随机海浪模型的建立及仿真分析_邱宏安

2 2 2 2
7t =
S ( X1) S( X1 ) , S( XN )
由参 数估计的最小二乘法 , 有 : ( = ( 5 T # 5 ) - 1 5T # 7 ( 17 ) 最后 将估计值代入式 ( 14) , 即得近似的海浪有理谱形式。 21 21 2 海浪模型的建立
由于有色噪声都可以 看成 为白 噪声激 励下 的线性 系统 的输出 , 因此 , 由滤波理 论 , 当输出的功 率谱密度为 有理函数 时 , 则在白噪声激 励下 可求 出形 成滤 波的 传递 函数 H ( s ) , 即海 浪成型模型。 下面就来求激励模型。设输入白噪 声 N ( t) 为一 正态白 噪声 过程 , 并具有如下的特性 : N ( t ) 的均值为 协方差函数为 E{ N ( t ) } = 0 E { N ( t) N ( S) } = V ID( t - S)
( 11 )
由其零极 点特点 , 可将 S 左半 平面的零极 点因子和 K 定义为 S xL ( s) , 构成 s 右半 平面的 零极点 因子和 K 定义为 S xR ( s ) ; 与虚轴 上的零极点有关的因子 , 一半归于 S xL ( s ) , 另 一半 归于 S xR ( s) , 因此 , S x ( X ) 可分解为 : S x ( s ) = S xL ( s ) # S xR ( s ) 再由定理 2 和定理 4, 可有 : S x ( s ) = H ( s ) H (- s) S n ( s ) 综上各式可得形成滤波器的传递函数为 H ( s ) = 1/ V 1 # S sL ( s ) ( 22 ) ( 21 ) ( 20 )
5 =
, 1 X2 N X4 N
, , ,
2m X N
, 2 S(X N ) XN
, S( XN ) X4 N
,
,
2n , - S(X N ) XN
其中 , P( X ) 与 Q ( X ) 均为 X 的实系数多项式 , 并且分母阶次高 于分子阶次 , 则 S x ( X ) 是平 稳过 程 X ( t) 的有 理谱 密度 函数 , 简称有理谱。 该有理谱有如下性质 : 定理 1. 设 S x ( X ) 为实平稳过 程 X( t) 的有理谱 , 则 Sx ( X ) 在 X 的实轴上无极点。 定理 2. 设 S x ( X ) 为实平稳过程 X ( t) 的有理谱 , 则它可以 写成 a 0 + a 1 X2 + , + am X 2 m S x ( X) = b 0 + b 1 X + , + b nX 2n 令 s = jX , 有 ( c 1 - s ) ( c 2 - s ) ,( c m - s ) S x ( s) = K ( d 1 - s 2) ( d 2 - s 2 ) , ( d n - s 2) 其中 , ai , bi 为实数 , ci, di 或者是实数 , 或者是共轭复数。 定理 3. 设 S x ( X ) 为实平稳过 程 X( t) 的有理谱 , 则 Sx ( X ) 必可表示为 : S x ( X) = W ( j X) W ( - j X) = | W( j w ) | 并且 W ( j X ) = W(- j X ) ( 12 ) 其中 , W ( j X) 的零点均在 X 上半平面 或实轴上 , 极 点均在 X 上半平面内 , W ( - j X) 为 W ( j X ) 的共轭。 定理 4. 设 S x ( X ) 为实平稳过程 X ( t) 的有理谱 , 则它可 以表示为零均值正态白噪声 N( t ) 作用于稳定成 型滤波器后 的输出功率谱。 即有 S x ( X) = | H ( j X ) | 2 # S n ( X) ( 13 ) 其中 , S x ( X ) 为零 均 值正 态白 噪 声 N ( t) 的 功率 谱 密度 , | H ( j X) | 为输出 X ( t ) 的复频响应函数 H ( j X ) 的绝对值。 由海浪的功率谱式 ( 5 ) 可以看到 , 它不 是有理谱 , 又在海 浪理论中通常把海浪看成是平稳的随机过 程 , 因 而为了能运 用有理谱的理论去建立海浪模型 , 需要 首先用有 理函数去逼 近海浪功率谱密度。 21 21 1 海浪近似有理谱的求取
X =
第 12 卷 3 期
于是得 : N( t ) = A 2 BM
邱宏安: 随机海浪模型的建立及仿真分析
227
按照参数估计理论 , 为得到 ( 14 ) 中的参数估计值 , 应有
i= 1
E cos ( Xit +
M
E i)
( 7)
S ( Xi ) = S x ( Xi ) i = 1, 2, , N 其中 , S ( X ) 为海浪功率谱密度。 由此可得 N 个代数方程 , 写成矩阵形式如下 : 5# ( = 7 其中 :
4 2m 4 2n 1 X2 - S( X1) X2 1 X1 , X1 1 - S ( X1) X1 , - S( X1) X1 4 2m 4 2n 1 X2 - S( X2) X2 2 X2 , X2 2 - S ( X2) X2 , - S( X2) X2
其中 , E ) 均匀分布。 i 为初相位 , 且 E i ~ ( 0, P
]
Q S ( X) d X
0
]
( 2)
其中 , S ( X ) 为海浪的功率谱密度。 由此有 :
i= 1
E
Q
i
X
Q
i
X
X
S ( X ) d X = E( Xi ) - E( Xi- 1)
( 3)
i- 1
X
S N( X) d X cos( Xi t + E i)
( 1)
i- 1
ห้องสมุดไป่ตู้
由能量分割思想 , 令 E( Xi ) - E ( Xi- 1) = X ( 常数 ) , M # X = E( ] ) , 其中 M 为等能量的份数 , 从而有 : 1 E( Xi ) = M E( ] ) 又海 浪的功率谱密度为 : S ( X) = 则有 : E ( X) = 综上 则有 : E ( X) = Xi = A 4B
摘
要 : 给出两种简便 、 有效的建立随机海 浪模型 的方法 , 即能 量等分 法和有理 谱法 , 并对其 进行 了仿 真与对 比分
析 。 它对于进一步研究海上舰船航行控制和直升机海面无线电高度悬停控制有重要意义 。 关键词 : 海浪模型 ; 能量等分 ; 有理谱 中图分类号 : U 6751 79; T P 3911 9 文献标识码 : A
1
引
言
海浪的随机起伏波 动对于 舰船 的航行 控制 和直 升机海 面无线电高度悬停控制有很大的影响 , 前者影响 到舰船的稳 定控制 , 而后者由于海浪波动致使飞机 无线电高 度信号产生 较大的波动 , 在直升机执行低高度海上 救援和海 上探潜任务 时 , 将 直接危 及飞行 安全。因此 , 为 了能在对 上述两 类系统 的控制及研究设计中考 虑 , 并尽 可能 的消除 海浪 的影响 , 需 要建立海浪模型并产生海浪信号。然而目 前 , 工 程上还主要 是以功率谱密度模拟海浪 , 其一般形式如下 : N( t ) = 2
Establishing and Simulation for Random Ocean State Model
QI U Hong -an
( College of M arine Engineering, N ort hw est ern Polyt echnical U niversit y, X i. an 710072, China)
3
海浪模型的仿真
利用前面建立的海浪模型分别对其进行仿真 , 见图 1- 1
由定理 2, 可设有理海浪的逼近谱形式如下 : S x ( X) = a 0 + a 1 X + , + am X b0 + b1 X + , + b nX2 n
2 2m
和 1- 2( 四阶有理谱逼近 ) , 有难 观测出 , 它们 的平均 周期相 近 , 都为 T U 7 s 。从 统计特 性看 , 采 用能量 等分 法得到 的海 浪曲 线 , 其均 值为 01 0058 , 标 准差 为 01 6963, 而 采用有 理谱 方法 得到 的响 应曲线 , 其 均值 为 01 0013, 标准 差为 01 5765 。
( 9)
( 10 )
其中 , V I 为协方差强度 , D( t - S) 为 Dir ac -delta 函数。 其功率谱密度 S( X) 为 S n( X) = V I 又对 式( 7) 设定的海浪近似有理谱 , 根据定理 2, 有 S x ( s) = K ( c 1 - s 2) ( c 2 - s 2) ,( cm - s2 ) ( d 1 - s 2) ( d 2 - s 2 ) , ( d n - s 2) ( 19 ) ( 18 )
1 4
其中 , N( t ) 为 海浪 的波 面倾角 的仿 真值 , S N( X ) 为 功率 谱密 度 , Xi 为频率 , E i 为初相位。 可以看到 , 这种 方法较 为繁 琐 , 且 不宜 确定 海浪的 振幅 和频率。为此 , 本文从较新的角度出 发 , 给 出两种简便、 有效 的建立随机海浪模型的 方法 , 即 能量 等分法 和有 理谱法 , 并 对其进行了数字仿真与对比分析。
第 12 卷第 3 期 2000 年 5 月
文章编号 : 1004 -731X ( 2000) 03 -0226 -03
系统 仿 真 学 报
JOURNAL OF SYSTEM SIMULATION
V ol. 12 No. 3 M ay 2000
随机海浪模型的建立及仿真分析
邱宏安
( 西北工业大学航海工程学院 , 西安 710072)
( N > 2 n)
( 15 )
2. 2
有理谱法
海浪的有理 谱建 模方 法是基 于有 理谱理 论。有理 谱的
( 16 )
定义如下 : 设 Sx ( X) 是实平稳随机过程 X( t) 的功 率谱密度函 数 , 如 果 Sx ( X) 可表示为 S x ( X) = P( X ) Q( X ) ( 8)
(n > m) ( 14 )
228
系
统
仿
真
学
报
2000 年 5 月
从利用平均周期图法对它们进行的功率谱 估计看 , 它们与给 出的海浪谱相一致。
而成 , 且其初相位为随机变量 , 符合均匀分布 , 而实 际海浪极 其复 杂 , 因此 , 这种方法不具有局限性。 对海浪的 有理谱建 模法 , 由于 它是 基于 有理谱 理论 , 因 而它在方法上 是可行的 ; 另外 , 采用有理谱法 建模 , 因而便于 用现 代控制理论的方法完 成控 制系 统在海 浪干 扰情况 下的 最优控制的设计。它的不足之处 是 , 认 为海浪是平 稳的随机 过程 , 且采 用有 理谱 逼近 海浪 功率 谱 , 因此 , 会有 一定 的误 差 ; 另外 , 由 于在实际 中 , 所用白 噪声是 有限带 宽的白噪 声 , 因而用它来作 激励 , 得到的 海浪 波形有 一定 的误差 , 表 现在 其幅 值较正常为小。
Abstract: In this paper, two methods of energy in par t and r atio nal pow er spectrum are presented for establishing r andom o cean state model conv eniently and efficiently. Simulation and analysis are taken for each other. T hese met hods can be used further in researching the sailing contro l for warship on ocean and the radio alt itude control fo r helicopter ov er t he sea. Keywords: ocean state model; ener gy in part; rational power spectrum 频率 采用等能量分割进行建模 , 从而避 免了确定海 浪振幅和 频率 的困难。按照建模的基本思想 , 选定 频率 X 0, X1 , , Xn , 使各 频率间隔的能量相 等 , 即谱 密度曲 线下 的子 面积相 等。 具体 方法如下 : 定义累积谱 : E( X) =
( 4)
A B exp - 4 X5 X B B A dX = ex p - 4 X4 4B X
( 5)
2
2. 1
海浪模型的建立
能量等分法
能量等分法是基于海浪的功率谱密度 , 从较 新的角度对
Q X exp
A
0 5
]
-
( 6)
B / ln ( M / i ) A 4 BM
收稿日期 : 1999 -04 -05