东北师大附中第二次摸底考试(理)

东北师大附中 高三年级 数学（理科）试卷

一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）

1．已知集合,},3|||{},02|{2RBAaxxBxxxA若集合，则实数a的取值

范围是 （ ）

A．[1，2] B．（－1，2） C．[－1，2] D．（－2，1）

2．sin2490°= （ ）

A．－21 B．21 C．－23 D．23

3．在数列*)(233,15,}{11Nnaaaannn中，则该数列中相邻两项的乘积是负数的

是 （ ）

A．2221aa B．a22·a23 C．a23·a24 D．a24·a25

4．要使函数]2,1[122在axxy上存在反函数，则a的取值范围是 （ ）

A．1a B．2a C．1a或2a D．21a

5．||x2的必要非充分条件是 （ ）

A．3|1|x B．2|1|x C．1|1|x D．1|1|x

6．已知椭圆1),0(122222222byaxbabyax双曲线和抛物线)0(22ppxy的离

心率分别为e1、e2、e3，则 （ ）

A．e1e2> e3 B．e1e2= e3 C．e1e2< e3 D．e1e2≥e3

7．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成

角的正弦值为 （ ）

A．23 B．25 C．510 D．1010

8．函数123xxxy在闭区间[－1，1]上的最大值是 （ ）

A．2732 B．2726 C．0 D．－2732 2003—2004学年

第二次摸底考试 9．随机变量ξ的概率分布规律为),4,3,2,1()1()(nnnanP其中a是常数，则

)2521(P的值为 （ ）

A．32 B．43 C．54 D．65

10．设a、b是方程0coscot2xx的两个不相等的实数根，那么过点A（a,a2）和

B（b，b2）的直线与圆122yx的位置关系是 （ ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．随θ的值变化而变化

11．对于项式)()1(3Nnxxn，四位同学作出了四种判断：

①存在n∈N+，展开式中有常数项；

②对任意n∈N+，展开式中没有常数项；

③对任意n∈N+，展开式中没有x的一次项；

④存在n∈N+，展开式中有x的一次项.

上述判断中正确的是 （ ）

A．①与③ B．②与③ C．②与④ D．④与①

12．已知定义在R上的函数y=f(x)满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有);()4(xfxf②对于任意的2021xx，都有),()(21xfxf③)2(xfy的图象关于y轴对称，则下列结论中，正确的是 （ ）

A．)7()5.6()5.4(fff B．)5.6()7()5.4(fff

C．)5.6()5.4()7(fff D．)5.4()5.6()7(fff

二、填空题（每小题4分，共16分）

13．当nnnnnsin2cossincos2lim,40时= .

14．不等式1)20(lg2cos2x的解集为 .

15．设非零复数x，y满足022yxyx，则代数式20052005)()(yxyyxx的值是 . 16．若实数x、y满足yxzyxyxyx2,009382则的最大值为 .

三、解答题（本大题共6小题，共74分）

17．（本题满分12分）

某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：

（1）第3次拨号才接通电话；

（2）拨号不超过3次而接通电话.

18．（本题满分12分） 如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1的中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成的角为90°.

（1）求此三棱柱的高；

（2）求二面角C—AF—B的大小.

19．（本题满分12分） 已知向量a=（2，2），向量b与向量a的夹角为43，且a·b=－2，

（1）求向量b；

（2）若)2cos2,(cos,)0,1(2CActbt且，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|b+c|的取值范围.

20．（本题满分12分）

某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；

（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳？

21．（本题满分12分） 如图，过点（1，0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆相交于A、B两点，直线xy21过线段AB的中点M，同时椭圆上存在一点与右焦点F关于直线l对称，求直线l和椭圆的方程.

22．（本题满分14分，附加题4分） （Ⅰ）已知a>0，函数.)(2bxaxxf

（1）当b>0时，若对任意baxfRx2,1)(证明都有；

（2）当b>1时，证明：对任意1|)(|],1,0[xfx的充要条件是bab21；

（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确加4分，但全卷总分不超过150分）

已知a>0，函数2)(bxaxxf.当10b时，讨论：对任意1|)(|],1,0[xfx的充要条件.

数学（理）参考答案

一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）

1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.C 7.C 8.A 9.D 10.C 11.D 12.B

二、填空题（每小题4分，共16分）

13．2 14．},44|{Zkkxkx 15．1 16．7

三、解答题（本大题共6小题，共74分）

17．（本题满分12分）解：设A1={第i次拨号接通电话}，i=1，2，3.

（1）第3次才接通电话可表示为321AAA于是所求概率为;1018198109)(321AAAP

（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A1+32121AAAAA于是所求概率为

P（A1+32121AAAAA）=P(A1)+P(21AA)+P(321AAA)=.103819810991109101

18．解：（1）取BC、C1C的中点分别为H、N，连结HC1，

连结FN，交HC1于点K，则点K为HC1的中点，因

FN//HC，则△HMC∽△FMK，因H为BC中点

BC=AB=2，则KN=23,21FK，∴,32231MKHMFKHC

则HM=151HC，在Rt△HCC1，HC2=HM·HC1，

解得HC1=5，C1C=2.

另解：取AC中点O，以OB为x轴，OC为y轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高为h，则C（0，1，0），F（2,0,3h），D（0,21,23），E（0，0，h），

∴),21,23(),2,1,3(hCEhCF，由CF⊥DE，得0221232hDECF，解得h=2.

（2）连CD，易得CD⊥面AA1B1B，作DG⊥AF，连CG，

由三垂线定理得CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C—AF—B

的平面角，又在Rt△AFB中，AD=1，BF=1，AF=5，

从而DG=,55∴tan∠CGD=15DGDC，

故二面角C—AF—B大小为arctan15.