【新课标】新北京课改版2018-2019学年九年级数学上学期期末教学目标检测及答案解析

2018-2019学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分,每小题2分）第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个、1、如果3x=4y（y≠0）,那么下列比例式中正确的是（）A、B、C、D、2、在Rt△ABC中,∠C=90°,,AC=2,则tanA的值为（）A、B、2 C、D、3、如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上、若∠ACD=25°,则∠BOD的度数为（）A、100°B、120°C、130°D、150°4、如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC、若⊙O的半径为4,则弦AB的长为（）A、B、C、D、5、如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中,a＞0,b＜0,c＜0,那么这个二次函数的图象可能是（）A、B、C、D、6、若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点,则m的取值范围是（）A、m＞1B、m＜1C、m＞1且m≠0D、m＜1且m≠07、如图,将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象,其中原函数图象上的两点A（1,m）、B（4,n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′、若阴影部分的面积为6,则新函数的表达式为（）A、B、C、D、8、如图,点M为▱ABCD的边AB上一动点,过点M作直线l垂直于AB,且直线l与▱ABCD的另一边交于点N、当点M从A→B匀速运动时,设点M的运动时间为t,△AMN的面积为S,能大致反映S与t函数关系的图象是（）A 、B 、C 、D 、二、填空题（本题共16分,每小题2分）9、如果两个相似三角形的周长比为2:3,那么这两个相似三角形的面积比为 、10、如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上、若∠ADE=∠C,AB=6,AC=4,AD=2,则EC= 、11、如图,扇形的圆心角∠AOB=60°,半径为3cm 、若点C 、D 是的三等分点,则图中所有阴影部分的面积之和是 cm 2、12、“平改坡”是指在建筑结构许可条件下,将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶,并对外立面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为、如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图、根据图中的数据,如果要使坡面BC 的坡度达到1:1.2,那么立柱AC 的长为 米、13、如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B、当y1＞y2＞0时,x的取值范围是、14、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于、15、如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF,写出一种由△ABC得到△DEF的过程:、16、石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化,拟从点A出发,将△ABC分成面积相等的三个三角形,栽种三种不同的花草、下面是小美的设计（如图2）、作法:（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C,分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C,交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2、则、请回答,成立的理由是:①；②、三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17、（5分）计算:3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°、18、（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标、19、（5分）在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c、若a=2,sin,求b和c、20、（5分）小红和小丁玩纸牌游戏:如图是同一副扑克中的4张牌的正面,将它们正面朝下洗匀后放在桌上,小红先从中抽出一张,小丁从剩余的3张牌中也抽出一张、比较两人抽出的牌面上的数字,数字大者获胜、（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由、21、（5分）如图,小明想测量山的高度、他在点B处仰望山顶A,测得仰角∠ABN=30°,再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处,在点C 处仰望山顶A,测得仰角∠ACN=45°、求这座山的高度、（结果精确到0.1m,小明的身高忽略不计）（参考数据:≈1.41,≈1.73）22、（5分）在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2,0）,与反比例函数y=的图象交于点B（3,n）、（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点,且△PAB的面积是2,则点P的坐标是、23、（5分）如图,四边形ABCD是平行四边形,CE⊥AD于点E,DF⊥BA交BA的延长线于点F、（1）求证:△ADF∽△DCE；（2）当AF=2,AD=6,且点E恰为AD中点时,求AB的长、24、（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1,﹣2）、（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时,求y的取值范围、25、（6分）如图,AC是⊙O的直径,点D是⊙O 上一点,⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B,点F是直径AC上一点,连接DF并延长交⊙O于点E,连接AE、（1）求证:∠ABC=∠AED；（2）连接BF,若AD=,AF=6,tan∠AED=,求BF的长、26、（7分）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1,0）和B（0,3）、（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C,连接BC、设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q,若点Q落在△OBC的内部,求t的取值范围、27、（7分）在正方形ABCD中,点P在射线AC上,作点P关于直线CD的对称点Q,作射线BQ交射线DC于点E,连接BP、（1）当点P在线段AC上时,如图1、①依题意补全图1；②若EQ=BP,则∠PBE的度数为,并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时,如图2、若EQ=BP,正方形ABCD的边长为1,请写出求BE长的思路、（可以不写出计算结果）28、（8分）在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为（x1,y1）,点Q的坐标为（x2,y2）,且x1≠x2,y1≠y2,若PQ为某个等腰三角形的腰,且该等腰三角形的底边与x轴平行,则称该等腰三角形为点P,Q的“相关等腰三角形”、下图为点P,Q的“相关等腰三角形”的示意图、（1）已知点A的坐标为（0,1）,点B的坐标为,则点A,B的“相关等腰三角形”的顶角为°；（2）若点C的坐标为,点D在直线y=4上,且C,D的“相关等腰三角形”为等边三角形,求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为,点N在双曲线y=﹣上、若在⊙O上存在一点M,使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,直接写出点N的横坐标x N 的取值范围、2017-2018学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分,每小题2分）第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个、1、如果3x=4y（y≠0）,那么下列比例式中正确的是（）A、B、C、D、【分析】根据比例的性质,可得答案、【解答】解:A、由比例的性质,得4x=3y与3x=4y不一致,故A不符合题意；B、由比例的性质,得xy=12与3x=4y不一致,故B不符合题意；C、由比例的性质,得4x=3y与3x=4y不一致,故C不符合题意；D、由比例的性质,得3x=4y与3x=4y一致,故D符合题意；故选:D、【点评】本题考查了比例的性质,利用比例的性质是解题关键、2、在Rt△ABC中,∠C=90°,,AC=2,则tanA的值为（）A、B、2 C、D、【分析】本题需先根据已知条件,得出BC的长,再根据正切公式即可求出答案、【解答】解:∵∠C=90°,AB=,AC=2,∴BC=1,∴tanA==、故选:A、【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义,在解题时要根据在直角三角形中,正切等于对边比邻边这个公式计算是本题的关键、3、如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上、若∠ACD=25°,则∠BOD的度数为（）A、100°B、120°C、130°D、150°【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题、【解答】解:∵∠AOD=2∠ACD,∠ACD=25°,∴∠AOD=50°,∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°,故选:C、【点评】本题考查圆周角定理,邻补角的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型、4、如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC、若⊙O的半径为4,则弦AB的长为（）A、B、C、D、【分析】连接OA,由AB垂直平分OC,求出OD的长,再利用垂径定理得到D 为AB的中点,在直角三角形AOD中,利用垂径定理求出AD的长,即可确定出AB的长、【解答】解:连接OA,由AB垂直平分OC,得到OD=OC=2,∵OC⊥AB,∴D为AB的中点,则AB=2AD=2=2=4、故选:B、【点评】此题考查了垂径定理,以及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解本题的关键、5、如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中,a＞0,b＜0,c＜0,那么这个二次函数的图象可能是（）A、B、C、D、【分析】由a＞0,b＜0,c＜0,推出﹣＞0,可知抛物线的图象开口向上,对称轴在y轴的右边,交y轴于负半轴,由此即可判断、【解答】解:∵a＞0,b＜0,c＜0,∴﹣＞0,∴抛物线的图象开口向上,对称轴在y轴的右边,交y轴于负半轴,故选:C、【点评】本题考查二次函数的图象,解题的关键是熟练掌握基本知识,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型、6、若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点,则m的取值范围是（）A、m＞1B、m＜1C、m＞1且m≠0D、m＜1且m≠0 【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出:方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根,且m≠0,利用根的判别式△＞0可求出m的取值范围,此题得解、【解答】解:∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点,∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根,且m≠0,∴△=22﹣4m＞0,∴m＜1、∴m＜1且m≠0、故选:D、【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式,利用根的判别式△＞0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键、7、如图,将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象,其中原函数图象上的两点A（1,m）、B（4,n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′、若阴影部分的面积为6,则新函数的表达式为（）A、B、C、D、【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标,再过A作AC∥x轴,交B′B的延长线于点C,则C（4,1）,AC=4﹣1=3,根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分）,得出AA′=2,然后根据平移规律即可求解、【解答】解:∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1,m）,B（4,n）,∴m=（1﹣2）2+1=1,n=（4﹣2）2+1=2,∴A（1,1）,B（4,2）,过A作AC∥x轴,交B′B的延长线于点C,则C（4,1）,∴AC=4﹣1=3,∵曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分）,∴AC•AA′=3AA′=6,∴AA′=2,即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到一条新函数的图象,∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+3、故选:B、【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识,根据已知得出AA′是解题关键、8、如图,点M为▱ABCD的边AB上一动点,过点M作直线l垂直于AB,且直线l与▱ABCD的另一边交于点N、当点M从A→B匀速运动时,设点M的运动时间为t,△AMN的面积为S,能大致反映S与t函数关系的图象是（）A、B、C、D、【分析】当点N在AD上时,可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N在DC上时,MN长度不变,可得后半段函数图象为一条线段、【解答】解:设∠A=α,点M运动的速度为a,则AM=at,当点N在AD上时,MN=tanα×AM=tanα•at,此时S=×at×tanα•at=tanα×a2t2,∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分,当点N在DC上时,MN长度不变,此时S=×at×MN=a×MN×t,∴后半段函数图象为一条线段,故选:C、【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象,用图象解决问题时,要理清图象的含义即会识图、函数图象是典型的数形结合,图象应用信息广泛,通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题、解决问题的能力、二、填空题（本题共16分,每小题2分）9、如果两个相似三角形的周长比为2:3,那么这两个相似三角形的面积比为4:9、【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方解答、【解答】解:因为两个相似三角形的周长比为2:3,所以这两个相似三角形的相似比为2:3,所以这两个相似三角形的面积比为4:9；故答案为:4:9、【点评】本题考查的是相似三角形的性质,相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方、10、如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上、若∠ADE=∠C,AB=6,AC=4,AD=2,则EC=1、【分析】只要证明△ADE∽△ACB,推出=,求出AE即可解决问题；【解答】解；∵∠A=∠A,∠ADE=∠C,∴△ADE∽△ACB,∴=,∴=,∴AE=3,∴EC=AC﹣AE=4﹣3=1,故答案为1、【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型、11、如图,扇形的圆心角∠AOB=60°,半径为3cm、若点C、D是的三等分点,则图中所有阴影部分的面积之和是cm2、【分析】由题意可知C、D是弧AB的三等分点,通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中,可发现阴影部分正好是扇形AOB的,先求出扇形AOB的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度,半径是3的扇形的面积皆可、【解答】解:S扇形OAB=,S阴影=S扇形OAB=×π=π、故答案为:【点评】此题考查扇形的面积问题,通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形﹣﹣扇形,再求算扇形的面积即可、利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法、12、“平改坡”是指在建筑结构许可条件下,将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶,并对外立面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为、如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图、根据图中的数据,如果要使坡面BC的坡度达到1:1.2,那么立柱AC的长为2.5米、【分析】由坡度的概念得出=,根据AB=3可得AC的长度、【解答】解:根据题意知=,∵AB=3,∴=,解得:AC=2.5,故答案为:2.5、【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解题的关键是熟练掌握坡度的定义、13、如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B、当y1＞y2＞0时,x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5、【分析】根据一次函数与反比例函数交点纵坐标,结合图象确定出所求x的范围即可、【解答】解:根据图象得:当y1＞y2＞0时,x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5,故答案为:﹣2＜x＜﹣0.5【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用了数形结合的思想,弄清数形结合思想是解本题的关键、14、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于5、【分析】连接CD,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD,求出圆的半径的长,再利用勾股定理列式进行计算即可得解、【解答】解:如图,∵∠C=90°,点D为AB的中点,∴AB=2CD=10,∴CD=5,∴BC=CD=5,在Rt△ABC中,AC===5、故答案为:5、【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,勾股定理的应用,求出圆的半径的长是解题的关键、15、如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF,写出一种由△ABC得到△DEF的过程:向右平移4个单位,沿对称轴BC翻折,再绕点C逆时针旋转90°、【分析】根据对应点C与点F的位置,结合两三角形在网格结构中的位置解答、【解答】解:△ABC向右平移4个单位,沿对称轴BC翻折,再绕点C逆时针旋转90°即可得到△DEF,所以,过程为:向右平移4个单位,沿对称轴BC翻折,再绕点C逆时针旋转90°、故答案为:向右平移4个单位,沿对称轴BC翻折,再绕点C逆时针旋转90°、【点评】本题考查了几何变换的类型,平移、旋转,准确识图是解题的关键、16、石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化,拟从点A出发,将△ABC分成面积相等的三个三角形,栽种三种不同的花草、下面是小美的设计（如图2）、作法:（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C,分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C,交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2、则、请回答,成立的理由是:①平行线分线段成比例定理；②等底共高、【分析】根据平行线分线段成比例定理和等底共高求解可得、【解答】解:由BB1=B1B2=B2B3且B1C1∥B2C2∥B3C,依据平行线分线段成比例定理知BC1=C1C2=C2C,再由△ABC1,△AC1C2与△AC2C等底共高知,故答案为:①平行线分线段成比例定理；②等底共高、【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图,解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理和等底共高的两三角形面积关系、三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17、（5分）计算:3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°、【分析】根据特殊角三角函数值,可得答案、【解答】解:原式=3×﹣（）2+﹣2×=﹣+2﹣=、【点评】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键、18、（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标、【分析】把解析式化为顶点式即可、【解答】解:∵y=x2﹣10x+3=（x﹣5）2﹣22,∴二次函数的顶点坐标为（5,﹣22）、【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a（x﹣h）2+k中,顶点坐标为（h,k）,对称轴为x=h、19、（5分）在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c、若a=2,sin,求b和c、【分析】先根据sinA=知c==6,再根据勾股定理求解可得、【解答】解:如图,∵a=2,sin,∴c===6,则b===4、【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义,解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理、20、（5分）小红和小丁玩纸牌游戏:如图是同一副扑克中的4张牌的正面,将它们正面朝下洗匀后放在桌上,小红先从中抽出一张,小丁从剩余的3张牌中也抽出一张、比较两人抽出的牌面上的数字,数字大者获胜、（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由、【分析】（1）根据题意画出树状图,即可解决问题；（2）根据树状图,利用概率公式即可求得小红获胜的概率,由概率相等,即可判定这个游戏公平；【解答】解:（1）树状图如右:则小红获胜的概率:=,小丁获胜的概率:=,所以这个游戏比较公平、【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求事件的概率,解题的关键是学会正确画出树状图,判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平、用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比、、21、（5分）如图,小明想测量山的高度、他在点B处仰望山顶A,测得仰角∠ABN=30°,再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处,在点C 处仰望山顶A,测得仰角∠ACN=45°、求这座山的高度、（结果精确到0.1m,小明的身高忽略不计）（参考数据:≈1.41,≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H,设AH=xm,根据正切的概念表示出CH、BH,根据题意列出方程,解方程即可、【解答】解:如图,作AH⊥BN于H,设AH=xm,∵∠ACN=45°,∴CH=AH=xm,∵tanB=,∴BH=x,则BH﹣CH=BC,即x﹣x=100,解得x=50（+1）、答:这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键、22、（5分）在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2,0）,与反比例函数y=的图象交于点B（3,n）、（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点,且△PAB的面积是2,则点P的坐标是（﹣2,0）或（6,0）、【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解:（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2,0）,∴2+b=0,∴b=﹣2,∴y=x﹣2,当x=3时,y=1,∴B（3,1）,代入y=中,得到k=3,∴反比例函数的解析式为y=、（2）∵△PAB的面积是2,∴•PA•1=2,∴PA=4,∴P（﹣2,0）或（6,0）、【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型、23、（5分）如图,四边形ABCD是平行四边形,CE⊥AD于点E,DF⊥BA交BA的延长线于点F、（1）求证:△ADF∽△DCE；（2）当AF=2,AD=6,且点E恰为AD中点时,求AB的长、【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB,即∠DAF=∠CDE,再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°,据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE知=,据此求得DC=9,再根据平行四边形的性质可得答案、【解答】解:（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,∴∠DAF=∠CDE,又∵CE ⊥AD 、DF ⊥BA,∴∠AFD=∠DEC=90°,∴△ADF ∽△DCE ；（2）∵AD=6、且E 为AD 的中点,∴DE=3,∵△ADF ∽△DCE,∴=,即=,解得:DC=9,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD=9、【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质、24、（5分）二次函数y=x 2﹣2mx +5m 的图象经过点（1,﹣2）、（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x ≤1时,求y 的取值范围、【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得、【解答】解:（1）把点（1,﹣2）代入y=x 2﹣2mx +5m 中,可得:1﹣2m +5m=﹣2,解得:m=﹣1,所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣,（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6,∴当x=﹣1时,y取得最小值﹣6,由表可知当x=﹣4时y=3,当x=﹣1时y=﹣6,∴当﹣4≤x≤1时,﹣6≤y≤3、【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键、25、（6分）如图,AC是⊙O的直径,点D是⊙O 上一点,⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B,点F是直径AC上一点,连接DF并延长交⊙O于点E,连接AE、（1）求证:∠ABC=∠AED；（2）连接BF,若AD=,AF=6,tan∠AED=,求BF的长、【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC,进而得出答案；（2）首先得出DC的长,即可得出FC的长,再利用已知得出BC的长,结合勾股定理求出答案、【解答】（1）证明:连接DC,∵AC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°,∴∠ABC+∠BCD=90°,∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B, ∴∠BCA=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∴∠ACD=∠ABC,∴∠ABC=∠AED；（2）解:连接BF,∵在Rt△ADC中,AD=,tan∠AED=,∴tan∠ACD==,∴DC=AD=,∴AC==8,∵AF=6,∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2,∵∠ABC=∠AED,∴tan∠ABC==,∴=,解得:BD=,故BC=6,则BF==2、【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识,正确得出∠ACD=∠ABC是解题关键、26、（7分）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1,0）和B（0,3）、（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C,连接BC、设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q,若点Q落在△OBC的内部,求t的取值范围、【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；【解答】解:（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1,0）和B（0,3）,∴,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3、（2）如图,易知抛物线的顶点坐标为（1,4）、观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时,t=3,当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时,t=2,∴满足条件的t的值为2＜t＜3、【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会寻找特殊点解决问题,属于中考常考题型、27、（7分）在正方形ABCD中,点P在射线AC上,作点P关于直线CD的对称点Q,作射线BQ交射线DC于点E,连接BP、（1）当点P在线段AC上时,如图1、①依题意补全图1；②若EQ=BP,则∠PBE的度数为45°,并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时,如图2、若EQ=BP,正方形ABCD的边长为1,请写出求BE长的思路、（可以不写出计算结果）【分析】（1）①作点P关于直线CD的对称点Q,作射线BQ交射线DC于点E,连接BP；②依据题意得到DP=EP,再根据四边形内角和求得∠BPE=90°,根据BP=EP,即可得到∠PBE=45°；（2）连接PD,PE,依据△CPD≌△CPB,可得DP=BP,∠1=∠2,根据DP=EP,可得∠3=∠1,进而得到∠PEB=45°,∠3=∠4=22.5°,△BCE中,已知∠4=22.5°,BC=1,可求BE长、【解答】解:（1）①作图如下:②如图,连接PD,PE,易证△CPD≌△CPB,∴DP=BP,∠CDP=∠CBP,∵P、Q关于直线CD对称,∴EQ=EP,∵EQ=BP,∴DP=EP,∴∠CDP=∠DEP,∵∠CEP+∠DEP=180°,∴∠CEP+∠CBP=180°,∵∠BCD=90°,∴∠BPE=90°,∵BP=EP,∴∠PBE=45°,故答案为:45°；（2）思路:如图,连接PD,PE,易证△CPD≌△CPB,∴DP=BP,∠1=∠2,∵P、Q关于直线CD对称,∴EQ=EP,∠3=∠4,∵EQ=BP,∴DP=EP,∴∠3=∠1,∴∠3=∠2,∴∠5=∠BCE=90°,∵BP=EP,∴∠PEB=45°,∴∠3=∠4=22.5°,在△BCE中,已知∠4=22.5°,BC=1,可求BE长、【点评】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合运用,解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理、28、（8分）在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为（x1,y1）,点Q的坐标为（x2,y2）,且x1≠x2,y1≠y2,若PQ为某个等腰三角形的腰,且该等腰三角形的底边与x轴平行,则称该等腰三角形为点P,Q的“相关等腰三角形”、下图为点P,Q的“相关等腰三角形”的示意图、（1）已知点A的坐标为（0,1）,点B的坐标为,则点A,B的“相关等腰三角形”的顶角为120°；（2）若点C的坐标为,点D在直线y=4上,且C,D的“相关等腰三角形”为等边三角形,求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为,点N在双曲线y=﹣上、若在⊙O上存在一点M,使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,直接写出点N的横坐标x N 的取值范围、【分析】（1）画出图形求出∠BAO的度数即可解决问题；（2）利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题；（3）因为点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,推出直线MN与x轴的夹角为45°,可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b,当直线与⊙O相切于点M时,求出直线MN的解析式,利用方程组求出点N的坐标,观察图象即可解决问题、【解答】解:（1）如图1中,∵A的坐标为（0,1）,点B的坐标为,∴点A,B的“相关等腰三角形”△ABC的当C（,0）或（﹣2,1）,∵tan∠BAO==,∴∠BAO=∠CAO=60°,∴∠BAC=∠ABC′=120°,故答案为120、（2）如图2中,设直线y=4交y轴于F（0,4）,∵C（0,）,∴CF=3,∵且C,D的“相关等腰三角形”为等边三角形,∴∠CDF=∠CD′F=60°,∴DF=FD′=3•tan30°=3,∴D（3,4）,D′（﹣3,4）,∴直线CD的解析式为y=x+,或y=﹣x+、（3）如图3中,∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,∴直线MN与x轴的夹角为45°,可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b,当直线与⊙O相切于点M时,易知b=±2,∴直线MN的解析式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2,由,解得或,∴N（﹣1,3）,N′（3,1）,由解得或,∴N1（﹣3,1）,N2（1,﹣3）,观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为:﹣3≤x N≤﹣1或1≤x N≤3、【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、“相关等腰三角形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题、。

2018-2019学年北京市怀柔区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）（2018秋•怀柔区期末）已知∠A为锐角，且sin A，那么∠A等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°2．（2分）（2018秋•张家港市期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC 的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°3．（2分）（2018秋•怀柔区期末）已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）A．3：2B．2：3C．4：9D．9：44．（2分）（2011•福州）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（）A．y＝x2B．C．D．5．（2分）（2018秋•怀柔区期末）正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是（）A．1B．2C．D．6．（2分）（2018秋•怀柔区期末）如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，则AB的长为（）A．2B．3C．4D．57．（2分）（2018秋•怀柔区期末）若要得到函数y＝（x﹣1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度8．（2分）（2018秋•怀柔区期末）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018秋•怀柔区期末）二次函数y＝﹣2x2+4x+1图象的开口方向是．10．（2分）（2018秋•怀柔区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则tan A的值为．11．（2分）（2010•内江）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为m．12．（2分）（2018秋•怀柔区期末）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是．13．（2分）（2018秋•怀柔区期末）如图所示的网格是正方形网格，则sin∠BAC与sin∠DAE 的大小关系是．14．（2分）（2018秋•怀柔区期末）写出抛物线y＝2（x﹣1）2图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标可以是．15．（2分）（2010•萝岗区一模）如图，小明要测量河内小岛B到河边公路L的距离，在A 点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路L 的距离为米．16．（2分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy内有三点：（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）．则过这三个点（填“能”或“不能”）画一个圆，理由是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）（2018秋•怀柔区期末）已知：．求：．18．（5分）（2018秋•怀柔区期末）计算：2cos30°﹣4sin45°．19．（5分）（2018秋•怀柔区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求该二次函数图象的顶点坐标．20．（5分）（2018秋•怀柔区期末）如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，BC＝7，sin B，求AC的长．21．（5分）（2018秋•怀柔区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，AD＝1，AE＝2，BC＝3，BE＝1.5．求证：∠DEC＝90°．22．（5分）（2018秋•怀柔区期末）下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：在BC边上求作一点P，使得△P AC∽△ABC．作法：如图，①作线段AC的垂直平分线GH；②作线段AB的垂直平分线EF，交GH于点O；③以点O为圆心，以OA为半径作圆；④以点C为圆心，CA为半径画弧，交⊙O于点D（与点A不重合）；⑤连接线段AD交BC于点P．所以点P就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵CD＝AC，∴．∴∠＝∠．又∵∠＝∠，∴△P AC∽△ABC（）（填推理的依据）．23．（6分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与双曲线相交于点A（m，3）．（1）求反比例函数的表达式；（2）画出直线和双曲线的示意图；（3）若P是坐标轴上一点，当OA＝P A时．直接写出点P的坐标．24．（6分）（2018秋•怀柔区期末）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点A，C，D分别为⊙O的三等分点，连接AC，AD，DC，延长AD交BM于点E，CD交AB于点F．（1）求证：CD∥BM；（2）连接OE，若DE＝m，求△OBE的周长．25．（6分）（2018秋•怀柔区期末）在如图所示的半圆中，P是直径AB上一动点，过点P 作PC⊥AB于点P，交半圆于点C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小聪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是30°时，AP的长度约为cm．26．（6分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标．27．（7分）（2018秋•怀柔区期末）在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，BD是一条对角线，点P在边CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，在BD上取一点H，使HQ＝HD，连接HQ，AH，PH．（1）依题意补全图1；（2）判断AH与PH的数量关系及∠AHP的度数，并加以证明；（3）若∠AHQ＝141°，菱形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）28．（7分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x，0），B（x，y），若线段AB上存在一点Q满足，则称点Q是线段AB的“倍分点”．（1）若点A（1，0），AB＝3，点Q是线段AB的“倍分点”．①求点Q的坐标；②若点A关于直线y＝x的对称点为A′，当点B在第一象限时，求；（2）⊙T的圆心T（0，t），半径为2，点Q在直线y x上，⊙T上存在点B，使点Q 是线段AB的“倍分点”，直接写出t的取值范围．2018-2019学年北京市怀柔区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）（2018秋•怀柔区期末）已知∠A为锐角，且sin A，那么∠A等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【解答】解：∵sin A，∠A为锐角，∴∠A＝30°．故选：B．2．（2分）（2018秋•张家港市期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC 的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°．故选：D．3．（2分）（2018秋•怀柔区期末）已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）A．3：2B．2：3C．4：9D．9：4【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴S△ABC：S△A'B'C'＝22：32＝4：9．故选：C．4．（2分）（2011•福州）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（）A．y＝x2B．C．D．【解答】解：根据图象可知：函数是反比例函数，且k＞0，答案B的k＝4＞0，符合条件，故选：B．5．（2分）（2018秋•怀柔区期末）正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是（）A．1B．2C．D．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，BC2．∴正方形的边长是2，故选：B．6．（2分）（2018秋•怀柔区期末）如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，则AB的长为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，∴△ABC∽△ADE，∴，即，∴AB＝4．故选：C．7．（2分）（2018秋•怀柔区期末）若要得到函数y＝（x﹣1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y ＝（x﹣1）2+2．故选：A．8．（2分）（2018秋•怀柔区期末）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7【解答】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，解得：a，当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y（x+2）2﹣3，令y＝0，则x＝﹣5或1，即点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018秋•怀柔区期末）二次函数y＝﹣2x2+4x+1图象的开口方向是下．【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1中a＝﹣2＜0，∴图象的开口向下，故答案为：下．10．（2分）（2018秋•怀柔区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则tan A的值为．【解答】解：如图，tan A．故答案为：．11．（2分）（2010•内江）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为7m．【解答】解：如图；AD＝6m，AB＝21m，DE＝2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC＝7m，故答案为：7．12．（2分）（2018秋•怀柔区期末）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是．【解答】解：根据弧长的公式l，得到：π．故答案为π．13．（2分）（2018秋•怀柔区期末）如图所示的网格是正方形网格，则sin∠BAC与sin∠DAE 的大小关系是sin∠BAC＞sin∠DAE．【解答】解：如图，连接NH、BC，过N作NP⊥AD于P．∵S△ANH＝2×21×2×21×1AH•NP，∴PN，∴PN．在Rt△ANP中，sin∠NAP0.6，在Rt△ABC中，sin∠BAC＞0.6，∴sin∠BAC＞sin∠DAE．故答案为：sin∠BAC＞sin∠DAE．14．（2分）（2018秋•怀柔区期末）写出抛物线y＝2（x﹣1）2图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标可以是（2，2），（0，2）（答案不唯一）．【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣1）2的对称轴是直线x＝1，∴这对对称点的坐标可以是（2，2），（0，2）（答案不唯一）．故答案是：（2，2），（0，2）（答案不唯一）．15．（2分）（2010•萝岗区一模）如图，小明要测量河内小岛B到河边公路L的距离，在A 点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路L 的距离为米．【解答】解：作BE⊥L于点E．∵∠BAD＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝AC＝50米，∴BE＝BC×sin60°＝25米．16．（2分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy内有三点：（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）．则过这三个点能（填“能”或“不能”）画一个圆，理由是因为这三点不在一条直线上．【解答】解：设经过（0，﹣2），（1，﹣1）的直线解析式为y＝kx+b，则，解得．所以经过（0，﹣2），（1，﹣1）的直线解析式为y＝x﹣2；当x＝2.17时，y＝2.17﹣2＝0.17≠0.37，所以点（2.17，0.37）不在经过（0，﹣2），（1，﹣1）的直线上，即三点：（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）不在同一直线上，所以过这三个点能画一个圆．故答案为能，因为这三点不在一条直线上．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）（2018秋•怀柔区期末）已知：．求：．【解答】解：∵，∴11．18．（5分）（2018秋•怀柔区期末）计算：2cos30°﹣4sin45°．【解答】解：原式＝242．19．（5分）（2018秋•怀柔区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求该二次函数图象的顶点坐标．【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴该二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4）．20．（5分）（2018秋•怀柔区期末）如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，BC＝7，sin B，求AC的长．【解答】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵sin B，∴∠B＝∠BAD＝45°，∵AB，∴AD＝BD AB＝3，∵BC＝7，∴DC＝4，∴在Rt△ACD中，AC5．21．（5分）（2018秋•怀柔区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，AD＝1，AE＝2，BC＝3，BE＝1.5．求证：∠DEC＝90°．【解答】证明：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，∵AD＝1，AE＝2，BC＝3，BE＝1.5，∴．∴，∴△ADE∽△BEC，∴∠3＝∠2，∵∠1+∠3＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°．22．（5分）（2018秋•怀柔区期末）下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：在BC边上求作一点P，使得△P AC∽△ABC．作法：如图，①作线段AC的垂直平分线GH；②作线段AB的垂直平分线EF，交GH于点O；③以点O为圆心，以OA为半径作圆；④以点C为圆心，CA为半径画弧，交⊙O于点D（与点A不重合）；⑤连接线段AD交BC于点P．所以点P就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵CD＝AC，∴．∴∠CAP＝∠CBA．又∵∠ACP＝∠BCA，∴△P AC∽△ABC（有两组角对应相等的两个三角形相似）（填推理的依据）．【解答】解：（1）补全图形如图所示：（2）连接CD，由作图知，AC＝CD，∴，∴∠CAP＝∠ABC，∵∠ACP＝∠BCA，∴△ACP∽△BCA（有两组角对应相等的两个三角形相似），故答案为：，CAP，ABC，ACP，BCA，有两组角对应相等的两个三角形相似．23．（6分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与双曲线相交于点A（m，3）．（1）求反比例函数的表达式；（2）画出直线和双曲线的示意图；（3）若P是坐标轴上一点，当OA＝P A时．直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝x+2与双曲线相交于点A（m，3）．∴3＝m+2，∴m＝1．∴A（1，3）把A（1，3）代入∴k＝3×1＝3，∴（2）直线和双曲线的示意图如图所示：（3）当点P在y轴上，过点A作AE⊥PO，则OE＝3，∵OA＝P A，AE⊥PO，∴PE＝OE＝3，∴OP＝6，∴点P的坐标为（0，6）若点P在x轴上，过点A作AF⊥PO，则OF＝1∵OA＝P A，AF⊥PO，∴OF＝PF＝1，∴OP＝2∴点P坐标为（2，0）综上所述，P（0，6）或P（2，0）24．（6分）（2018秋•怀柔区期末）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点A，C，D分别为⊙O的三等分点，连接AC，AD，DC，延长AD交BM于点E，CD交AB于点F．（1）求证：CD∥BM；（2）连接OE，若DE＝m，求△OBE的周长．【解答】（1）证明：∵点A、C、D为⊙O的三等分点，∴，∴AD＝DC＝AC．∴△ACD为等边三角形，而点O为△ACD的外心，∴AB⊥CD．∵BM为⊙O的切线，∴BE⊥AB．∴CD∥BM；（2）解：连接DB，如图，∵△ACD为等边三角形，∴∠C＝60°，∴∠ABD＝∠C＝60°，∴∠DBE＝30°，在Rt△DBE中，BE＝2DE＝2m，DB DE m．在Rt△ADB中，AB＝2BD＝2m，则OB m，在Rt△OBE中，OE m，∴△OBE周长为2m m m＝（2）m．25．（6分）（2018秋•怀柔区期末）在如图所示的半圆中，P是直径AB上一动点，过点P 作PC⊥AB于点P，交半圆于点C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小聪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是30°时，AP的长度约为cm．【解答】解：（1）因为PC＝3时，P A＝PB＝3，∴PC是⊙O的半径，∴PC＝3cm，即x＝3时，y1＝3．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）结合图象可知：当∠ACP＝30°时，AP AC AB＝1.50cm．根据对称性，结合图象可知：当∠CAP＝30°时，PB＝1.50cm，P A＝4.50cm．26．（6分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）由题意得，抛物线y＝ax2+2ax+c的对称轴是直线，∵a＜0，抛物线开口向下，又与x轴有交点，∴抛物线的顶点C在x轴的上方，由于抛物线顶点C到x轴的距离为4，因此顶点C的坐标是（﹣1，4）．可设此抛物线的表达式是y＝a（x+1）2+4，由于此抛物线与x轴的交点A的坐标是（﹣3，0），可得a＝﹣1．因此，抛物线的表达式是y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如图1，点B的坐标是（0，3）．连接BC．∵AB2＝32+32＝18，BC2＝12+12＝2，AC2＝22+42＝20，得AB2+BC2＝AC2．∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，所以．即∠CAB的正切值等于．（3）如图2，连接BC，∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAP＝∠ABO＝45°，∵∠CAO＝∠ABP，∴∠CAB＝∠OBP，∵∠ABC＝∠BOP＝90°，∴△ACB∽△BPO，∴，∴，OP＝1，∴点P的坐标是（1，0）．27．（7分）（2018秋•怀柔区期末）在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，BD是一条对角线，点P在边CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，在BD上取一点H，使HQ＝HD，连接HQ，AH，PH．（1）依题意补全图1；（2）判断AH与PH的数量关系及∠AHP的度数，并加以证明；（3）若∠AHQ＝141°，菱形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）【解答】解：（1）补全图形，如图所示（2）AH＝PH，∠AHP＝120°．理由如下：如图，由平移可知，PQ＝DC．∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，∴AD＝DC，∠ADB＝∠BDQ＝30°，∴AD＝PQ，∵HQ＝HD，∴∠HQD＝∠HDQ＝30°，∴∠ADB＝∠DQH，∠DHQ＝120°．∵HQ＝DH，∠ADB＝∠DQH，AD＝PQ，∴△ADH≌△PQH（SAS），∴AH＝PH，∠AHD＝∠PHQ，∴∠AHD+∠DHP＝∠PHQ+∠DHP，∴∠AHP＝∠DHQ，∵∠DHQ＝120°，∴∠AHP＝120°．（3）求解思路如下：由∠AHQ＝141°，∠BHQ＝60°解得∠AHB＝81°，a．在△ABH中，由∠AHB＝81°，∠ABD＝30°，解得∠BAH＝69°，b．在△AHP中，由∠AHP＝120°，AH＝PH，解得∠P AH＝30°，c．在△ADB中，由∠ADB＝∠ABD＝30°，解得∠BAD＝120°，由a、b、c可得∠DAP＝21°，在△DAP中，由∠ADP＝60°，∠DAP＝21°，AD＝1，可解△DAP，从而求得DP长．28．（7分）（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x，0），B（x，y），若线段AB上存在一点Q满足，则称点Q是线段AB的“倍分点”．（1）若点A（1，0），AB＝3，点Q是线段AB的“倍分点”．①求点Q的坐标；②若点A关于直线y＝x的对称点为A′，当点B在第一象限时，求；（2）⊙T的圆心T（0，t），半径为2，点Q在直线y x上，⊙T上存在点B，使点Q 是线段AB的“倍分点”，直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）如图1，∵A（1，0），AB＝3∴B（1，3）或B'（1，﹣3）∵∴Q（1，1）或Q'（1，﹣1）（2）∵直线OQ的解析式为y＝x，∴∠AOQ＝45°，∴点A关于直线y＝x的对称点在y轴上，∵A（1，0），∴OA＝1，由对称得，OA'＝OA＝1，∴点A（1，0）关于直线y＝x的对称点为A′（0，1），如图1，∴QA＝QA′∴，（3）①当A，B都在⊙T1上时，⊙T1与l没有交点，∵⊙T1的半径为2，∴此时点T1的坐标为（0，﹣4）；②当⊙T2上只有一个点Q是线段AB的“倍分点”时，过点T2作T2Q⊥图象L于点Q，交⊙T2于点N，过点Q作QD⊥x轴于点D，∵图象L的解析式为y x（x＞0），∴∠QOT＝60°，∠OT2Q＝30°．∵点T2的坐标为（0，t），∴OQ t，DQ OQ t，T2O＝t．由“倍分点”的定义可知：OB＝2DQ，即t﹣2t，解得：t＝4，综上所述：t的取值范围为﹣4≤t≤4．。

2018-2019学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．已知2x ＝3y （x ≠0），则下列比例式成立的是（ ） A ．x2=y3B ．x 3=y2C ．x y=23D ．x 2=3y2．（2019•黄浦区一模）已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则sin A 的值为（ ） A ．34B ．43C ．35D ．453．（2018秋•大兴区期末）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，若AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则AC 的长为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．124．（2018秋•大兴区期末）若点A （a ，b ）在双曲线y =5x上，则代数式2ab ﹣4的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．6D ．95．（2019•武昌区模拟）把抛物线y ＝2（x ﹣3）2+k 向下平移1个单位长度后经过点（2，3），则k 的值是（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣16．（2018秋•大兴区期末）如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠BAC 的值为（ ）A ．2B ．12C ．2√55D ．√557．（2018秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的位置如图所示，抛物线y ＝ax 2﹣2ax 经过A ，B ，则下列说法不正确的是（ ）A ．抛物线的开口向上B ．抛物线的对称轴是x ＝1C ．点B 在抛物线对称轴的左侧D ．抛物线的顶点在第四象限8．（2018秋•大兴区期末）如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，点D 在BC 的延长线上．有如下四个结论：①在∠ABC 所对的弧上存在一点E ，使得∠BCE ＝∠DCE ； ②在∠ABC 所对的弧上存在一点E ，使得∠BAE ＝∠AEC ； ③在∠ABC 所对的弧上存在一点E ，使得EO 平分∠AEC ；④在∠ABC 所对的弧上任意取一点E （不与点A ，C 重合），∠DCE ＝∠ABO +∠AEO 均成立．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．抛物线y ＝（x ﹣1）2+2的顶点坐标是 ．10．（2018秋•大兴区期末）如图，在▱ABCD 中，点E 在DC 上，连接BE 交对角线AC 于点F ，若DE ：EC ＝1：3，则S △EFC ：S △BF A ＝ ．11．（2019•西城区校级模拟）已知18°的圆心角所对的弧长是π5cm ，则此弧所在圆的半径是cm．12．（2018秋•大兴区期末）如图，⊙O的半径OA垂直于弦BC，垂足是D，OA＝5，AD：OD＝1：4，则BC的长为．13．（2018秋•大兴区期末）在△ABC中，tan A=√33，则sin A＝．14．（2018秋•大兴区期末）已知在同一坐标系中，抛物线y1＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：．15．（2018秋•大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（x＞0）的图象经过Rt△OAB的斜边OA的中点D，交AB于点C．若点B在x轴上，点A的坐标为（6，4），则△BOC的面积为．16．（2018秋•大兴区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，2），B（4，2），对于任意a＞0，点P（m，n）均不在抛物线上．若n＞2，则m的取值范围是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.～17．（5分）（2018秋•大兴区期末）计算：sin60°×cos30°﹣4tan45°+（√2018）0．18．（5分）（2018秋•大兴区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝1，DB＝4，求AC的长．19．（5分）（2018秋•大兴区期末）下面是小松设计的“做圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程． 已知：⊙O ．求作：⊙O 的内接等腰直角三角形． 作法：如图， ①作直径AB ；②分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的同样长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点；③作直线MN 交⊙O 于点C ，D ； ④连接AC ，BC ．所以△ABC 就是所求作的三角形． 根据小松设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：∵AB 是直径，C 是⊙O 上一点 ∴∠ACB ＝ （填写推理依据） ∵AC ＝BC （填写推理依据） ∴△ABC 是等腰直角三角形．20．（5分）（2018秋•大兴区期末）已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过（1，0）和（4，﹣3）两点．求这个二次函数的表达式．21．（5分）（2018秋•大兴区期末）如图，△ABC 中，∠A ＝30°，tan B =√3，AC ＝2√3．求BC的长．22．（5分）（2018秋•大兴区期末）如图，在测量“河流宽度”的综合与实践活动中，小李同学设计的方案及测量数据如下：在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D（点B，C，D在同一条直线上），AB⊥BD，∠ACB＝45°，CD＝20米，且．若测得∠ADB＝25°，请你帮助小李求河的宽度AB．（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，结果精确到0.1米）．23．（6分）（2019•信阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（1，0），连接BA，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，反比例函数y=kx(x＞0)的图象G经过点C．（1）请直接写出点C的坐标及k的值；（2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，若Q（0，m）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M，与直线OP交于点N，若点M在点N左侧，结合图象，直接写出m 的取值范围．24．（6分）（2018秋•大兴区期末）如图，点C是⊙O直径AB上一点，过C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接DA，延长BA至点P，连接DP，使∠PDA＝∠ADC．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AC＝3，tan∠PDC=43，求BC的长．25．（6分）（2019•西城区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，P是CB边上一动点，连接AP，作PQ⊥AP交AB于Q．已知AC＝3cm，BC＝6cm，设PC的长度为xcm，BQ 的长度为ycm．小青同学根据学习函数的经验对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小青同学的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y的几组对应值；x/cm00.5 1.0 1.5 2.0 2.53 3.54 4.556 y/cm0 1.56 2.24 2.51m 2.45 2.24 1.96 1.63 1.260.860（说明：补全表格时，相关数据保留一位小数）m的值约为cm；（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表格中各组数值所对应的点（x，y），画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当y＞2时，对应的x的取值范围约是；②若点P不与B，C两点重合，是否存在点P，使得BQ＝BP？（填“存在”或“不存在”）26．（6分）（2019•丰台区模拟）已知抛物线y＝﹣x2+（5﹣m）x+6﹣m．（1）求证：该抛物线与x轴总有交点；（2）若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m的取值范围；（3）设抛物线y＝﹣x2+（5﹣m）x+6﹣m与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y＝﹣x的对称点恰好是点M，求m的值．27．（7分）（2018秋•大兴区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点E 为线段AB上一动点（不与点A，B重合），连接CE，将∠ACE的两边CE，CA分别绕点C顺时针旋转90°，得到射线CE′，CA′，过点A作AB的垂线AD，分别交射线CE′，CA′于点F，G．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE＝α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE，AF与BC之间的数量关系，并证明．28．（7分）（2018秋•大兴区期末）对于平面内任意一个角的“夹线圆”，给出如下定义：如果一个圆与这个角的两边都相切，则称这个圆为这个角的“夹线圆”．例如：在平面直角坐标系xOy中，以点（1，1）为圆心，1为半径的圆是x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”．（1）下列各点中，可以作为x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是；A（2，2），B（3，1），C（﹣1，0），D（1，﹣1）（2）若⊙P为y轴和直线l：y=√33x所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙P的半径为1，求点P的坐标．（3）若⊙Q为x轴和直线y=−√33x+2√3所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙Q的半径1≤r≤2，直接写出点Q横坐标x Q的取值范围．2018-2019学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2003•无锡）已知2x ＝3y （x ≠0），则下列比例式成立的是（ ） A ．x2=y3B ．x 3=y2C ．x y=23D ．x 2=3y【解答】解：根据等式性质2，可判断出只有B 选项正确， 故选：B ．2．（2019•黄浦区一模）已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则sin A 的值为（ ） A ．34B ．43C ．35D ．45【解答】解：由勾股定理得AB =√AC 2+BC 2=√32+42=5， sin A =BC AB =45， 故选：D ．3．（2018秋•大兴区期末）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，若AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则AC 的长为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【解答】解：∵AD ＝5，BD ＝10， ∴AB ＝15， ∵DE ∥BC ， ∴AD AB=AE AC，∵AE ＝3， ∴AC ＝9， 故选：C ．4．（2018秋•大兴区期末）若点A （a ，b ）在双曲线y =5x上，则代数式2ab ﹣4的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．6D ．9【解答】解：∵点A （a ，b ）在双曲线y =5x 上， ∴ab ＝5∴2ab ﹣4＝10﹣4＝6 故选：C ．5．（2019•武昌区模拟）把抛物线y ＝2（x ﹣3）2+k 向下平移1个单位长度后经过点（2，3），则k 的值是（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣1【解答】解：设抛物线y ＝2（x ﹣3）2+k 向下平移1个单位长度后的解析式为y ＝2（x ﹣3）2+k ﹣1，把点（2，3）代入y ＝2（x ﹣3）2+k ﹣1得，3＝2（2﹣3）2+k ﹣1， ∴k ＝2， 故选：A ．6．（2018秋•大兴区期末）如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠BAC 的值为（ ）A ．2B ．12C ．2√55D ．√55【解答】解：如图，连接BC ． 根据勾股定理可得AC 2＝22+22＝8， BC 2＝12+12＝2， AB 2＝12+32＝10， ∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°， ∴tan ∠BAC =BCAC =√28=12．故选：B ．7．（2018秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的位置如图所示，抛物线y＝ax2﹣2ax经过A，B，则下列说法不正确的是（）A．抛物线的开口向上B．抛物线的对称轴是x＝1C．点B在抛物线对称轴的左侧D．抛物线的顶点在第四象限【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax，∴x＝0时，y＝0，∴图象经过原点，又∵对称轴为直线x=2a2a=1，∴抛物线开口向上，点B在对称轴的右侧，顶点在第四象限．即A、B、D正确，C错误．故选：C．8．（2018秋•大兴区期末）如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，点D在BC的延长线上．有如下四个结论：①在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BCE＝∠DCE；②在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BAE＝∠AEC；③在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得EO平分∠AEC；④在∠ABC所对的弧上任意取一点E（不与点A，C重合），∠DCE＝∠ABO+∠AEO均成立．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①②③④【解答】解：①当BE 是⊙O 的直径时，∠BCE ＝∠DCE ＝90°，故①正确；②当AE ∥BC 时，AB̂=CE ̂， ∴BCÊ=ABC ̂， ∴∠BAE ＝∠AEC ；故②正确；③当点E 是AĈ的中点时，EO 平分∠AEC ；故正确； ④如图2，∵∠A ＝∠ECD ，∠A +12∠BOE ＝180°，∴∠ABO +∠AEO ＝360°﹣∠A ﹣∠BOE ＝360°﹣∠DCE ﹣2（180°﹣∠COE ），∴∠DCE ＝∠ABO +∠AEO ，故正确；故选：D ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2005•宁德）抛物线y ＝（x ﹣1）2+2的顶点坐标是 （1，2） ．【解答】解：因为y ＝（x ﹣1）2+2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，2）．10．（2018秋•大兴区期末）如图，在▱ABCD 中，点E 在DC 上，连接BE 交对角线AC 于点F ，若DE ：EC ＝1：3，则S △EFC ：S △BF A ＝ 9：16 ．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴△EFC ∽△BF A ．∵DE ：EC ＝1：3，∴CE ：AB ＝3：4．∵△EFC ∽△BF A ，∴S △EFCS △BFA =（CE AB ）2=916． 故答案为：9：16．11．（2019•西城区校级模拟）已知18°的圆心角所对的弧长是π5cm ，则此弧所在圆的半径是 2 cm ．【解答】解：设此弧所在圆的半径为Rcm ，则18π×R 180=π5，解得，R ＝2（cm ），故答案为：2．12．（2018秋•大兴区期末）如图，⊙O 的半径OA 垂直于弦BC ，垂足是D ，OA ＝5，AD ：OD ＝1：4，则BC 的长为 6 ．【解答】解：连接OB ，∵OA ＝5，AD ：OD ＝1：4，∴AD ＝1，OD ＝4，OB ＝5， 在Rt △ODB 中，由勾股定理得：OB 2＝OD 2+BD 2，52＝42+BD 2，解得：BD ＝3，∵OD ⊥BC ，OD 过O ，∴BC ＝2BD ＝6，故答案为：6．13．（2018秋•大兴区期末）在△ABC 中，tan A =√33，则sin A ＝ 12 ．【解答】解：∵tan A =√33，∴∠A ＝30°，∴sin A =12；故答案为：12． 14．（2018秋•大兴区期末）已知在同一坐标系中，抛物线y 1＝ax 2的开口向上，且它的开口比抛物线y 2＝3x 2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a 值： 4 ．【解答】解：∵抛物线y 1＝ax 2的开口向上，∴a ＞0，又∵它的开口比抛物线y 2＝3x 2+2的开口小，∴|a |＞3，∴a ＞3，取a ＝4即符合题意，故答案为：4（答案不唯一）．15．（2018秋•大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y =k x （x ＞0）的图象经过Rt △OAB 的斜边OA 的中点D ，交AB 于点C ．若点B 在x 轴上，点A 的坐标为（6，4），则△BOC 的面积为 3 ．【解答】解：∵点A的坐标为（6，4），而点D为OA的中点，∴D点坐标为（3，2），把D（3，2）代入y=kx得k＝3×2＝6，∴反比例函数的解析式为y=6 x，∴△BOC的面积=12|k|=12×|6|＝3．故答案为：3；16．（2018秋•大兴区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，2），B（4，2），对于任意a＞0，点P（m，n）均不在抛物线上．若n＞2，则m的取值范围是0≤m≤4．【解答】解：依照题意，画出图形，如图所示．∵当n＞2时，m＜0或m＞4，∴当n＞2时，若点P（m，n）均不在抛物线上，则0≤m≤4．故答案为：0≤m≤4．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.～17．（5分）（2018秋•大兴区期末）计算：sin60°×cos30°﹣4tan45°+（√2018）0．【解答】解：原式=√32×√32−4×1+1=34−3 =−94．18．（5分）（2018秋•大兴区期末）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB于D ．（1）求证：△ACD ∽△ABC ；（2）若AD ＝1，DB ＝4，求AC 的长．【解答】（1）证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°．又∵∠CAD ＝∠BAC ，∴△ACD ∽△ABC ；（2）解：∵△ACD ∽△ABC ，∴AC AB =AD AC ，即AC 1+4=1AC ，∴AC =√5或AC =−√5（舍去）．19．（5分）（2018秋•大兴区期末）下面是小松设计的“做圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O ．求作：⊙O 的内接等腰直角三角形．作法：如图，①作直径AB ；②分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的同样长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点； ③作直线MN 交⊙O 于点C ，D ；④连接AC ，BC ．所以△ABC 就是所求作的三角形．根据小松设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB 是直径，C 是⊙O 上一点∴∠ACB ＝ 90°（直径所对的圆周角是直角） （填写推理依据）∵AC ＝BC （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等） （填写推理依据） ∴△ABC 是等腰直角三角形．【解答】（1）解：补全的图形如图所示：（2）证明：∵AB 是直径，C 是⊙O 上一点∴∠ACB ＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填写推理依据）∵AC ＝BC （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）（填写推理依据） ∴△ABC 是等腰直角三角形．故答案为：90°（直径所对的圆周角是直角）；（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）．20．（5分）（2018秋•大兴区期末）已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过（1，0）和（4，﹣3）两点．求这个二次函数的表达式．【解答】解：把（1，0），（4，﹣3）代入y ＝x 2+bx +c 中，得：{1+b +c =016+4b +c =−3， 解得：{b =−6c =5， 所以，二次函数的表达式为y ＝x 2﹣6x +5．21．（5分）（2018秋•大兴区期末）如图，△ABC 中，∠A ＝30°，tan B =√32，AC ＝2√3．求【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠A＝30°，AC＝2√3，∴CD=12AC=√3．∵在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，tan B=CDBD=√32，∴BD＝2，∴BC=2+BD2=√3+4=√7．22．（5分）（2018秋•大兴区期末）如图，在测量“河流宽度”的综合与实践活动中，小李同学设计的方案及测量数据如下：在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D（点B，C，D在同一条直线上），AB⊥BD，∠ACB＝45°，CD＝20米，且．若测得∠ADB＝25°，请你帮助小李求河的宽度AB．（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，结果精确到0.1米）．【解答】解：设河宽AB为x米．∵AB⊥BD，∴∠ABC＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝x，∴BD＝20+x．∵BD•tan25°＝AB，∴（x+20）tan25°＝x，∴x=20tan25°1−tan25°∴x≈17.7．答：河宽AB约为17.7米．23．（6分）（2019•信阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（1，0），连接BA，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，反比例函数y=kx(x＞0)的图象G经过点C．（1）请直接写出点C的坐标及k的值；（2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，若Q（0，m）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M，与直线OP交于点N，若点M在点N左侧，结合图象，直接写出m 的取值范围．【解答】解：（1）过C点作CH⊥x轴于H，如图，∵线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BC，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∵∠ABO+∠CBH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠CBH，在△ABO和△BCH中{∠AOB=∠BHC ∠BAO=∠CBH AB=BC，∴△ABO ≌△BCH （AAS ），∴CH ＝OB ＝1，BH ＝OA ＝3，∴C （4，1），∵点C 落在函数y =k x （x ＞0）的图象上，∴k ＝4×1＝4；（2）过O 作OP ∥BC 交y =4x 的图象于点P ，过P 作PG ⊥x 轴于G ， ∵∠POG ＝∠OAB ，∵∠AOB ＝∠PGO ，∴△OAB ∽△OHP ，∴PG ：OG ＝OB ：OA ＝1：3，∵点P 在y =4x 上，∴3y P •y P ＝4，∴y P =23√3， ∴点P 的坐标为（2√3，2√33）； （3）∵Q （0，m ），∴OQ ＝m ，∵OM ∥x 轴，与图象G 交于点M ，与直线OP 交于点N ， ∴M （4m ，m ），N （3m ，m ）， ∵点M 在点N 左侧，∴4m ＜3m ，∵m ＞0，∴m ＞23√3．24．（6分）（2018秋•大兴区期末）如图，点C是⊙O直径AB上一点，过C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接DA，延长BA至点P，连接DP，使∠PDA＝∠ADC．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AC＝3，tan∠PDC=43，求BC的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵CD⊥AB于点C，∴∠OAD+∠ADC＝90°，∴∠ODA+∠ADC＝90°，∵∠PDA＝∠ADC，∴∠PDA+∠ODA＝90°，即∠PDO＝90°，∴PD⊥OD，∵D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线；（2）解：∵∠PDO＝90°，∴∠PDC+∠CDO＝90°，∵CD⊥AB于点C，∴∠DOC+∠CDO＝90°，∴∠PDC＝∠DOC，∵tan∠PDC=4 3，∴tan∠DOC=43=DCOC，设DC＝4x，CO＝3x，则OD＝5x，∵AC＝3，∴OA＝3x+3，∴3x+3＝5x，∴x=3 2，∴OC＝3x=92，OD＝OB＝5x=152，∴BC＝12．25．（6分）（2019•西城区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，P是CB边上一动点，连接AP，作PQ⊥AP交AB于Q．已知AC＝3cm，BC＝6cm，设PC的长度为xcm，BQ 的长度为ycm．小青同学根据学习函数的经验对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小青同学的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y的几组对应值；x/cm00.5 1.0 1.5 2.0 2.53 3.54 4.556 y/cm0 1.56 2.24 2.51m 2.45 2.24 1.96 1.63 1.260.860（说明：补全表格时，相关数据保留一位小数）m的值约为 2.6cm；（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表格中各组数值所对应的点（x，y），画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当y＞2时，对应的x的取值范围约是0.8＜x＜3.5；②若点P不与B，C两点重合，是否存在点P，使得BQ＝BP？不存在（填“存在”或“不存在”）【解答】解：（1）根据题意量取数据m为2.6，故答案为：2.6（2）根据已知数据描点连线得（3）①由图象可得，当0.8＜x＜3.5时，y＞2．故答案为：0.8＜x＜3.5②不存在，理由如下：若BQ＝BP∴∠BPQ＝∠BQP∵∠BQP＝∠APQ+∠P AQ＞90°∴∠BPQ+∠BQP+∠QBP＞180°与三角形内角和为180°相矛盾．∴不存在点P，使得BQ＝BP．故答案为不存在．26．（6分）（2019•丰台区模拟）已知抛物线y＝﹣x2+（5﹣m）x+6﹣m．（1）求证：该抛物线与x轴总有交点；（2）若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m的取值范围；（3）设抛物线y＝﹣x2+（5﹣m）x+6﹣m与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y＝﹣x的对称点恰好是点M，求m的值．【解答】（1）证明：△＝（5﹣m）2﹣4×（﹣1）（6﹣m）＝m2﹣14m+49＝（m﹣7）2≥0，∴该抛物线与x轴总有交点；（2）解：由（1）△＝（m﹣7）2，根据求根公式可知，方程的两根为：x=m−5±√(m−7)2−2，即x1＝﹣1，x2＝﹣m+6，由题意，有3＜﹣m+6＜5，∴1＜m＜3；（3）解：令x＝0，y＝﹣m+6，∴M（0，﹣m+6），由（2）可知抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（﹣m+6，0），它们关于直线y＝﹣x的对称点分别为（0，1）和（0，m﹣6），由题意，可得：﹣m+6＝1或﹣m+6＝m﹣6，∴m＝5或m＝6．27．（7分）（2018秋•大兴区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点E 为线段AB上一动点（不与点A，B重合），连接CE，将∠ACE的两边CE，CA分别绕点C顺时针旋转90°，得到射线CE′，CA′，过点A作AB的垂线AD，分别交射线CE′，CA′于点F，G．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE＝α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE，AF与BC之间的数量关系，并证明．【解答】（1）补全的图形如图所示：（2）解由旋转可知，∠ECF＝∠ACG＝90°，∠FCG＝∠ACE＝α，∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，∵∠ACG＝90°，∴∠AGC＝45°，∴∠AFC＝∠AGC+∠FCG＝α+45°，（3）AE，AF与BC之间的数量关系为AE+AF＝2BC，理由：由（2）可知，∠DAC＝∠AGC＝45°，∴CA＝CG，∵∠ACE＝∠GCF，∠CAE＝∠CGF＝45°，∴△ACE≌△GCF（ASA）∴AE＝FG．在Rt△ACG中，AC＝CG，∴AG=√2AC，∴AF+FG=√2AC，∴AF+AE=√2AC，在R△ABC中，AB＝BC，∴AC=√2BC，∴AE+AF＝2BC28．（7分）（2018秋•大兴区期末）对于平面内任意一个角的“夹线圆”，给出如下定义：如果一个圆与这个角的两边都相切，则称这个圆为这个角的“夹线圆”．例如：在平面直角坐标系xOy中，以点（1，1）为圆心，1为半径的圆是x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”．（1）下列各点中，可以作为x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是；A（2，2），B（3，1），C（﹣1，0），D（1，﹣1）（2）若⊙P为y轴和直线l：y=√33x所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙P的半径为1，求点P的坐标．（3）若⊙Q为x轴和直线y=−√33x+2√3所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙Q的半径1≤r≤2，直接写出点Q横坐标x Q的取值范围．【解答】解：（1）∵2＝2，1＝|﹣1|，∴点A，D能作为x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心．（2）如图1，过P点作PE⊥y轴于点E，PF⊥直线l于点F，连PO．设直线l与x轴夹角为α．∵直线l的解析式为y=√33x，∴tanα=√3 3，∴α＝30°，∴∠EOF＝60°．又∵⊙P与y轴及直线OF均相切，∴OP平分∠EOF，∴∠EOP＝30°，又∵EP＝1，∴OE=√3，∴P点坐标为（1，√3）；同理，当P点在第三象限时，P点坐标为（﹣1，−√3）．（3）如图2，过Q点作QM⊥x轴于点M，QN⊥直线y=−√33x+2√3于点N，延长MQ交直线y=−√33x+2√3于点G，设直线y=−√33x+2√3与x轴交于点S．当y＝0时，有−√33x+2√3=0，解得：x＝6，∴点S的坐标为（6，0）．∵∠MSG＝30°，∴∠MGS＝60°，∴MG＝MQ+QG＝r+rsin60°=2√3+33r，∴MS＝MG•tan60°＝（2+√3）r，∵⊙Q的半径1≤r≤2，∴2+√3≤MS≤4+2√3，∴2﹣2√3≤6﹣MS≤4−√3，8+√3≤6+MS≤10+2√3，∴点Q横坐标x Q的取值范围为：2﹣2√3≤x Q≤4−√3或8+√3≤x Q≤10+2√3．。

北京市朝阳区2019～2019学年度第一学期期末检测九年级数学试卷（选用） 2019.1（考试时间120分钟 满分120分） 成绩______________一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1.下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是ABCD2.下列事件为必然事件的是A. 任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B. 篮球运动员投篮，投进篮筐C. 一个星期有七天D. 打开电视机，正在播放新闻3.在平面直角坐标系中，点B 的坐标为（3，1），则点B 关于原点的对称点的坐标为 A. （3，－1） B. （－3，1） C. （－1，－3） D. （－3，－1）4.如图，AC 与BD 相交于点E ，AD ∥BC ．若AE =2，CE =3，AD =3，则BC 的长度是 A. 2 B. 3 C. 4.5 D. 65.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AC =4，则sin A 的值是A.43 B.34 C.53 D.54第4题图 第5题图第6题图6.如图，反比例函数2y x=-的图象上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，则AOB S V 是 A.12B.1C.2D.47.如图，在⊙O 中，∠BOC =100°，则∠A 等于 A. 100° B. 50° C. 40° D. 25°第7题图第8题图8.如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ’OB ’，若∠AOB =15°，则∠AOB ’的度数是A. 25°B. 30°C. 35°D. 40° 9.如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，增加下列条件中的一个：①∠AED =∠B ，②∠ADE =∠C ，③BC DE AB AE =，④ABAE AC AD =，⑤AE AD AC ⋅=2， 使△ADE 与△ACB 一定相似的有A.①②④B.②④⑤C.①②③④D.①②③⑤图①图②第9题图 第10题图10.小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O -M -N 匀速行走，他从点O 出发，沿箭头所示的方向经过点M 再走到点N ，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t （单位：秒），他与摄像机的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的 A. 点Q B. 点P C. 点M D. 点N二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.在一个不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是 ．12.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为1，则»AB 的长为 ． 13.已知y 是x 的反比例函数，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式 ．FE ABCDBOA第12题图第14题图第15题图第16题图14.如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则△AFE与△BCF的面积比等于．15.如图，⊙O的半径为6，OA与弦AB的夹角是30°，则弦AB的长度是．16.如图，已知反比例函数2yx=的图象上有一组点B1，B2，…，B n，它们的横坐标依次增加1，且点B1横坐标为1．“①，②，③…”分别表示如图所示的三角形的面积，记S1=①-②，S2=②-③，…，则S7的值为，S1+S2+…+S n= （用含n的式子表示）．三、解答题（本题共72分，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.计算：12cos45tan60sin302︒-︒+︒--．18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．19.如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作：①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1；②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使相似比为1∶2，且点A2在第三象限．（1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O；（2）请直接写出点A2的坐标：__________．20.党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：“富强、民主、文明、和谐”是国家．．层面的价值目标；“自由、平等、公正、法治”是社会．．层面的价值取向；“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人．．．．层面的价值准则．文明和谐自由平等A BC D小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如右图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回．．．，再随机抽取一张卡片．(1)小光第一次抽取的卡片上的文字是国家．．层面价值目标的概率是；(2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家．．层面价值目标、一次是社会．．层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数2y x=与反比例函数kyx=的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P是反比例函数kyx=图象上的一点，且满足△OPC的面积是△ABC面积的一半，请直接写出点P的坐标．22.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB=______寸，CD=____寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．图①图②23. 如图，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测一条东西流向的河流的宽度（把河两岸看做平行线，河宽即两岸之间的垂线段的长度）．某同学在河南岸A处观测到河对岸水边有一棵树P，测得P在A北偏东60°方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得P在B北偏东45°方向上．求河宽（结果保留一位小数． 1.4142≈， 1.7323≈）．24. 如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．25.如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A’B’C，旋转角为α，且0°<α<180°．在旋转过程中，点B’可以恰好落在AB的中点处，如图②．（1）求∠A的度数；（2）当点C到AA’的距离等于AC的一半时，求α的度数．图①图②备用图26. 有这样一个问题：探究函数262--=xxy的图象与性质．小慧根据学习函数的经验，对函数262--=xxy的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：(1)函数262--=xxy的自变量x的取值范围是___________；(2)列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=__________；x …-3 -2 0 1 1.5 2.5 m 4 6 7 …y … 2.4 2.5 3 4 6 -2 0 1 1.5 1.6 …(3)请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(4)结合函数的图象，写出该函数的两条性质：①；FEDOAB C② ．27. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆．．．称为该平面图形的最小覆盖圆．．．．．．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆． （1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；80°ABC100°AB C图①（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）； （3）某城市有四个小区E F G H ，，，（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论．．并说明研究思路．28.如图①，在平面直角坐标系中，直径为32的⊙A 经过坐标系原点O （0，0），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C （0，3）．（1）求点B 的坐标；（2）如图②，过点B 作⊙A 的切线交直线OA 于点P ，求点P 的坐标； （3）过点P 作⊙A 的另一条切线PE ，请直接写出切点E 的坐标．xy –1–2–3–412345678–1–2–3–412345678O 33.88°48°48.12°44°54°51°50°31°FEH G图②图①图②29.在数学活动课上，老师提出了一个问题，希望同学们进行探究．在平面直角坐标系中，若一次函数6y kx =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数xy 6=的图象交于C 、D 两点，则AD 和BC 有怎样的数量关系？ 同学们通过合作讨论，逐渐完成了对问题的探究．小勇说：我们可以从特殊入手，取1k =-进行研究（如图①），此时我发现AD =BC ．小攀说：在图①中，分别从点C 、D 两点向两条坐标轴作垂线，根据所学知识可以知道有两个图形的面积是相等的，并能求出确定的值，而且在图②中，此时1k ≠- ，这一结论仍然成立，即_______的面积=_______的面积，此面积的值为____．小高说：我还发现，在图①或图②中连接某两个已知点，得到的线段与AD 和BC 都相等，这条线段是 ．xy123456654321I FA BH G DC Oxy123456654321IF A BH GDCO图① 图②（1）请完成以上填空； （2）请结合以上三位同学的讨论，对图②所示的情况下，证明AD =BC ； 小峰突然提出一个问题：通过刚才的证明，我们可以知道当直线与双曲线的两个交点都在第一象限时，AD BC =总是成立的，但我发现当k 的取值不同时，这两个交点有可能在不同象限，结论还成立吗？ （3）请你结合小峰提出的问题，在图③中画出示意图，并判断结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．图北京市朝阳区2019～2019学年度第一学期期末检测九年级数学试卷答案 2019.1（考试时间120分钟 满分120分） 成绩______________一、选择题（本题共30分，每小题3分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ACDCCBBBAB二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11121314151653 3π 如：1y x =，（ k ＞0即可） 1463156（1分）；1n n +（2分）三、解答题（本题共72分，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 解：22130sin 60tan 45cos --︒+︒-︒ 21213222-+-⨯= …………………………………………………………………………4分 32-= ………………………………………………………………………………………5分18.解：∵︒=∠90C ，AB DE ⊥，∴︒=∠=∠90C AED ． …………………………………………………………………………1分 又∵A A ∠=∠，∴AED ∆∽ACB ∆． ……………………………………………………………………………2分∴CBEDCA EA =． ……………………………………………………………………………………3分 又∵2=DE ，3=BC ，6=AC ， ∴326=EA ． ………………………………………………………………………………………4分∴4=AE ． ………………………………………………………………………………………5分19.（1）每个三角形2分 …………………………………………………………………………4分（2）点2A 的坐标为()4,6--……………………………………………………………………5分 20. 解：（1）21……………………………………………………………………………………2分 （2）…………………4分共有12种情况，其中符合题意的有8种，∴32=P ………………………………………………………………………………5分 21. 解：（1）将2=x 代入x y 2=中，得422=⨯=y ．∴点A 坐标为()42，． …………………………………………………………………1分 ∵点A 在反比例函数xky =的图象上， ∴842=⨯=k ． ………………………………………………………………………2分 ∴反比例函数的表达式为xy 8=． ……………………………………………………3分 （2）()42，P 或()42--，． ……………………………………………………………5分 22.解：（1）1；10 ………………………………………………………………………………2分（2）连接CO ， ∵CD BO ⊥，∴521==CD CA ．………………………………………………………3分 设x CO =，则1-=x AO ，在Rt CAO ∆中，︒=∠90CAO ，∴222CO CA AO =+．∴()22251x x =+-．……………………………………………………4分解得13=x ，∴⊙O 的直径为26寸．…………………………………………………………………………5分 23. 解：过P 作AB PC ⊥于点C ，……………………………………………………………1分ABC DBA C D CA B D DA B C第一次第二次∴︒=∠90ACP ．由题意可知，︒=∠30PAC ，︒=∠45PBC ． ∴︒=∠45BPC ．∴PC BC =．……………………………………………2分 在Rt ACP ∆中，PC PACPCAC 3tan =∠=． ………3分∵20=AB ， ∴PC AC PC 320==+．∴1320-=PC ……………………………………………………………………………………4分 3.27≈（是否进行分母有理化可能造成差异，27.2～27.4均正确）………………5分答：河流宽度约为3.27米． 24.（1）证明：连接OD ， ∵ABC ∆是等边三角形， ∴︒=∠=∠60C B ． ∵OD OB =，∴︒=∠=∠60B ODB ．…………………………………………………………………………1分∵AC DE ⊥， ∴︒=∠90DEC ． ∴︒=∠30EDC ． ∴︒=∠90ODE ． ∴OD DE ⊥于点D ．∵点D 在⊙O 上， ∴DE 是⊙O 的切线．……………………………………………………………………………2分 （2）连接AD ，BF ， ∵AB 为⊙O 直径，∴︒=∠=∠90ADB AFB ． ∴BF AF ⊥，BD AD ⊥．∵ABC ∆是等边三角形，∴221==BC DC ，221==AC FC ． ………………………………………………………3分∵︒=∠30EDC ，∴121==DC EC ．………………………………………………………………………………4分∴1=-=EC FC FE ． …………………………………………………………………………5分（说明：其它方法请相应对照给分）25.解：（1）将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到C B A ''∆，旋转角为α，∴'CB CB = ． ……………………………………………………………………………………1分 ∵点'B 可以恰好落在AB 的中点处， ∴点'B 是AB 的中点． ∵︒=∠90ACB ，∴'21'BB AB CB ==．……………………………………………………………………………2分 ∴''BB CB CB ==．即'CBB ∆是等边三角形．F E DOA B C FE DOAB C∴︒=∠60B ． ∵︒=∠90ACB ， ∴︒=∠30A ． ……………………………………………………………………………………3分 （2）如图，过点C 作'AA CD ⊥于点D ，点C 到'AA 的距离等于AC 的一半，即AC CD 21=．在Rt ADC ∆中，︒=∠90ADC ，21sin ==∠AC CD CAD ，∴︒=∠30CAD ．…………………………………………4分 ∵'CA CA =，∴︒=∠=∠30'CAD A ．∴︒=∠120'ACA ，即︒=120α． ………………………5分26. （1）2≠x ……………………………………………………………………………………1分 （2）3=m …………………………………………………………………………………………2分（3）如图所示：………………………………………3分 （4）可以从对称性、增减性、渐近性、最值、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答．………………………………………………………………………………………………5分 27（1）如图所示：……………………2分（2）锐角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆，直角三角形的最小覆盖圆二者均可． ………………………………………………………4分 （说明：写出三角形的最小覆盖圆是其外接圆，或是以其最长边为直径的圆，各给1分） （3）结论：HEF ∆的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置． …………………………… 5分 研究思路：80°OBA C100°O B A Ca ．手机信号基站应建在四边形EFGH 的最小覆盖圆的圆心处；所以先考虑四边形EFGH 的外接圆，因为对角不互补，所以该四边形没有外接圆；b ．作四边形对角线，将四边形分割成两个三角形，考虑其中一个三角形的最小覆盖圆能否覆盖另一个三角形，从而将四边形最小覆盖圆问题转化为三角形最小覆盖圆问题来研究；…………………………………………………………………………………6分c ．若沿GE 分割，因为︒<∠+∠180GFE GHE ，所以这两个三角形的最小覆盖圆均不能完全覆盖另一个三角形；d ．若沿HF 分割，因为︒>∠+∠180HGF HEF ，所以存在一个三角形的最小覆盖圆能完全覆盖另一个三角形的情况，又因为︒<∠90HEF ，所以HEF ∆的最小覆盖圆，即其外接圆能完全覆盖HGF ∆，因此HEF ∆的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置． ……7分 （说明：1.学生的答案只要涉及到将四边形问题转化为三角形问题，可以给第6分；2.若学生答案含有以下情况之一，并借此分析沿GE 分割和沿HF 分割的差异性，均可以给第7分： ①比较四边形对角和的数量关系； ②同弧所对的圆周角的度数关系；③画出四个三角形的最小覆盖圆，通过观察或测量，比较大小后发现HEF ∆的外接圆的圆心为手机信号站所在位置．3.重在判断学生思维的方向，不过多的要求语言的规范和思维的严谨．）28.解：（1）如图①，连接BC ． ∵︒=∠90BOC ，∴BC 是⊙A 的直径． ……………………………1分∴32=BC ， ∵()30，C ， ∴3=OC ．∴3=OB ．∴()03，B ．………………………………………2分 （2）如图②，过点P 作x PD ⊥轴于点D ．∵PB 为⊙A 的切线， ∴︒=∠90PBC ．在Rt BOC ∆中，()03，B ，()3,0C ， ∴33tan ==∠OB OC OBC ． ∴︒=∠30OBC ．…………………………………3分∴︒=∠30AOB ．图①图②∴︒=∠-∠-∠-︒=∠30180ABP ABO POB OPB ．∴3==BP OB ． ………………………………………………………………………4分 在Rt PBD ∆中，︒=∠90PDB ，︒=∠60PBD ，3=BP ，∴23=BD ，323=PD ． ∵3=OB ，∴29=+=BD OB OD ．∴⎪⎭⎫⎝⎛323,29P ．…………………………………………………………………………5分 （3）⎪⎭⎫⎝⎛323,23E ． ……………………………………………………………………7分29. （1）四边形OHCF ，四边形OIDG ，……………………………………………………1分（说明：其它答案，如三角形也可以）6………………………………………………2分GH ……………………………………………3分（2）成立，证明如下： 如图①，连接GH ，GC ，DH ，∵点C ，D 是反比例图象上的点， ∴GDIO FCHO S S 矩形矩形=． ∴GDIO FCHO S S 矩形矩形2121=． ∴GHD CGH S S ∆∆=．∴点C ，D 到GH 的距离相等．∴CD ∥GH ． ……………………………………………………………………………………4分 ∴四边形BCHG 和四边形GHAD 都是平行四边形．∴GH BC =，DA GH =． ……………………………………………………………………5分 即BC AD =．（3）画出图形，得到GH ， ……………………………………………………………………6分 ∵点C ，D 是反比例图象上的点，∴GDIO FCHO S S 矩形矩形=． ∴GDIO FCHO S S 矩形矩形2121=． ∴GHD CGH S S ∆∆=．∴点C ，D 到GH 的距离相等．∴CD ∥GH ． ………………………………………7分 ∴四边形BCHG 和四边形GHAD 都是平行四边形．xy123456654321I FA BH GDC O xyBA IF G HKCDO∴GH BC =，DA GH =．即BC AD =．…………………………………………8分。