机械优化设计案例1
1. 题目
对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行优化设计。
2.已知条件
已知数输入功p=58kw ，输入转速n 1=1000r/min ，齿数比u=5，齿轮的许用应力[δ]H =550Mpa ，许用弯曲应力
[δ]F =400Mpa 。
3.建立优化模型
3.1问题分析及设计变量的确定
由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体积最小的各项设计参数。由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）是决定减速器体积的依据，故可按它们的体积之和最小的原则建立目标函数。
单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为：
]3228)6.110(05.005.2)10(8.0[25.087)(25.0))((25.0)(25.0)(25.02221222122212222122121222
21222120222222222121z z z z z z z z z z z g g z z d d l d d m u mz b bd m u mz b b d b u z m b d b z m d d d d l c d d D c b d d b d d b v +++---+---+-=++++-
----+-=πππππππ 式中符号意义由结构图给出，其计算公式为
b c d m umz d d d m
umz D mz d mz d z z g g 2.0)
6.110(25.0,6.110,21022122
211=--==-===
由上式知，齿数比给定之后，体积取决于b 、z 1 、m 、l 、d z1 和d z2 六个参数，则设计变量可取为
T z z T d d l m z b x x x x x x x ][][211654321==
3.2目标函数为
min )32286.18.092.0858575.4(785398.0)(2625262425246316321251261231232123221→++++-+
-+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f
3.3约束条件的建立
1）为避免发生根切，应有min z z ≥17=，得
017)(21≤-=x x g
2 )齿宽应满足max min ϕϕ≤≤d b ，min ϕ和max ϕ为齿宽系数d ϕ的最大值和最小值，一般取min ϕ=0.9，max ϕ=1.4，得
04.1)()(0
)(9.0)(32133212≤-=≤-=x x x x g x x x x g
3）动力传递的齿轮模数应大于2mm ，得
02)(34≤-=x x g
4）为了限制大齿轮的直径不至过大，小齿轮的直径不能大于max 1d ，得
0300)(325≤-=x x x g
5）齿轮轴直径的范围：max min z z z d d d ≤≤得
0200)(0
130)(0
150)(0
100)(69685756≤-=≤-=≤-=≤-=x x g x x g x x g x x g
6）轴的支撑距离l 按结构关系，应满足条件：l 2min 5.02z d b +∆+≥（可取min ∆=20），得
0405.0)(46110≤--+=x x x x g
7）齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得
0400)10394.010177.02824.0(7098)(0400)
10854.0106666.0169.0(7098
)(0
550)(1468250)(224222321132242223211213211≤-⨯-⨯+=≤-⨯-⨯+=≤-=---x x x x x x g x x x x x x g x x x x g
8）齿轮轴的最大挠度max δ不大于许用值][δ，得
0003.0)(04.117)(445324414≤-=x x x x x x g
9）齿轮轴的弯曲应力w δ不大于许用值w ][δ，得
05.5106)1085.2(1)(05.5104.2)1085.2(1)(122324636161223
2463515≤-⨯+⨯=≤-⨯+⨯=x x x x x g x x x x x g
4.优化方法的选择
由于该问题有6个设计变量，16个约束条件的优化设计问题，采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用Matlab 优化工具箱中的fmincon 函数来求解此非线性优化问题，避免了较为繁重的计算过程。
5.数学模型的求解
5.1.1将已知及数据代入上式，该优化设计的数学优化模型表示为：
)32286.18.092.0858575.4(785398.0)(min 262526425
46316321251261231232123221x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++-+-+
-+=
Subject to:
130)(0
150)(0
100)(0
300)(0
2)(0
4.1)()(0
)(9.0)(0
17)(685756325343213321221≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=x x g x x g x x g x x x g x x g x x x x g x x x x g x x g 0
003.0)(04.117)(0
400)10394.010177.02824.0(7098)(0400)
10854.0106666.0169.0(7098
)(0
550)(1468250)(0
405.0)(0
200)(4453244142242223211322422232112132114611069≤-=≤-⨯-⨯+=≤-⨯-⨯+=≤-=≤--+=≤-=---x x x x x x g x x x x x x g x x x x x x g x x x x g x x x x g x x g 05.5106)1085.2(1)(05.5104.2)1085.2(1)(122324636161223
2463515≤-⨯+⨯=≤-⨯+⨯=x x x x x g x x x x x g
5.1.2运用Matlab 优化工具箱对数学模型进行程序求解
首先在Matlab 优化工具箱中编写目标函数的M 文件
myfun.m,返回x 处的函数值f ：
function f = myfun(x)
f=0.785398*(4.75*x(1)*x(2)^2*x(3)^2+85*x(1)*x(2)*x(3)^2-85*x(1)*x(3)^2+0.92*x(1)*x(6)^2-
x(1)*x(5)^2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-
1.6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)^2+x(4)*x(6)^2+28*x(5)^2+32*x(6)^2)
由于约束条件中有非线性约束，故需要编写一个描述非线性约束条件的M 文件mycon.m ：
function[c,ceq]=myobj(x)
c=[17-x(2)。0.9-x(1)/(x(2)*x(3))。x(1)/(x(2)*x(3))-1.4。2-x(3)。x(2)*x(3)-300。100-x(5)。x(5)-150。130-x(6)。x(6)-200。
