)2＋4，得244my．所以DH＝244m．
所以S＝2311(4)2248mmmm．
图4
.
. 例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题
如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．
图1
思路点拨
1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形．
2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．
满分解答
（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得
1,1643.cbc 解得92b，c＝1．
所以抛物线的解析式是2912yxx．
（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．
如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．
在Rt△AOH中，OA＝1，4sinsin5AOHOBC，
所以4sin5AHOAAOH． 图2
所以35OH，225BHOBOH．
在Rt△ABH中，4222tan5511AHABOBH．
（3）直线AB的解析式为112yx． .
. 设点M的坐标为29(,1)2xxx，点N的坐标为1(,1)2xx，
那么2291(1)(1)422MNxxxxx．
当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．
解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．
因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为9(1,)2（如图3）．
图3 图4
考点伸展
第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．
由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得27x（如图5）．
所以符合题意的点M有4个：9(1,)2，11(3,)2，57(27,)2，57(27,)2．
图5
.
. 例4 2012年福州市中考第21题
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．
图1 图2
思路点拨
1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．
2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．
满分解答
（1）QB＝8－2t，PD＝43t．
（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．
过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．
在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．
在Rt△APE中，23cos5AEAAPt，所以103t．
当PQ//AB时，CQCPCBCA，即106386CQ．解得329CQ．
图3
所以点Q的运动速度为3210169315．
（3）以C为原点建立直角坐标系．
