2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3教学案：1.3.1 二项式定理 Word版含解析

1 1．3．1 二项式定理

预习课本P29～31，思考并完成以下问题

1．二项式定理是什么？

2．通项公式又是什么？

3．二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？

[新知初探]

二项式定理

二项式定理 (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn

二项展开式 公式右边的式子

二项式系数 Ckn(k＝0,1,2，…，n)

二项展开

式的通项 Tk＋1＝Cknan－kbk

[点睛] 应用通项公式要注意四点

(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；

(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；

(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；

(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )

(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．( )

(3)Cknan－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．( )

2 答案：(1)× (2)× (3)×

2．x－1x5的展开式中含x3项的二项式系数为( )

A．－10 B．10

C．－5 D．5

答案：D

3．x2－2x35展开式中的常数项为( )

A．80 B．－80

C．40 D．－40

答案：C

4．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第三项的二项式系数为________．

答案：40

10

二项式定理的应用

[典例] (1)求3x＋1x4的展开式；

(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

[解] (1)法一：3x＋1x4

＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·1x2＋C34·3x·1x3＋C44·1x4

＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2．

法二：3x＋1x4＝3x＋14x2

＝1x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)

＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2．

(2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1

＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．

3

运用二项式定理的解题策略

(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．

(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．

[活学活用]

1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为( )

A．x4 B．(x－1)4

C．(x＋1)4 D．x4－1

解析：选A (x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C04(x＋1)4＋C14(x＋1)3(－1)1＋C24(x＋1)2(－1)2＋C34(x＋1)(－1)3＋C44(x＋1)0(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4，故选A．

2．设n为自然数，化简C0n·2n－C1n·2n－1＋…＋(－1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn＝________．

解：原式＝C0n·2n·(－1)0＋C1n2n－1·(－1)1＋…＋(－1)k·Ckn2n－k＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1．

答案：1

二项式系数与项的系数问题

[典例] (1)求二项式2x－1x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；

(2)求x－1x9的展开式中x3的系数．

[解] (1)由已知得二项展开式的通项为

Tr＋1＝Cr6(2x)6－r·－1xr＝26－rCr6·(－1)r·x3－3r2，

∴T6＝－12·x－92．

∴第6项的二项式系数为C56＝6，

第6项的系数为C56·(－1)5·2＝－12．

(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则

4 Tr＋1＝Cr9x9－r·－1xr＝(－1)r·Cr9·x9－2r，

令9－2r＝3，得r＝3，

即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C39＝－84．

[一题多变]

1．[变设问]本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．

解：由通项Tr＋1＝(－1)r·Cr6·26－r·x3－32r，

知第四项的二项式系数为C36＝20，

第四项的系数为C36·(－1)3·23＝－160．

2．[变设问]本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解．

解：设展开式中第r＋1项为含x5的项，则

Tr＋1＝(－1)r·Cr9·x9－2r，

令9－2r＝5，得r＝2．

即展开式中的第3项含x5，且系数为C29＝36．

求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．

与展开式中的特定项有关的问题

题点一：求展开式中的特定项

1．(四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )

A．－15x4 B．15x4

C．－20ix4 D．20ix4

解析：选A 二项式的通项为Tr＋1＝Cr6x6－rir，由6－r＝4得r＝2．

故T3＝C26x4i2＝－15x4．故选A．

2．(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是________．

解析：(1＋2x)3(1－3x)5的展开式的通项为2rCr3(－1)sCs5x3r＋2s6(其中r＝0,1,2,3；s＝

5 0,1,2,3,4,5)，令3r＋2s6＝1，得3r＋2s＝6，所以 r＝0，s＝3或 r＝2，s＝0.所以x的系数是－C35＋4C23＝2．

答案：2

题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题

3．(山东高考)若ax2＋1x5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．

解析：Tr＋1＝Cr5·(ax2)5－r1xr＝Cr5·a5－rx10－52r．令10－52r＝5，解得r＝2．又展开式中x5的系数为－80，则有C25·a3＝－80，解得a＝－2．

答案：－2

求展开式中特定项的方法

求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项， 再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．

层级一 学业水平达标

1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于( )

A．9 B．10

C．11 D．8

解析：选C ∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11．故选C．

2．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为( )

A．－210 B．210

C．－120i D．－210i

解析：选A 由通项公式得T7＝C610·(－i)6＝－C610＝－210．

3．已知x－1x7的展开式的第4项等于5，则x等于( )

A．17 B．－17

6 C．7 D．－7

解析：选B T4＝C37x4－1x3＝5，∴x＝－17．

4．若二项式x－2xn的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为( )

A．6 B．10

C．12 D．15

解析：选C ∵T5＝C4n(x)n－4·－2x4＝24·C4nxn－122是常数项，∴n－122＝0，∴n＝12．

5．(湖南高考)12x－2y5的展开式中x2y3的系数是( )

A．－20 B．－5

C．5 D．20

解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C3512x2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20，选A．

6．(全国卷Ⅰ)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______．(用数字填写答案)

解析：(2x＋x)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(x)r＝25－r·Cr5·x5－r2．

令5－r2＝3，得r＝4．

故x3的系数为25－4·C45＝2C45＝10．

答案：10

7．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________．

解析：由 T2＞T1，T2＞T3，得 C162x＞1，C162x＞C262x2.解得112＜x＜15．

答案：112，15

8．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______．(用数字填写答案)

解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr10x10－rar，当10－r＝7时，r＝3，T4＝C310a3x7，则C310a3＝15，故a＝12．

答案：12

9．若二项式x－ax6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求a