“函数的概念”教学设计
南京师大附中陶维林
一、内容和内容解析
“函数”是中学数学的核心概念．
在初中，学生已经学习过函数概念．初中建立的函数概念是：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数．其中x称为自变量．
这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系．从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式．后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制．如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究．例如
对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义是什么．但用集合、对应的观点来解释，就十分自然．
进入高中，学生需要建立的函数概念是：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f （x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
y＝f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x）∈A叫做函数的值域．
这个概念与初中概念相比更具有一般性．
实际上，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一致的．不同点在于，表述方式不同──高中明确了集合、对应的方
法．初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点．
与初中相比，高中引入了抽象的符号f（x）．f（x）指集合B中与x对应的那个数．当x确定时，f（x）也唯一确定．
另外，初中并没有明确函数值域这个概念．
函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：
①两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应．
②涉及两个数集A，B，而且这两个数集都非空；
这里的关键词是“每一个”“唯一确定”．也就是，对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与之对应，有的没有，每一个都要有．而且，在集合B中只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与其对应．
③函数概念中涉及的集合A，B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数．
二、目标和目标解析
（1）通过丰富实例，建立函数概念的背景，使学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三个要素．
（2）会判断两个函数是否为同一函数，会求一些简单函数的定义域和值域．
（3）通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力．
教学的重点是，在研究已有函数实例（学生举出的例子）的过程中，感受在两个数集A，B之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念．然后再进一步理解它．
三、教学问题诊断分析
（1）对函数概念中的“每一个”、“唯一确定”等关键词关注不够，领会不深．教学中，可以通过反例让学生加以认识．比如
有一位学生的考试情况是这样的
集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{90，93，98，92}，f：每次考试成绩．
就不能表示一个函数．因为对于集合A中的元素“4”，在集合B中就没有元素与它对应．
（2）忽视“数集”二字，把一般的映射关系理解为函数．比如
高一（2）班的同学组成集合A，教室里的座椅组成集合B，每一位同学都有唯一的一个座椅，班上还有空椅子．这能否算作一个函数的例子，为什么？
（3）对为什么集合B不是函数的值域不理解．让学生感受到，有时，为了研究方便或者确定一个函数的值域暂时有困难，使得C＝{f（x）∈A}B更加合理．
（4）当函数关系具有解析式表示时，f（x）当然可以用x的解析式表示出来．学生会因此而误以为对应关系f都可以用解析式表示．
可以通过所举实例的类型，引导学生，明确表示对应关系f 并非解析表达式不可．但这不是本节课的重点，应该放在下一节课“函数的表示”中解决．只要注意所列举的例子不光是有解析式的即可．
（5）本课的难点是：对抽象符号y＝ f（x）的理解．
可以通过具体函数让学生理解抽象的f（x）．比如函数
f（x）＝x2，A＝－2≤x＜2．
f(－1)＝1，f(1.5)＝2.25，f(－2)＝4，f（2）无定义．f（x）＝x2，x∈A．
最终，让学生明白，f（x）是集合B中的一个数，是与集合A 中的x对应的那个数．当x取具体数字时，f（x）也是一个具体的数．
四、教学基本流程
五、教学过程设计
1．用集合、对应定义函数
问题1同学们在初中已经学习过“函数”，请你举几个函数的具体例子．
设计意图：通过具体例子，让学生回顾初中学习过的函数概念，把握内涵．
教师根据所举例子的具体情况，引导学生列举分别用解析式、图象、表格表示对应关系的函数．
如果学生所列举的例子都是用解析式表示的，教师则问：“函数关系都是可以用解析式表示的吗？”引导学生开阔思路，再列举些用图象、表格表示对应关系的函数．
教师可以举例（教科书第15页的例2）．
例1 图1的兰色曲线记录的是2009年2月20日自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股票指数的情况．股票指数是时间的函数吗？
图1 例2 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中恩格尔系数随时
间的变化而变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
城镇居民的恩格尔系数（%）是时间（年）的函数吗？
教师也可以参与举例（例3，备用），以说明函数概念中的x 的取值范围构成一个集合，对应关系、以及y的取值构成的集合．
例3 （教科书第15页例1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是
h＝130t－5t2．（*）
炮弹距地面高度h是时间t的函数吗？为什么？
教师利用教科书第15页例1中的函数图象（图2）解释：
随着点P位置的改变，点P的横坐标x与纵坐标y都在变化，但无论点P在哪个位置，点P的横坐标x总对应唯一的纵坐标
