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三角形培优

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学科：数学 教学内容：三角形单元知识总结（一）

【基本目标要求】 一、认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三条边，三个角之间的关系，会按角将三角形分类． 二、了解三角形的内角平分线，高、中线．通过观察、操作、想像、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力． 三、通过实例理解图形全等的概念和特征，并能识别图形的全等．理解图形全等的概念，能利用全等图形进行简单的图案设计. 四、掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质，并能进行简单的推理和计算． 五、掌握三角形全等的“SSS”“SAS”“ASA”条件，了解三角形的稳定性，能进行简单的推理．并能根据上述条件，利用尺规作三角形． 六、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决—些实际问题．

【基础知识导引】 一、三角形的基本概念及性质 1．三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．这三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共顶点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．角的一边与另一边反向延长线所组成的角叫做三角形的外角： 2．三角形中的几条主要线段 (1)三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． (2)三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． (3)三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 3．三角形的主要性质 (1)三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边．

(2)三角形的三个内角之和等于180 (3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和． (4)三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角． (5)三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变． 4．三角形的分类

二、全等三角形 1．定义 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2．性质 两全等三角形的对应边相等，对应角相等． 3．判定公理 (1)判定公理1(简称“边角边”或“SAS”) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)判定公理2(简称“角边角”或“ASA”) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)判定公理3(简称“边边边”或“SSS”) 有三边对应相等的两个三角形全等． (4)判定4(推论，简称为“角角边”或“AAS”) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)判定5(斜边、直角边公理，简称“斜边、直角边”或“HL”) 有斜边和—条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

三、作三角形 1．尺规作图 在几何里，把限定用直尺和圆规来画图称为尺规作图． 2．基本作图 最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．主要是指以下几种：作—个角等于已知角、平分已知角、经过—点作已知直线的垂线、作线段的垂直平分线、经过已知直线外的一点作这条直线的平行线． 3．已知两角夹边、两边夹角和三边，能利用尺规作三角形

四、直角三角形 1．定义 有—个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2．性质 (1)直角三角形中，两个锐角互余． (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

(3)如果一个锐角等于30，则它所对的直角边等于斜边的一半． (4)如果—条直角边等于斜边的—半，则这条直角边所对的角等于30． (5)等腰直角三角形的锐角都等于45． 3．勾股定理

(1)勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方．即：222cba (2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：222cba，那么这个三角形是直角三角形． (3)勾股数(或勾股弦数)：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．

【重点难点点拨】 本章重点是全等三角形的定义、性质和判定，直角三角形的判定．本章难点是学习推理、判断的方法．判断中做到层次清楚，语言简练、准确，理由充分，要掌握重点、难点，必须注意以下问题． 一、全等三角形的判定 1．利用全等三角形的判定来证明线段(或角)间的数量关系与线段的位置关系(平行或垂直)．为了学好全等三角形的知识，要注意搞清全等三角形的对应边、对应角的概念． 2．联系已经学过的图形性质(例如平行线、对顶角、线段垂直平分线、角平分线等图形和性质)将隐含在图形内的间接条件挖掘出来，转化成证明三角形全等的直接条件．此类问题证明过程的表达可分成如下两个层次：先写出把间接条件转化为直接条件的推理过程；再写出在哪两个三角形中，有哪三组对应元素分别相等，最后做出全等的结论．

二、判断线段相等的常用方法 1．全等三角形的对应边相等． 2．在同—三角形中，等角对等边． 3．等腰三角形顶角的平分线与底边的高线是底边的中线． 4．等边三角形任意两边相等． 5．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 6．线段垂直平分线的性质定理. 7．角平分线的性质定理． 8．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线． 9．等量加等量，其和相等． 10．等量减等量，其差相等． 11．等量的同倍量相同． 12．等量的同分量相等． 13．在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替(等量代换).

三、判断两角相等的常用方法 1．对顶角相等． 2．同角或等角的余角相等． 3．同角或等角的补角相等． 4．两直线平行，同位角相等． 5．两直线平行，内错角相等． 6．两边分别对应平行或垂直的两角相等或互补. 7．全等三角形的对应角相等． 8．等腰三角形的底角相等． 9．等腰三角形底边上的中线、高线平分顶角． 10．等量加等量，其和相等． 11．等量减等量，其差相等． 12．等量的同倍量相等． 13．等量的同分量相等． 14．等量代换.

四、添辅助线的作用 1．揭示图形中隐含的性质 当条件与结论间的逻辑关系不明朗，通过适当添加辅助线后，将条件中隐含的有关图形的性质充分显示出来，从而扩大已知条件，以便取得有关过渡性的推论，达到推导出结论的目的． 2．聚拢集中原则 通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使它们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑联系，从而导出要求的结论． 3．化繁为简的原则 对—类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当的辅助线，把复杂的图形分解成简单的图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的． 4．发挥特殊点、线的作用 在题设条件所给的图形中，对尚未直接显示出来的各元素，通过添置辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形的性质恰当地揭示出来，并充分发挥这些特殊点线的作用，达到化难为易、导出结论的目的． 5．构造图形的作用 对一类几何证题，常需要用到某种图形，而这种图形在题设条件所给定的图形中却没有出现，必须添置这些图形，才能导出结论．常用的方法有构造出线段或角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等．

【发散思维分析】 本章的主要内容是全等三角形、等腰三角形、直角三角形的判定和性质．三角形是平面几何中内容比较丰富，概念、定理较多的最常见的图形，它是研究多边形和圆的基础．故掌握全等三角形、等腰三角形和直角三角形的判定定理和性质定理是为证明线段相等，角相等及线段和角的和、差、倍、分而提供的理论根据． 本章知识开始深化，对命题的研究进入了推理论证的阶段．在证题之前要注意分析，必须思路清晰，分析要有理有据，叙述要看有层次，力求减轻证题的难度，降低解题的坡度，简化证明的途径．严格按照规定的格式正确地书写证明题、计算题和作图题．能运用分析法和综合法思考问题，注意由已知看可知，由未知看需知，一旦可知与需知沟通，解题途径就畅通无阻了．要掌握—些证题方法、技巧及添加辅助线的方法，尤其当沟通条件与结论间的逻辑通路中断时，适当地添置辅助线，使在暂时中断的逻辑通道上架起一座思维的桥梁，从而实现由已知条件向所求结论的过渡，达到提高逻辑思维能力及分析问题解决问题能力的目的． 本章安排一定数量的逆向发散、变换发散和其他类型的发散思维题．逆向发散可化异为同，化生为熟，化多（元、次）为少(元、次)，化繁为简，变难为易，从而得到结论．变换发散是适当地运用对称、平移、旋转等变换，将那些分散、远离的条件(元素)从图形的某一部位转移到适当的新位置上，相对集中、汇聚，从而发现解题的思路，找到解题的途径，达到巧妙解题的目的．

【发散思维应用】 1．认识三角形 2．图形的全等 3．图案设计 典型例题 1．如图5—1，其中共有多少个三角形?分别是什么?

分析 三角形是由不在同—条直线上的三点首尾顺次相接所构成的．根据定义去找图中的三角形，要注意不重复、不遗漏． 解 图中共有8个三角形．它们是：△ABC、△ABD、△ABE、△ADE、△CDE、△BCD、△ACD和△BCE．

2．如图5-2，在△ABC中，70B，∠BAC:∠BCA=3:2，CD⊥AD于D，且∠ACD=35，求∠BAE的度数．

分析 因∠BAE不是三角形的内角，但∠BAD是其邻补角．为此欲求出∠BAE，可先求出∠BAD，即先求出∠BAC和∠CAD．∠BAC是△BAC的内角，且∠B=70，∠BAC:∠FCA=3:2，

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八年级下册第一章《直角三角形》培优习题

八年级下册第一章《直角三角形》培优习题

八年级下册第一章《直角三角形》培优习题一、知识要点填空：1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角_________（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________;（3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°.2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角______的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。

等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。

二、练习题1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则则∠1+∠2等于__________.2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）A. B.C. D.3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能的是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．75、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．16、已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为___________________.7、四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠BDE=__________．8、已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF.9、在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点E ．求证：CE ＝21BD10、一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P 到点0的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB 的面积最大为______________.11、如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE 分别是斜边AB 边上的高与中线，CF 是∠ACB 的平分线，则∠1与∠2的大小关系是（ ）A ．∠1>∠2 B. ∠1=∠2 C. ∠1<∠2 D.不能确定12、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个13、如图，在直角三角形ABC 中，CM 是斜边AB 上的中线，MN ⊥AB ，∠ACB 的平分线CN 交MN 于N ，求证：CM=MN ．14、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1D 1C 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中作内接正方形A 2B 2D 2C 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A nB n D nC n的边长是_______________.15、下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有________个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个．16、如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C作CF∥AB,连接AF于BC相交于G，若GF=2AC，则∠BAG=17、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③ C．①③④D．②③④18、如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：（1）当OP=_________时，△AOP为等边三角形；（2）当OP=__________时，△AOP为直角三角形；（3）当OP满足___________时，△AOP为钝角三角形．GF CB A。

新人教版八上第十一章《三角形》培优练习

新人教版八上第十一章《三角形》培优练习

第十一章三角形习题集第1课时三角形的边——三边关系姓名：___________☆知识导学1．若三角形的两边长分别为a，b(a＞b)，则第三边长x的取值范围是_______________________．2．三角形具有___________，四边形具有_____________．☆习题演练1．已知三角形ABC三边a、b、c满足（a-b）2+|b-c|=0，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上都不对2．不能组成一个三角形的三条线段的长度是（）A．3，3，3 B．3，6，2 C．3，4，3 D．3，5，73．（2012•海南）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm4．（2013•南通）有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16 B．18 C．20 D．16或206．下列说法中正确的是（）A．三角形的内角中至少有两个锐角B．三角形的内角中至少有两个钝角C．三角形的内角中至少有一个直角D．三角形的内角中至少有一个钝角7．图中有______个三角形，用符号表示这些三角形：__________________________．第7题图第13题图8．在△ABC中，已知两条边a=6，b=7，则第三条边c的取值范围是_________________．9．若三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，则第三边可以是________（只填符合条件的一个即可）．10．（2012•哈尔滨）一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是________________．11．若三角形的两边长分别为3和5，则它的周长l的取值范围是________________．12．（提高题）△ABC的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有________个．13．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），这样做的数学道理是_____________________________．14．用一条长为20cm的铁丝围成一个等腰三角形能围成有一边长为6cm的等腰三角形吗？为什么？第2课时三角形的高、中线与角平分线姓名：___________ ☆知识导学如图，完成下面几何语言的表达：（1）∵AD是△ABC的高（已知）∴AD⊥BC，∠______=∠______=90º．（2）∵AE是△ABC的中线（已知）∴______=______=21______，______=2______=2______．（3）∵AF是△ABC的角平分线（已知）∴∠______=∠______=21∠______，∠______=2∠______=2∠______．☆习题演练1．如图所示的△ABC中，线段BE是三角形AC边上的高的是（）A．B．C．D．2．下列说法正确的是（）①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．A．①②③B．①②C．②③D．①③3．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A．2 B．3 C．6 D．不能确定4．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD 的中线；③DE是△ADC的中线；④S△ADE= S△CDE，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．三角形中的角平分线、中线、高都是三条特殊的__________（填直线、射线、线段）．6．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点B的坐标是（1，-4），过点B作AC边上的高线，则垂足D点的坐标是________．AB CD EF第3题图第4题图第6题图8．如图，在△ABC中，已知CD是角平分线，∠A=70°，∠B=50°，求∠BCD的度数．9．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．10．如图，△ABC的边BC上的高为AD，且BC=9cm，AD=2cm，AB=6cm．（1）画出AB边上的高CE；（2）求CE的长．11．如图，D，E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE 的周长相等．设BC=a，AC=b，AB=c．求AE，BD的长（用含a，b，c的代数式表示）．AB CD第3课时 三角形的内角 姓名：___________☆知识导学如图，延长BC 至D ，过点C 作CE//AB ∵CE//AB∴∠ECD=∠______（_________________________________________） ∠ECA=∠______（_________________________________________）∵∠ECD+∠ECA+∠ACB=180°（___________________） ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换） 归纳：三角形的内角和等于____________． ☆习题演练 1．在△ABC 中，（1）若∠A=40°，∠C=35°，则∠B=_______，△ABC 是__________三角形． （2）若∠A=70°，∠B=∠C ，则∠B=_______°．（3）若∠A ∶∠B ∶∠C=1∶1∶2，则△ABC 是__________三角形．2．如图，AD 是△ABC 的角平分线，点O 在AD 上，且OE ⊥BC 于点E ，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．10°D ．15°第2题图 第4题图 第5题图 3．在△ABC 中，∠B 与∠C 的角平分线交于O 点，若∠A=50°，则∠BOC=（ ） A ．130° B ．50° C ．25° D ．115°4．将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°5．（2012•梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（ ） A ．150° B ．210° C ．105° D ．75°6．（2005•长沙）在△ABC 中，若∠A=38°36′，∠B=57°36′，则∠C=_________度． 7．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C ），则∠A 的度数为________度．8．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内ABC DE9．如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C ，BD 平分∠ABC ，∠A=36º，求∠BDC 的度数．10．如图，在△ABC 中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，求∠ABE 、∠ACF 和∠BHC 的度数．11．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ．求证：∠CFE=∠CEF ．12．如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A=40°，求∠XBA+∠XCA 的度数． EFABCD13．如图，B岛在A岛的南偏西45°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向．从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？14．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α，∠C=β，（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）15．已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C＞∠DAC），若∠B=80°，∠C=40°．（1）求∠DAE的度数；（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何关系？并说明理由．第4课时 三角形的外角 姓名：___________☆知识导学1．如图，延长QR 至T ，∵∠PRQ+∠P+∠Q=180º（__________________________） 又∵∠PRQ+∠PRT=180º（__________________________） ∴∠PRT =∠P+∠Q可得：三角形的一个外角等于__________________的两个内角的和．∵∠PRT =∠P+∠Q∴∠PRT ＞∠P ，∠PRT ＞∠Q可得：三角形的一个外角大于_______________________________．2．如图，∵∠1=∠XYZ+∠YZX ，∠2=_______+_______，∠3=_______+_______．∴∠1+∠2+∠3=（∠XYZ+∠YZX ）+（______+______）+（______+______） =2（_____+______+______）=2×_____°=_____°．归纳：三角形的外角和等于____________． ☆习题演练1．如图，（1）若∠A=50º，∠B=70º，则∠ACD=_________． （2）若∠A=40º，∠ACD =130º，则∠B =_________． （3）若∠B=80º，∠ACD =135º，则∠A =_________． 2．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（ ） A ．75° B ．90° C ．105° D ．120°第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ） A ．165° B ．120° C ．150° D ．135°4．如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A 的度数是（ ） A ．61° B ．60° C ．37° D ．39° 5．如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（ ）A ．∠2＞∠1＞∠3B ．∠1＞∠3＞∠2C ．∠3＞∠2＞∠1D ．∠1＞∠2＞∠3 6．如图，直线MA ∥NB ，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=_______度．第6题图 第7题图 第8题图 第9题图PQRTαABC DN A BM PEAB DCABCDXYZ 12 38．三角形三个内角之比为3∶4∶5，则它的三个外角之比为____________．9．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边BC 上E 处，折痕为CD ，则∠EDB=_________°．10．如图，在△ABC 中，∠A=α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； …；∠A 2011BC 与∠A 2011CD 的平分线相交于点A 2012，得∠A 2012，则∠A 2012=____________．11．如图，已知D 为△ABC 边BC 延长线一点，DF ⊥AB 于F ，且交AC 于E ，∠A=34°，∠D=42°．求∠ACD 的度数．12．一个零件的形状如图中阴影部分．按规定∠A 等于90°，∠B 、∠C 应分别等于29°和21°． （1）检验人员度量得∠BDC=141°，就断定这个零件不合格．你能说明理由吗？（2）你知道∠B 、∠C 、∠BDC 三个角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）13．如图，在△ABC 中，∠1=100°，∠C=80°，∠2=21∠3，BE 平分∠ABC ．求∠4的度数．14．如图，已知∠BAD=∠CBE=∠ACF ，∠FDE=48°，∠DEF=64°，求△ABC 各内角的度数．15．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且BE 、CE 交于E 点． 求证：∠E=21∠A ．16．如图①，A 、B 两点同时从原点O 出发，点A 以每秒m 个单位长度沿x 轴的正方向运动，点B 以每秒n 个单位长度沿y 轴正方向移动．（1）若|m+2n-5|+|2m-n|=0，试分别求出1秒后，A 、B 两点的坐标；（2）如图②，设∠4的邻补角和∠3的邻补角的平分线相交于点P ．试问：在点A 、B 运动的过程中，∠P 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．17．已知：在△ABC 和△XYZ 中，∠A=40°，∠Y+∠Z=95°，将△XYZ 如图摆放，使得∠X 的两条边分别经过点B 和点C ．（1）当将△XYZ 如图1摆放时，则∠ABX+∠ACX=_______度；（2）当将△XYZ 如图2摆放时，请求出∠ABX+∠ACX 的度数，并说明理由；（3）能否将△XYZ 摆放到某个位置时，使得BX 、CX 同时平分∠ABC 和∠ACB ？为什么？ ABXA ZCX ZYB图1图24 A3OAx1 2 BB Px y y O 图2第5课时 多边形的内角和、外角和 姓名：___________☆知识导学1．过点A 作出下列多边形的对角线，各将多边形分成几个三角形？完成表格：归纳：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引_______条对角线，把n 边形分成________个三角形． （2）n 边形的内角和等于___________．（其中n ≥3）2．从与每个内角相邻的两个外角中分别取1个相加，得到的和称为多边形的外角和．∠1＋∠2＋∠3=________°， ∠1＋∠2＋∠3＋∠=________°归纳：n 边形的外角和等于__________． ☆习题演练1．八边形的内角和是（ ）A ．540°B ．720°C ．900°D ．1080° 2．一个多边形的内角和等于720°，这个多边形的边数是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 3．下列各角不是多边形的内角和的是（ ）A ．1800°B ．540°C ．1900°D ．1440° 4．正六边形的每个内角都是（ ）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120° 5．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形 7．一个多边形的各个内角都等于108°，它是_______边形．8．一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形是______边形，过其中一个顶点可以作_______条对角线，AAAA123 12349．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加_______，外角和__________．10．（2013•乐山）如图，在四边形ABCD中，∠A=45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1+∠2=_________．第9题图第10题图11．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出______个三角形．12．已知一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的边数．13．若两个多边形的边数之比为1∶2，内角和的度数之比为1∶3，求这两个多边形的边数．14．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．15．如图，四边形ABCD中，如果∠A与∠C互为补角，求证：∠B与∠D也互为补角．16．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4，求x的值．17．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和．18．已知一个多边形的最小的一个内角是120°，比它稍大的一个内角是125°以后依次每一个内角比前一个内角多5°，且所有内角的和与最大的内角的度数之比是63∶8，试求这个多边形的边数．19．如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，（1）整个行走路线是什么图形？（2）一共走了多少米？20．如图，BC⊥CD，∠1=∠2=∠3，∠4=70°，∠5=∠6．（1）求证：AC⊥BD；（2）求四边形ABCD各内角的度数；（3）若AC=8，BD=6，求四边形ABCD的面积．。

特殊的锐角三角形专题培优

特殊的锐角三角形专题培优

特殊的锐角三角形专题培优一、引言锐角三角形是指三个内角都小于90°的三角形。

锐角三角形在几何学中具有重要的地位和特殊性质。

本文将重点介绍锐角三角形的性质和相关定理，以及相关的解题技巧。

二、锐角三角形的性质1. 锐角三角形的边长关系：在锐角三角形ABC中，边长a、b、c满足以下关系：a <b + cb <c + ac < a + b这是由三角形的三边关系定理得出的。

2. 锐角三角形的角度关系：在锐角三角形ABC中，三个内角A、B、C满足以下关系：A +B +C = 180°A < 90°,B < 90°,C < 90°这是由三角形的角度和定理得出的。

3. 锐角三角形的高度关系：在锐角三角形ABC中，高度h满足以下关系：h < a, h < b, h < c这是由锐角三角形的高度比边长小定理得出的。

三、锐角三角形的相关定理1. 锐角三角形的中线定理：在锐角三角形ABC中，连接A、B、C的中线所组成的三角形，面积是原三角形面积的二分之一。

2. 锐角三角形的内切圆定理：在锐角三角形ABC中，存在一个唯一的内切圆，该内切圆与三角形的三条边相切。

3. 锐角三角形的外接圆定理：在锐角三角形ABC中，存在一个唯一的外接圆，该外接圆的圆心是锐角三角形的外心，且外接圆过三角形的三个顶点。

四、常见问题解答1. 如何判断一个三角形是锐角三角形？只需要判断三个内角是否都小于90°即可。

2. 如何求解锐角三角形的面积？可以使用海伦公式或正弦定理来计算锐角三角形的面积。

3. 如何证明锐角三角形的高度关系？可以利用三角形的正弦定理和高度比边长小定理进行证明。

五、总结锐角三角形是几何学中重要的三角形类型，具有特殊的性质和定理。

对于研究几何学的学生来说，掌握锐角三角形的性质和解题技巧是非常重要的。

通过本文的研究，希望读者能够加深对锐角三角形的理解，提高解题能力。

培优三角形三边关系

培优三角形三边关系

培优三角形三边关系三角形三边关系，这可是个有趣又重要的事儿呢！咱们先把三角形想象成一个小小的家庭。

三角形的三条边就好比家庭里的三个成员。

这三条边之间的关系可不像三个陌生人那样毫无关联，它们有着自己独特的相处模式。

你看，如果一条边特别长，长到比另外两条边加起来还要长，那这个三角形可就组不成喽。

这就好比一个家庭里，有一个特别霸道的成员，他想要的东西比其他两个成员拥有的总和还多，那这个家庭怎么能和谐地存在呢？这就是三角形三边关系里的一个重要规则：任意两边之和必须大于第三边。

要是违背了这个规则，就像你硬要把不匹配的东西凑在一起，那肯定是不行的。

再来说说这三边的长度差距。

如果三条边的长度都差不多，这个三角形看起来就比较匀称，就像一个关系很融洽的家庭，成员之间实力相当，互相尊重。

而要是有一条边特别短，另外两条边比较长，这个三角形就会显得有点“畸形”，就像家庭里有个比较弱小的成员，虽然也能组成家庭，但是整体的稳定性可能就会差一些。

不过这也不是绝对的坏事，在某些情况下，这种特殊的三角形也有它独特的用处。

从另一个角度看，三角形三边关系还像一场拔河比赛呢。

两条边的力量加起来得能拉得过第三条边，要是拉不过，那就没办法形成三角形这个稳定的结构了。

这就告诉我们，在生活中，当我们要做一件事情，需要几个因素共同作用的时候，这些因素之间的力量也要相互匹配。

就像你要盖房子，梁、柱和地基的稳固程度之间也得有合适的关系，就像三角形三边关系一样。

如果地基太弱，梁和柱再结实也没用，房子迟早要塌的。

在数学学习中，掌握三角形三边关系可是很关键的。

有时候题目会给你两条边的长度，让你求第三条边的取值范围。

这时候你就得把三边关系这个规则牢记心中啦。

你要是把这个关系搞错了，答案肯定就不对了。

这就好比你走在路上，要去一个地方，但是你记错了方向，那肯定到不了目的地。

三角形三边关系还能让我们更好地理解空间的概念。

在我们周围的世界里，有很多东西都是三角形的形状。